Ahora sacamos factor común la t: La velocidad de lanzamiento la hallamos de cualquiera de las dos primeras, por ejemplo, sustituyendo el ángulo

Transcripción

1 Tiro parabólico 01. Un futbolista chuta la pelota y esta parte de con una velocidad de 20 m/s y forma un ángulo de 27 0 con la horizontal. Halla: a) La altura máxima que alcanza la pelota. b) La velocidad en el punto más alto. c) La distancia a la que cae al suelo. a) Cuando alcanza la altura máxima la componente vertical de la velocidad se anula: lo que sucede en el instante Cuyas dos soluciones son. La primera solución corresponde al instante de lanzamiento. La segunda es el tiempo de vuelo hasta que la pelota cae al suelo. La distancia de ese punto al punto de lanzamiento es el alcance: La distancia a la que cae al suelo: 33 m que corresponde a la altura máxima: 02. Un arquero dispara una flecha que alcanza una altura máxima de 40 m y un alcance de 190 m. Con qué velocidad y con qué ángulo ha sido disparada? Las expresiones del alcance y altura máximas son, respectivamente: Altura máxima: 4,2 metros b) En el punto correspondiente a la altura máxima solo hay componente x de la velocidad de modo que la velocidad de la pelota en ese instante es: Sustituimos los datos y dividiendo la primera expresión entre la segunda Velocidad en el punto más alto: 17,8 m/s c) La pelota regresa al suelo cuando la ordenada y se hace cero, de modo que: Ahora sacamos factor común la t: La velocidad de lanzamiento la hallamos de cualquiera de las dos primeras, por ejemplo, sustituyendo el ángulo 1

2 de lanzamiento hallado en la expresión del alcance máximo: El punto donde el proyectil alcanza el agua corresponde al instante para el cual la ordenada es cero: y despejando la velocidad: La solución positiva es t = 12 s. Sustituimos este instante en la ecuación paramétrica La flecha fue disparada con una velocidad de 43,5 m/s y con un ángulo de lanzamiento de Se dispara un proyectil desde lo alto de un acantilado situado a 200 m sobre el mar. Su velocidad es de 60 m/s y forma un ángulo de 45 0 con la horizontal. Calcula: a) A qué distancia del acantilado caerá el proyectil? b) Con qué velocidad incidirá en el agua? La distancia del punto donde cae el proyectil al pie del acantilado es 509 m. b) La velocidad con la que incide en el agua es Siendo Para t = 12 s, con los datos del lanzamiento, se obtiene: a) Escribimos la ecuación paramétricas del tiro parabólico en el eje y: En nuestro caso la ordenada del punto de lanzamiento, tomando como origen el pié del acantilado, es y sustituyendo los restantes datos tenemos La velocidad con la que el proyectil choca con el agua es 86,3 m/s. 04. Una catapulta dispara proyectiles con una velocidad de 30 m/s y ángulo de 40 0 con la horizontal contra una muralla. Esta tiene 12 m de altura y está situada a 50 m. a) Pasarán los proyectiles por encima de la muralla? b) A qué distancia de la base de la muralla caerán? a) Utilizamos la ecuación paramétrica 2

3 Para determinar el tiempo que emplea el proyectil que lanza la catapulta en cubrir la distancia horizontal de 50 metros: En este instante la posición del proyectil está a una altura del suelo que viene dada por la ecuación paramétrica: Este resultado indica que, efectivamente, el proyectil rebasa la muralla pues cuando a cubierto la distancia horizontal a la cual se encuentra la muralla su altura es superior a la altura de esta en 19,8 12 = 7,8 m. Para hallar el punto donde el proyectil choca con el suelo obtenemos previamente el tiempo de vuelo del proyectil sustituimos y = 0 en la ecuación paramétrica Pero como la muralla está situada a 50 metros del punto de lanzamiento, el proyectil rebasa su posición y cae 90,4 50 = 40,4 m más allá de su base. 05. Una canica rueda sobre una mesa de 85 cm de altura a una velocidad de 8 cm/s y, cuando llega al borde, se precipita en el vacío. Calcula: a) Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo. b) Con qué velocidad choca contra él. Se trata de un movimiento compuesto: en la dirección horizontal x es un MU con velocidad v 0X = 8 cm/s. En la dirección vertical es un MUA con aceleración a = - 9,8 m/s 2 y velocidad inicial v 0Y = 0 cm/s. En la dirección del eje y la ecuación del movimiento es: Ahora sustituimos los datos teniendo en cuenta que, en el instante en el que la canica choca con el suelo, y = 0: Pues la condición que cumple la ordenada del punto de en el que choca el proyectil con el suelo. Sacamos factor común la t: b) La componente de la velocidad según el eje y se halla derivando la ecuación Cuyas dos soluciones son. La primera solución corresponde al instante de lanzamiento. La segunda es el tiempo de vuelo hasta que el proyectil cae al suelo. La distancia de ese punto al punto de lanzamiento es el alcance: Ahora sustituimos los datos junto con el instante hallado en el apartado a) La componente según el eje x de la velocidad es la misma que la que tenía en el momento de abandonar la mesa: v 0X = 8 cm/s = 0,08 m/s, por consiguiente, la velocidad total es 3

4 06. Una pelota rueda por una mesa horizontal a velocidad constante de 3 m/s. Cuando llega al borde cae y golpea el suelo a una distancia de 1,2 m del pie de la mesa. Calcula la altura de la mesa. En la dirección X el movimiento es de tipo uniforme, con velocidad v 0x = v 0 = 3 m/s, de modo que siendo x 0 = 0 m. Cuando la pelota alcanza la distancia x = 1,2 m el tiempo transcurrido es el correspondiente al choque con el suelo, por consiguiente despejamos el tiempo t en esta ecuación: Situamos el punto de lanzamiento en el origen de coordenadas, por consiguiente: x 0 = y 0 = 0 m. El ángulo de lanzamiento es = 0 0 y las coordenadas del punto donde se clava el dardo x = 2 m e y = - 0,16 m. Con estos datos: De modo que: En la dirección vertical, eje Y, el movimiento está descrito por: Cuando ha transcurrido el tiempo anterior, 0,4 s, la pelota ha llegado al suelo, y = 0, ya que tomamos como origen de coordenadas el pie de la mesa; y 0 es su altura, a = - 9,8 m/s 2 y v 0y es cero pues en el instante de abandonar la mesa su velocidad de 3 m/s solo tiene componente horizontal. Con estos datos la expresión anterior queda. De la segunda obtenemos el tiempo que transcurre desde que se lanza el dardo hasta que se clava: y sustituyendo este resultado en la primera obtenemos la velocidad con la que es lanzado el dardo: 07. Un jugador situado a 2 m del tablero de una diana lanza horizontalmente un dardo que se clava 16 cm por debajo del blanco. a) A qué velocidad ha lanzado el dardo? b) Cuánto tiempo ha tardado en clavarse? 08. Un avión con una velocidad horizontal de 200 m/s lanza un paquete sobre un objetivo cuando está a m de la vertical del blanco. Calcula: a) Cuánto tiempo tarda el paquete en alcanzar el objetivo? b) A qué altura vuela el avión? Las ecuaciones paramétricas que definen el movimiento son: Las ecuaciones paramétricas que definen el movimiento son: 4

5 a) Las ecuaciones paramétricas que definen el movimiento son: Cuando el avión deja caer el paquete la posición de éste tiene las coordenadas x 0 = 0 e y 0 = la altura a la que se encuentra el avión. La velocidad del paquete cuando se deja caer es la misma que la del avión, v 0 = 200 m/s El ángulo de lanzamiento es = 0 0 y las coordenadas del punto donde el paquete choca con el suelo son x = m e y = 0 m. Con estos datos: Tomamos como origen del sistema de referencia el punto situado en el suelo al pie del punto de lanzamiento del proyectil, por consiguiente: x 0 = 0 e y 0 = 100 m. El ángulo de lanzamiento es = 0 0 y la velocidad inicial v 0 = 20 m/s. Con estos datos, la posición en el instante t = 3 s: De modo que al cabo de 3 s después del lanzamiento el proyectil se encuentra a 55,9 m de altura. Su desplazamiento horizontal ha sido de 60 m. De la primera obtenemos el tiempo que tarda el paquete en alcanzar el objetivo: b) Para determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo utilizamos la expresión Seguidamente sustituimos este resultado en la segunda para hallar la altura del avión en el instante de dejar caer el paquete: En el instante t en el que el proyectil choca con el suelo y = 0 m, luego: 09. Se dispara horizontalmente un proyectil con una velocidad de 20 m/s desde una altura de 100 m. Averigua: a) La altura a la que se encuentra al cabo de 3 s. b) La velocidad en ese momento. c) El alcance horizontal del proyectil. Este es el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo c) Para hallar el alcance horizontal, señalado como L en la figura, utilizamos la expresión sustituyendo el tiempo hallado en el apartado anterior que es el alcance horizontal del proyectil. 5