Preparatoria Sor Juana Inés de la Cruz Cálculo Diferencial Tutorial: Optimización Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

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Jorge Ponce Ferreyra
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1 Preparatoria Sor Juana Inés de la Cruz 1 Cálculo Diferencial Tutorial: Optimización Ing. Jonathan Quiroga Tinoco Grupo: Físico Matemático, Químico Biológico y Económico Administrativo Diciembre de 2014 Ciclo Escolar: Agosto 2014 Enero 2015

2 Bloque III: Resultado de aprendizaje: Tema 3: Introducción Cálculo de Derivadas Optimiza modelos matemáticos mediante el cálculo de máximos y mínimos Optimización para la solución de problemas de aplicación 2 La palabra optimización no resulta ajena a nuestro lenguaje cotidiano, optimizar es sinónimo de mejorar, de elevar la calidad o bien de simplificar procedimientos. En Cálculo Diferencial puede ser interpretado de la misma manera. La optimización nos permitirá solucionar problemas de manera más efectiva, pero sobre todo simple para que interprete y aplique los conceptos básicos del Cálculo diferencial, Modelando matemáticamente fenómenos relacionados con su ocupación, reconociendo los alcances de su uso en la resolución de los problemas y en la toma de decisiones. El concepto básico de optimización En nuestro caso, la optimización la aplicaremos para solucionar problemas dónde deberemos determinar valores máximos y mínimos, situación ya realizada en el tema pasado. La determinación de valores máximos y mínimos de una función tiene muchas y variadas aplicaciones prácticas, porque es muy común que un problema se resuelva al determinar un valor máximo o uno mínimo. Los casos más sencillos son aquellos en que la función es conocida, es decir, el planteamiento del problema ya incluye a f(x) y además son de una sola variable independiente; todo lo que tendremos que realizar será lo mismo que ya hicimos en la sección 2 de la evidencia de práctica 1. En otros casos, los más complicados, hay que empezar por obtener la expresión matemática en forma de función, f(x), y una vez que la tengamos proceder a aplicar el método conocido como el criterio de la segunda derivada. Metodología de solución Independientemente de si se conozca o no a la función, los siguientes pasos deben ser realizados: A. Expresar matemáticamente la función de la que se quiere calcular el máximo o el mínimo. Si no la tenemos tendremos entonces la deberemos encontrar aplicando todos nuestros conocimientos previos, principalmente de aritmética, álgebra, geometría, probabilidad, estadística, física, química, etc.

3 B. Si resulta una función de una sola variable procedemos inmediatamente con el siguiente inciso. Si hay más de una variable, deberemos aplicar los principios algebraicos que nos permitan relacionar las variables en una sola que generalmente será x. C. Una vez que tenemos f(x) =, procederemos a calcular los máximos y mínimos por los métodos ya conocidos que incluyen encontrar la primera y la segunda derivadas, igualar con cero la primera, resolver la igualación, sustituir x en la segunda y finalmente encontrar a y. 3 D. Como paso final deberemos resolver lo que el problema nos plantea, esto depende de cada caso y habrá que utilizar la lógica y el razonamiento. Ejemplos Primer caso. Conociendo la función desde el planteamiento 1. Desde el suelo se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 30 metros sobre segundos. Calcule la altura máxima que alcanzará. Solución Según la Física en un tema llamado Tiro vertical la altura máxima que alcanza un objeto al ser lanzado hacia arriba depende de la velocidad inicial, de la gravedad, pero sobre todo del tiempo y la siguiente fórmula lo señala: h = 30 t 5t 2 dónde h es la altura en metros y t el tiempo en segundos, considerando ya la fuerza de gravedad y los 30 m/s. como la altura h depende del tiempo t, entonces t es la variable independiente, es decir x, y entonces h sería y, pero nosotros en lugar de y usamos f(x), por lo que podemos reescribir la fórmula: f(x) = 30 x 5x 2 y listo, conocemos f(x) por lo que procedemos a calcular su valor máximo. Encontramos la primera derivada: f (x) = 30 10x Encontramos la segunda derivada: f (x) = -10

Igualamos con cero la primera derivada: 30 10x = 0 Solucionamos la ecuación: x = 3 Sustituimos x en la segunda derivada: f (3) = -10 Como es negativo se trata de un máximo 4 Y y lo encontramos

Nos preguntan la altura máxima que alcanzará, pero la altura es para nosotros y que a su vez en Física equivale a h, y como y = 45, entonces la altura máxima alcanzada vale 45 metros. Segundo caso.

4 Igualamos con cero la primera derivada: 30 10x = 0 Solucionamos la ecuación: x = 3 Sustituimos x en la segunda derivada: f (3) = -10 Como es negativo se trata de un máximo 4 Y y lo encontramos sustituyendo x en f(x): y = 30 (3) 10 (3) 2 y = 45 El punto máximo está ubicado en (3,45) El resultado Sin embargo aún no resolvemos el problema. Nos preguntan la altura máxima que alcanzará, pero la altura es para nosotros y que a su vez en Física equivale a h, y como y = 45, entonces la altura máxima alcanzada vale 45 metros. Segundo caso. Sin conocer la función desde el planteamiento. 2. Se venden terrenos de forma rectangular con perímetro de 72 metros. Encuentre las dimensiones (largo y ancho) del terreno con la mayor área que se pueda comprar. Solución Como desconocemos a f(x) deberemos primero encontrarla. Planteamiento Como estamos resolviendo un problema de geometría, al final de cuentas se habla de perímetro y área de una figura rectangular, entonces un dibujo basado en el plano cartesiano nos será de mucha utilidad:

5 Hemos igualado ancho con y y largo con x porque sus dimensiones coinciden con los ejes del plano cartesiano. Ahora procedemos a recordar las fórmulas geométricas para calcular perímetro y área de un rectángulo y sustituimos nuestros valores: Fórmula geométrica Fórmula de nuestro problema Área A = Largo Ancho Área A = x y 5 Perímetro P = 2 Largo + 2 Ancho Perímetro 72 = 2 x + 2 y Porque sabemos que el perímetro vale 72 metros El inconveniente es que tenemos dos variables: x y y, pero podemos reducirlo de la siguiente manera: Despejamos y de la fórmula del perímetro: y = 36 x Sustituimos y en la fórmula del área: A = x (36 x) Realizamos las operaciones señaladas: A = 36x x 2 Finalmente, igualaremos A = f(x) porque nuestro problema nos pide que encontremos el área máxima, por lo tanto el área es la función matemática que estamos buscando: f(x) = 36x x 2 y listo, conocemos f(x) por lo que procedemos a calcular su valor máximo. Encontramos la primera derivada: f (x) = 36 2x Encontramos la segunda derivada: f (x) = -2 Igualamos con cero la primera derivada: 36 2x = 0

6 Solucionamos la ecuación: x = 18 Sustituimos x en la segunda derivada: f (18) = -2 Como es negativo se trata de un máximo Y y lo encontramos sustituyendo x en la fórmula que obtuvimos del despeje del perímetro y = 36 x 6 y = 18 El punto máximo está ubicado en (18,18) El resultado Sin embargo aún no resolvemos el problema. Nos preguntan las dimensiones que debe tener nuestro terreno para tener un área máxima, como x = 18 y también y = 18, entonces podemos concluir que el terreno debe tener de largo 18 metros y de ancho también 18 metros, no lo preguntan, pero esa área máxima seria el producto de 18 metros por 18 metros, es decir, el área máxima equivale a 324 metros cuadrados. Ejercicio de práctica. Analice el siguiente caso y resuélvalo de la misma manera en que se resolvieron los primeros. 1. Con un cartoncillo de forma cuadrada de 12 centímetros de lado se desea construir una caja abierta recortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando hacia arriba, tal como se indica en la figura. Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados que se va a recortar para que la caja tenga un volumen máximo? Y para qué tenga un volumen mínimo? x 12 cm x

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