HOJA Nº 12. CINEMÁTICA. COMPOSICIÓN DE MOVIMENTOS-2.

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Germán Fernández Carrizo
hace 7 años
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1 HOJA Nº 12. CINEMÁTICA. COMPOSICIÓN DE MOVIMENTOS-2. MOVIMIENTO PARABÓLICO 1. Desde un piso horizontal, un balón es lanzado con una velocidad inicial de 10 m/s formando 30º con el suelo horizontal. Calcular: a. El tiempo que está el balón en el aire. b. La máxima altura que alcanza. c. Distancia desde el punto de lanzamiento en que regresa al suelo d. Velocidad con que llega al suelo En primer lugar calculamos las velocidades horizontal y vertical al inicio del movimiento v ox = v cos α v oy = v sen α En nuestro caso: v ox = 10 cos 30 = 8,6 m/s v oy = 10 sen 30 = 5 m/s a. Tiempo en el aire Depende del movimiento vertical cuya ecuación es y = 5 t t 2 Cuando termina de volar se cumple que y=0 b. Altura máxima 0 = 5 t t 2 t = 1,02 s Alcanza la altura máxima cuando v y =0. Usamos la ecuación de la velocidad en el movimiento vertical v y = v oy - 9,8 t 0= 5-9,8 t t = 0,51 s Este tiempo es el que tarda en llegar arriba del todo

2 y = 5 t t 2 y = 5 0,51-4,9 0,51 2 = 1,27 m altura máxima (cuando v y = 0) c. Distancia alcanzada Durante el tiempo de vuelo (1,47s, apartdo a) el balón ha seguido avanzando con movimiento rectilíneo uniforme x = x 0 + v 0x t En este caso x = 8,6 1,02 = 8,22 m es la distancia alcanzada por el balón d. Velocidad con que llega al suelo El balón llega al suelo con una velocidad horizontal de 8,6 m/s (v 0x ) Y una velocidad vertical que calculamos a partir de la ecuación de la velocidad en un movimiento vertical con aceleracion -9,8 m/s 2 v y = v 0y - 9,8 t v y = 5-9,8 1,02 = -5 m/s (componente y de la velocidad al llegar al suelo) También podemos dar esta velocidad por su módulo y su ángulo con el suelo. módulo = raíz cuadrada de ( ,6 2 ) = 9,95 m/s Ángulo de llegada será arctg(-5/8,6) = -30 º Este tipo de ejercicios (el nº 1) tenéis que resolverlo sin dificultad. Así que estudiadlo hasta entenderlo completamente, en el libro tenéis más asi como los pasos para calcular cada uno de estos apartados. OJO: el tiro horizontal es un caso particular del tiro oblicuo en el que el ángulo de lanzamiento vale 0º (V 0y = 0). 2. Con qué velocidad debemos lanzar horizontalmente una piedra desde una altura de 1,8 m para que caiga a una distancia de 10 m? Primero calculo el tiempo que tarda en caer desde 1,8 m y= y 0 + v 0y t - 4,9 t 2 (ecuación teórica) y= 1,8-4,9 t 2 (ec. para el movimiento de esta piedra)

3 Cuando esté en el suelo 0= 1,8-4,9 t 2 De aquí obtengo que t = 0,61 s tarda en lelgar al suelo Durante este tiempo debe recorrer 10m en horizontal (MRU) x = v x t En el suelo 10 = v x 0,61 Por tanto v x = 16,5 m/s OTRO PLANTEAMIENTO (más matemático) En este ejercicio me dice que la piedra al final debe estar en las coordenas x=10, y=0, o sea, a 10 m del punto de partida y en el suelo. Pues usaremos las ecuaciones de los movimientos horizontal y vertical para calcular estas coordendas. y= y 0 + v 0y t - 4,9 t 2 Disponemos de esas ecuaciones, ahora las aplico al caso planteado en el enunciado y me queda x = v x t y= 1,8-4,9 t 2 Veamos cuando la piedra llega al suelo estas ecuaciones se convierten en 10 = v x t 0 = 1,8-4,9 t 2 Solo he substituido los valores conocidos cuando la piedra está en el suelo y tengo un sistema con dos ecuaciones dos incógnitas y una de las incógnitas es la v x que necesito calcular. Pues resuelvo el sistema y tengo que v x = 16,5 m/s Sugerencia: haz el problema inverso para comprobar el resultado (o sea, si lanzas una piedra horizontalmente con 16,5 m/s de velocidad desde 1,8 m de altura a qué distancia llega?) 3. Desde qué altura debes lanzar una piedra para que alcance una distancia de 30 metros si la tienes que lanzar horizontalmente con una velocidad máxima de 20 m/s. La piedra avanza a 20 m/s y debe recorrer 30 m en horizontal. Usando la ecuación del MRU averiguamos el tiempo que tarda en recorrer ese espacio

4 30 = 20 t Por tanto t = 1,5 s Ese es el tiempo que la piedra estará cayendo en vertical y= y 0 + v 0y t - 4,9 t 2 (ecuación teórica) y= y 0-4,9 t 2 (ec. para el movimiento de esta piedra, y 0 no lo conozco) Cuando esté en el suelo 0= y 0-4,9 1,5 2 por tanto y 0 = 4,9 1,5 2 = 11,02 m OTRO PLANTEAMIENTO (más matemático) En este caso me pide desde dónde debe salir la piedra para llegar al suelo a 30 m de distancia. Es decir, trabajamos con posiciones, coordenadas. Nos pide la posición inicial para que la posición final sea x=30 y= 0 Volvemos con las ecuaciones de posición del MRU y del MRUA (a=-9,8m/s 2 ) y= y 0 + v 0y t - 4,9 t 2 Disponemos de esas ecuaciones, ahora las aplico al caso planteado en el enunciado y me queda x = 20 t y= y 0-4,9 t 2 Veamos cuando la piedra llega al suelo(posición final) estas ecuaciones quedan 30 = 20 t 0 = y 0-4,9 t 2 Resolviendo este sistema tenemos que y 0 = 11,02 m 4. Un avión que vuela en horizontal a 100 m/s y a 500 m de altitud, debe lanzar un paquete de ayuda a un náufrago hambriento, muy hambriento, que se encuentra en una pequeña isla rodeado de tiburones hambrientos, muy hambrientos, así que el piloto debe acertar a la primera. Desde que distancia de la isla debe dejar caer el paquete para que no caiga en el mar. Calculo el tiempo que tarda en llegar al suelo desde 500 m de altura, para ello uso la ecuación de la posición vertical y= y 0 + v 0y t - 4,9 t 2 (ecuación teórica) y= 500-4,9 t 2 (ecuación para este caso) 0 = 500-4,9 t 2 (condición cuando el paquete está en el suelo)

5 despejo y tengo que tarda 10,1 s en llegar al suelo. Durante este tiempo el paquete avanza en horizontal a 100 m/s, el espacio que recorre en horizontal será x = v x t x = ,1 = 1010 m Por tanto debemos soltar el paquete 1010 m antes de pasar por encima de la isla para que caiga en ella. OTRO PLANTEAMIENTO (más matemático) Pues nada seguimos igual, con las coordenadas. El paquete parte desde el avión a una altura de 500 m, es decir, las coordenadas iniciales son x o =0, y 0 =500 y al final las coordenadas serán y=0 y la x no la conozco. Volvemos con las ecuaciones de posición del MRU y del MRUA (a=-9,8m/s 2 ) y= y 0 + v 0y t - 4,9 t 2 Disponemos de esas ecuaciones, ahora las aplico al caso planteado en el enunciado y me queda x = 100 t y= 500-4,9 t 2 Veamos cuando la piedra llega al suelo estas ecuaciones se convierten en x = 100 t 0 = 500-4,9 t 2 Resolviendo este sistema tenemos que x = 1010 m 5. Una niña da una patada a un balón con una velocidad inicial de 13 m/s y formando un ángulo de 35 respecto del suelo, la portería se encuentra a 13 m de distancia y mide 2 m de altura. Determinar: a. Qué tiempo tarda la pelota hasta llegar a la portería?. b. Entrará en la portería? (en ese momento la portería está vacía) Veamos las velocidades de ambos movimientos v ox = v cos α v oy = v sen α v ox = 13 cos35 = 10,65 m/s v oy = 13 sen35 = 7,46 m/s Para saber si entra tenemos que saber donde está la pelota cuando su coordenada x es la misma que la de la portería, es decir, cuando x= 13 m. La ecuación del movimiento horizontal de esta pelota es x = 10,65 t Cuando pase a la altura de la portería Despejo t, 13 = 10,65 t t = 1,22 s es el tiempo que tarda en llegar a la portería

6 Y en ese momento está a una altura dada por y= 7,46 t - 4,9 t 2 y = 7,46 1,22-4,9 1,22 2 = 1,8 m Luego si que entra en la portería (su altura es menor que la de la portería). (las proporcines no están muy allá pero creo que queda claro) 6. Quieres encestar un balón en una canasta de baloncesto situada a 6 m de distancia y que está a una altura sobre el suelo de 3 m. Lanzas la pelota con un ángulo de 65º qué velocidad debes imprimir al balón para encestar? Son dos movimientos, veamos las velocidades de cada uno v ox = v cos α v oy = v sen α v ox = v cos65 v oy = v sen65 En este caso no conocemos v, ese es precisamente el objetivo del ejercicio: calcular su valor. Sabemos que cuando esté a 6 m (x=6) el balón debe estar a una altura de 3 m (y=3), planteamos las ecuaciones de cada movimiento para esta situación x = v ox t y= y 0 + v oy t - 4,9 t 2 Con los valores del ejercicio estas ecuaciones quedan en 6 = v cos(65) t 3= 1,8 + v sen(65) t - 4,9 t 2 Como vemos tenemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, si lo resolvemos obtenemos que v = 9,2 m/s 7. Determinar la inclinación con que debemos lanzar un balón para que alcance una distancia de 12 m desde el punto de lanzamiento si sabemos que podemos imprimirle una velocidad inicial de 25 m/s y despreciamos la resistencia del aire. Este caso vuelve a precisar de un sistema de ecuaciones.

7 movimiento horizontal x = v cos(α) t movimiento vertical y= y 0 + v sen(α) t t 2 En nuestro caso movimiento horizontal x = 25 cos(α) t movimiento vertical y= 25 sen(α) t t 2 Y en el punto de impacto del balón con el suelo movimiento horizontal 12 = 25 cos(α) t movimiento vertical 0= 25 sen(α) t t 2 Vemos dos ecuaciones y dos incógnitas que resolvemos, por ejmplo, despejando t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda =ݐ 12 ߙcos 25 Sustituyendo en la segunda ecuación tenemos Al quitar paréntesis Denominador común... ߙ ݏ 25 = 0 0 = ଶ ൬ 25 ߙ cos 25 cos ߙ ൰ 12 ߙ ݏ 25 ߙ cos 25 ߙ cos ߙ ݏ 25ଶ 12 = 0 25 ଶ cos ଶ ߙ 4,9 12ଶ ߙ 25 ଶ cos ଶ 4,9 12ଶ ߙ cos ଶ 25 0 = ଶ ߙ ݏ cos 4,9 ߙ 12 ଶ ߙ 2 ݏ =ߙݏ ߙ ݏ 2 recordando un poco de trigonometría sustituimos y obtenemos que 0 = ଶ 4,9 ߙ 2 ݏ 12 ଶ 2 sen2α = , por tanto 2α = 10,84 y α = 5,42º es decir lanzando con un ángulo de 5,42º llegamos a la distancia deseada, pero este no es elúnico ángulo existe otra solución cuál es? (trigonometría apicada)

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