Cinemática en 2D. Área Física

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1 Cinemática en 2D Área Física Resultados de aprendizaje Aprender a utilizar las ecuaciones cinemáticas en dos dimensiones. Relacionar las ecuaciones con situaciones reales. Contenidos 1. Introducción teórica. 2. Ejercicios resueltos. Debo saber Antes de empezar a ver los ejercicios resueltos: Movimiento de proyectiles Cuando un objeto es lanzado al aire, éste sufre una aceleración debido al efecto del campo gravitacional. El movimiento más sencillo en este caso es la caída libre. En el caso de un cuerpo que se desplace vertical y horizontalmente, se dice que sigue el movimiento de un proyectil, también conocido como movimiento parabólico. Las ecuaciones que describen el movimiento parabólico son análogas a las de movimiento unidimensional. La diferencia es que se debe expresar cada magnitud vectorial (velocidad, aceleración) en dos dimensiones. Consideremos el proyectil de la Fig.1, el que es lanzado con una velocidad inicial y ángulo, llegando a una altura máxima y alcance horizontal. Figura 1. Lanzamiento de un proyectil. Primera Edición

2 Para un lanzamiento de proyectil, la velocidad en el eje horizontal se mantiene constante, debido a que no hay ninguna aceleración presente en esa dirección, es decir, ; mientras que en el eje vertical está presente la aceleración de gravedad. Además cuando la partícula llega a su altura máxima, la velocidad en el eje vertical se anula,. En general, la posición de una partícula se expresa como. Si (movimiento en dos dimensiones o en un plano) se tiene que: (1) (2) El vector tiene dos componentes (Fig.1) y se expresan de la siguiente forma: Entonces las ecuaciones (1) y (2) quedan: Donde se utilizó la condición. Ahora deduciremos una ecuación para determinar el alcance horizontal del proyectil, para ello consideraremos la Ec.2, entonces; si el alcance horizontal es máximo, la posición vertical es cero (Fig.1). Si despejamos, se tienen dos soluciones; (instante inicial) y. Como en el eje horizontal la velocidad permanece constante, la posición estará representada por (con ). Entonces el alcance horizontal será: Como : Primera Edición

3 De esto podemos deducir que el alcance máximo para una partícula que es lanzada con velocidad ocurre cuando es decir, de manera que, entonces el alcance máximo es: También deducimos una fórmula para altura máxima de una partícula; si consideramos que en la altura máxima la velocidad en el eje vertical es cero, entonces: Despejando : Ejercicio 1 Un saltamontes salta a lo largo de un camino horizontal. En cada salto, el saltamontes brinca un ángulo y tiene un alcance. Cuál es la rapidez horizontal promedio del saltamontes conforme avanza por el camino? Ignore los intervalos de tiempo en que el saltamontes está en el suelo entre un salto y otro. R: Usamos la fórmula de alcance horizontal de la velocidad: * + Ahora calculamos la componente horizontal de la velocidad: * + Primera Edición

4 Ejercicio 2 Un esquiador acelera a * + en una colina con de inclinación (depresión). Determine: a) Cuál es la aceleración de la componente vertical del esquiador? b) Cuánto tiempo tomará alcanzar la falda de la colina, asumiendo que parte desde el reposo y acelera uniformemente, si la elevación es de 300? Figura 2. Esquiador. R: (a) La descomposición de un vector de aceleración se expresa de la siguiente forma: * + (b) Ya que parte del reposo, la posición inicial y la velocidad inicial son cero, por lo que la ecuación de posición queda: La distancia que debe recorrer es: Por lo tanto: Primera Edición

5 Ejercicio 3 Una clavadista sale del extremo de un trampolín de 5 de altura y golpea el agua 1,3 después, 3 más allá del final del trampolín. Si se considera a la clavadista como una partícula, determine: a) Su velocidad inicial. b) La altura máxima que alcanza. c) La velocidad con la que entra el agua. Figura 3. Clavadista. R: Consideramos el origen en el nivel del agua, entonces la altura de la clavadista será, el tiempo de vuelo será y el desplazamiento horizontal. (a) La velocidad horizontal de la clavadista es determinada por la ecuación de itinerario, en donde la aceleración en el eje es cero. * + La componente vertical de la velocidad se puede determinar usando la condición de caída en el agua, pues se conoce el tiempo en el que esto ocurre: * + Entonces la velocidad inicial de la clavadista, su rapidez y su ángulo de salida son: ( ) * + (Velocidad) Primera Edición

6 * + (Rapidez) (Respecto a la horizontal) (b) Utilizando la fórmula de altura máxima, tenemos: Pero ésta es la altura con respecto al trampolín, por lo que se debe sumar su altura: (c) Para encontrar la velocidad con la que la clavidista entra al agua, debemos determinar la velocidad en el eje vertical, ya que en el horizontal ésta se mantiene constante. * + Entonces la velocidad final de la clavadista, su rapidez final y su ángulo de salida son: ( ) * + (Velocidad) * + (Rapidez) (Respecto a la horizontal) Notar que, porque la velocidad y rapidez en el eje horizontal se constante. En la Fig.4 se muestra un esquema de cómo están representadas las velocidad inicial y final de la clavadista. Primera Edición

7 Figura 4. A la izquierda la velocidad inicial, a la derecha la final. Ejercicio 4 Un jugador de baseball hace un home-run y la pelota cae en un campo que está al lado del estadio donde se está jugando. El campo donde cayó con una velocidad de 20 * + (velocidad con la que golpeó el suelo) en un ángulo de 30 de depresión. Ignorando la resistencia del aire: a) Encuentre la velocidad inicial y el ángulo con el cual fue lanzada la pelota desde que golpeo el bate. b) Encuentre el gráfico representativo de la situación. Figura 5. Sistema del ejercicio 4. R: Consideramos la posición del jugador como origen, la velocidad inicial y el ángulo inicial (Fig.5). Existen dos conjuntos de ecuaciones que describen el movimiento del proyectil (pelota). Primera Edición

8 1) Ecuaciones en el eje horizontal. En esta parte solo hay una ecuación de velocidad constante que describe el movimiento. Para este caso. Como sabemos que el comportamiento de es de velocidad constante, entonces la velocidad inicial horizontal será igual a la final horizontal, por lo tanto: También sabemos que la posición final en el eje horizontal es 120 [m], por lo que: 2) Ecuaciones en el eje vertical. La ecuación que describe la velocidad en función del tiempo es: También sabemos que la componente vertical de la velocidad final será: * + Como ésta es la velocidad en el tiempo, la velocidad inicial es: * + Como ya sabemos las componentes de la velocidad inicial, entonces la velocidad inicial y su ángulo serán: * + Primera Edición

9 Ejercicio 5 Cuál es la velocidad necesaria para que un conductor que va a saltar desde una rampa que tiene una inclinación de 20 para llegar a 15 [m] de distancia? Cuál es su altura máxima? Figura 6. Sistema del ejercicio 5 R: Usando la ecuación de alcance horizontal, tenemos: * + Usando la ecuación de altura máxima: Ejercicio 6 La barrera más alta que puede superar un proyectil es 20 [m], cuando el proyectil es lanzado con un ángulo de 40 (elevación). Cuál es la velocidad inicial con el que fue lanzado el proyectil? R: Como sabemos que la máxima altura que tiene que alcanzar el proyectil es 20 [m], ocuparemos la fórmula de altura máxima: * + Primera Edición

10 Ejercicio 7 Para qué ángulo el valor del alcance horizontal de un proyectil será igual al valor de su altura máxima? R: Se toma como origen la posición en que el proyectil es lanzado. La velocidad inicial del proyectil es y el ángulo de lanzamiento es. La fórmula de altura máxima es: Y la fórmula de alcance será: Igualando el alcance a la altura máxima, tenemos: Considerando la identidad trigonométrica, se tiene: Ejercicio 8 Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de 46,6 * horizontal, sobre un terreno de pruebas largo y plano. Determine a) La altura máxima alcanzada por el proyectil. b) El tiempo total de vuelo del proyectil c) La distancia horizontal total que recorre (alcance máximo) d) La velocidad del proyectil 1,5 [s] después del disparo. + a un ángulo de 42,2 por arriba de la R: Consideremos el origen en el lugar en el que fue lanzado el proyectil, la velocidad inicial del proyectil es, el ángulo de lanzamiento es. (a) Usando la fórmula de altura máxima: Primera Edición

11 (b) El vuelo se termina cuando el proyectil toque el suelo, o sea,. (c) La distancia horizontal está dada por la ecuación: (d) Como la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante, se calculará la componente vertical en el tiempo indicado: * + Como la velocidad en el eje horizontal es: * + La velocidad será: ( ) * + Responsables académicos Corregida Editorial PAIEP. Si encuentra algún error favor comunicarse a ciencias.paiep@usach.cl Primera Edición