MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Series de Fourier. Departamento de Matemáticas. Intro. Serie de. Fourier. S k. Convergencia.
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- Héctor Molina Valdéz
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1 Series Serie Series MA3002
2 Series Serie Las Series trigonométricas, o simplemente series fueron sarrolladas por el matemático francés Jean-Baptiste Joseph (21 marzo 1768 en Auxerre - 16 mayo 1830 en París). La ia que subyace en las series es la scomposición una señal periódica en términos señales periódicas básicas (senos y cosenos) cuyas frecuencias son múltiplos la señal original. La ia scomposición es un proceso fundamental en el area científica en general: la scomposición permite el análisis las propiedas y la síntesis los objetos o fenómenos.
3 Series Serie Serie La serie una función periódica f (x) período T, también conocida como señal, finida en un intervalo longitud T está dada por: don f (x) = a (a n cos (n ω 0 x) + b n sen (n ω 0 x)) n=1 ω 0 = 2 T la frecuencia fundamental 1 a 0 = f (x) dx T /2 T 1 a n = f (x) cos (n ω 0 x) dx T /2 T 1 b n = f (x) sen (n ω 0 x) dx T /2 T
4 Series Serie Sumas parciales Para la serie una función f (x) periódica finida en un intervalo longitud T la k-ésima suma parcial, representada por (x) está dada por: (x) = a k (a n cos (n ω 0 x) + b n sen (n ω 0 x)) n=1
5 Series Serie Ejemplo 1 Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < O Aquí ω 0 = 2 2 = 1.
6 Series a 0 = 1 f (x) dx = 1 ( 0 0 dx + 0 ) ( x) dx Serie
7 Series a 0 = 1 f (x) dx = 1 [ x x 2 ] ( 0 0 dx + 0 ) ( x) dx Serie = 1 2 0
![] ( 0 0 dx + 0 ) (](/docs-images/42/22792253/images/page_7.jpg "x) dx Serie = 1 2")
8 Series a 0 = 1 f (x) dx = 1 [ x x 2 ] ( 0 0 dx + 0 ) ( x) dx Serie = 1 a 0 = 2 2 0
9 Series a 0 = 1 f (x) dx = 1 [ x x 2 ] ( 0 0 dx + 0 ) ( x) dx Serie = 1 a 0 = a n = 1 f (x) cos(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1
10 Series a 0 = 1 f (x) dx = 1 [ x x 2 ] ( 0 0 dx + 0 ) ( x) dx Serie = 1 a 0 = a n = 1 f (x) cos(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 0 dx + ( x) cos(n x) dx 0
11 Series a 0 = 1 f (x) dx = 1 [ x x 2 ] ( 0 0 dx + 0 ) ( x) dx Serie = 1 a 0 = a n = 1 f (x) cos(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 0 dx + ( x) cos(n x) dx 0 1 = n 2 [( sen(n x) cos(n x) n x sen(n x))] 0
12 Series a 0 = 1 f (x) dx = 1 [ x x 2 ] ( 0 0 dx + 0 ) ( x) dx Serie = 1 a 0 = a n = 1 f (x) cos(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 0 dx + ( x) cos(n x) dx 0 1 = n 2 [( sen(n x) cos(n x) n x sen(n x))] 0 a n = 1 ( 1)n n 2
13 Series Serie b n = 1 f (x) sen(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1
14 Series Serie b n = 1 f (x) sen(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 0 dx + ( x) sen(n x) dx 0
15 Series Serie b n = 1 f (x) sen(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 0 dx + ( x) sen(n x) dx 0 1 = n 2 [( n cos(n x) sen(n x) + n x cos(n x))] 0
16 Series Serie b n = 1 f (x) sen(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 0 dx + ( x) sen(n x) dx 0 1 = n 2 [( n cos(n x) sen(n x) + n x cos(n x))] 0 b n = 1 n
17 Series Serie Algunas sumas parciales: S 1 = cos(x) + sen(x) S 2 = cos(x) + sen(x) sen(2 x) S 3 = cos(x) + sen(x) sen(2 x)+ 2 9 cos(3 x) sen(3 x) S 4 = cos(x) + sen(x) sen(2 x)+ 2 9 cos(3 x) sen(3 x) sen(4 x) S 5 = cos(x) + sen(x) sen(2 x)+ 2 9 cos(3 x) sen(3 x) sen(4 x) cos(5 x) sen(5 x), S 6 = cos(x) + sen(x) sen(2 x)+ 2 9 cos(3 x) sen(3 x) sen(4 x) cos(5 x) sen(5 x) sen(6 x)
18 Series Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Serie Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O
19 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 1
20 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 2
21 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 3
22 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 4
23 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 5
24 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 6
25 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 7
26 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 8
27 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 9
28 Series Serie Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 0 < x < 0 f (x) = x 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 2, a n = 1 ( 1)n n 2, b n = 1 n Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan la siguiente manera: O S 10
29 Series Serie Ejemplo 2 Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < 2 O 1 Aquí ω 0 = 2 2 = 1.
30 Series a 0 = 1 f (x) dx = 1 ( 0 ) 1 dx + 2 dx 0 Serie
31 Series a 0 = 1 f (x) dx = 1 = 1 ( ) [ x] 0 + [2 x] 0 ( 0 ) 1 dx + 2 dx 0 Serie
32 Series Serie a 0 = 1 f (x) dx = 1 = 1 ( ) [ x] 0 + [2 x] 0 a 0 = 1 ( 0 ) 1 dx + 2 dx 0
33 Series Serie a 0 = 1 f (x) dx = 1 = 1 ( ) [ x] 0 + [2 x] 0 a 0 = 1 a n = 1 ( 0 ) 1 dx + 2 dx 0 f (x) cos(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1
34 Series Serie a 0 = 1 f (x) dx = 1 = 1 ( ) [ x] 0 + [2 x] 0 a 0 = 1 ( 0 ) 1 dx + 2 dx 0 a n = 1 f (x) cos(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 1 cos(n x) dx + 2 cos(n x) dx 0
35 Series Serie a 0 = 1 f (x) dx = 1 = 1 ( ) [ x] 0 + [2 x] 0 a 0 = 1 ( 0 ) 1 dx + 2 dx 0 a n = 1 f (x) cos(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 1 cos(n x) dx + 2 cos(n x) dx ( [ 0 = 1 ] sen(n x) 0 [ ] ) sen(n x) + 2 n n 0
36 Series Serie a 0 = 1 f (x) dx = 1 = 1 ( ) [ x] 0 + [2 x] 0 a 0 = 1 ( 0 ) 1 dx + 2 dx 0 a n = 1 f (x) cos(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 1 cos(n x) dx + 2 cos(n x) dx ( [ 0 = 1 ] sen(n x) 0 [ ] ) sen(n x) + 2 n n 0 a n = 0
37 Series Serie b n = 1 f (x) sen(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1
38 Series Serie b n = 1 f (x) sen(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 1 sen(n x) dx + 2 sen(n x) dx 0
39 Series Serie b n = 1 f (x) sen(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 1 sen(n x) dx + 2 sen(n x) dx ( [cos(n 0 = 1 ] x) 0 [ ] ) cos(n x) + 2 n n 0
40 Series Serie b n = 1 f (x) sen(ω 0 n x) dx recuer ω 0 = 1 = 1 ( 0 ) 1 sen(n x) dx + 2 sen(n x) dx ( [cos(n 0 = 1 ] x) 0 [ ] ) cos(n x) + 2 n n b n = 3 (1 ( 1)n ) n 0
41 Series Serie Algunas sumas parciales: S 1 = S 2 = sen(x) S 3 = S 4 = sen(x) + 2 sen(3 x) S 5 = S 6 = sen(x) + 2 S 7 = S 8 = sen(x) + 2 sen(7 x) sen(3 x) + 5 sen(5 x) 6 sen(3 x) + 5 sen(5 x)+ S 9 = S 10 = sen(x) sen(3 x) + 5 sen(5 x) sen(7 x) + 3 sen(9 x) S 11 = S 12 = sen(x) sen(3 x) + 5 sen(5 x) sen(7 x) + 3 sen(9 x) + 11 sen(11 x)
42 Series Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < Serie 2 O 1
43 Series Serie Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 1, a n = 0, b n = 3 (1 ( 1)n ) n 2 O S 1 1
44 Series Serie Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 1, a n = 0, b n = 3 (1 ( 1)n ) n 2 O S 3 1
45 Series Serie Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 1, a n = 0, b n = 3 (1 ( 1)n ) n 2 O S 5 1
46 Series Serie Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 1, a n = 0, b n = 3 (1 ( 1)n ) n 2 O S 7 1
47 Series Serie Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 1, a n = 0, b n = 3 (1 ( 1)n ) n 2 O S 9 1
48 Series Serie Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 1, a n = 0, b n = 3 (1 ( 1)n ) n 2 O S 11 1
49 Series Serie Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 1, a n = 0, b n = 3 (1 ( 1)n ) n 2 O S 13 1
50 Series Serie Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie la función: { 1 < x < 0 f (x) = 2 0 x < Los coeficientes la serie quedaron: a 0 = 1, a n = 0, b n = 3 (1 ( 1)n ) n 2 O S 15 1
51 Series Serie Condiciones convergencia Sea f (x) una función periódica finida en un intervalo longitud T continua, excepto posiblemente en un número finito puntos don tiene discontinuidas finitas y que posee rivada continua también excepto en número finito puntos don tiene discontinuidas finitas. Entones, la serie f (x) converge a f (x) en todo punto continuidad y en los puntos discontinuidad la serie converge a f (x+) + f (x ) 2 don f (x+) representa el ĺımite por la recha a x y f (x ) representa el ĺımite por la izquierda a x.
52 Series Código en la TI a 0 Serie
53 Series Código en la TI a n Serie
54 Series Código en la TI b n Serie
55 Series Formato la función entrada Serie
56 Series Uso las funciones Serie
57 Series Serie Ejemplo 3 Expanda en una Serie la función: 1 2 x < 0 x < 0 f (x) = x 0 x < x x < Aquí ω 0 = 2 4 = 1/2.
58 Series Serie Ejemplo 4 Expanda en una Serie la función: 0 2 x < x < 0 f (x) = 1 0 x < x < Aquí ω 0 = 2 4 = /2.
59 Series Serie Cosas a recordar Las funciones sen(x) y cos(x) son funciones periódicas con periodo 2. Si f (x) es periódica con periodo T entonces f (a x) es periódica con periodo S = T /a: Pues se necesita que f (a (x + S)) = f (a x + a S) = f (a x): a S = T. En términos la frecuencia, tenemos que la frecuencia f (a x) es a-veces la frecuencia f (x). Si f (x) es periódica con periodo T y g(x) es periódica con periodo S entonces f (x) + g(x) será periódica sii existen enteros positivos n y m tales que n T = m S. Pues se necesita encontrar un cierto número veces que ambos periodos se repitan. Si f (x) es periódica con periodo T entonces cualquier entero positivo n, f (x) + f (n x) es una función periódica con periodo T.
60 Series Serie Forma compacta la series La serie : a ( ( ) ( )) 2 n 2 n a n cos T x + b n sen T x n=1 se pue escribir en la forma compacta: don A 0 + n=1 A 0 = a 0 /2, A n = ( ) 2 n A n cos T x + φ n ( ) an 2 + bn, 2 φ n = tan 1 bn a n Es más conveniente calcular: φ n = Arg (a n + b n i)
61 Series Ejemplo 5 Expanda en una Serie la función: f (x) = { e x 0 < x < 0.5 Serie 0.5
62 Series Problema anterior realizado mediante la calculadora. Serie
63 Series Amplitud y fase l ejemplo 5 A A n A Serie ω φ n ω /2
64 Series Serie Ias Usando la fórmula Euler e a i = cos(a) + sen(a) i y su variante e a i = cos(a) sen(a) i, tenemos: cos(a) = ea i + e a i 2 por tanto, el término pue escribirse como y sen(a) = ea i e a i 2 i f k (x) = a k cos(k ω 0 x) + b k sen(k ω 0 x) f k (x) = a k ( e k ωo x i +e k ωo x i 2 ) ( + b e k ωo x i e k = 1 2 (a k b k i) e k ωo x i (a k + b k i) e ) k ωo x i 2 i k ωo x i si finimos los coeficientes las exponenciales e k ωo x i y e k ωo x i como c k = 1 2 (a k b k i) y c k = 1 2 (a k + b k i)
65 Series Serie Entonces la serie f (x) = a (a n cos (n ω 0 x) + b n sen (n ω 0 x)) n=1 podría escribirse como: f (x) = a (c n e n ωo x i n ωo x + c n e i) n=1 = a c n e n ωo x i + n=1 = a c n e n ωo x i + n=1 n=1 n= 1 n ωo x i c n e c n e n ωo x i
66 Series Serie Series complejas La serie compleja una función f (x) períodica finida en el intervalo longitud T está dada por la fórmula don ω 0 = 2 T c n = 1 T T + n= c n e n ωo x i f (x) e n ω 0 x i dx n = 0, ±1, ±2, ±3,... Relación entre la forma compacta y la compleja: ( ) A n = 2 c n, φ n = tan 1 (cn c n ) i c n + c n
67 Series Serie Ejemplo 6 Expanda en una Serie la función: 0 1/2 < x < 1/4 f (x) = 1 1/4 < x < 1/4 0 1/4 < x < 1/ /2 1/4 1/4 1/2
68 Series Código en la TI c n Serie
69 Series Ejemplo c n Serie
70 Series c 0 mediante límites Serie
71 Series Varios c i Serie
72 Series Serie Potencia media La potencia media una señal periódica f (x) con período T se fine como:. 1 P media = f (x) 2 dx T T La relación Parseval las series en el caso la serie compleja se expresa como: P media = + n= y en el caso la serie real: P media = 1 2 c n 2 ( ao ( a 2 n + bn 2 ) ) n=1
73 Series Serie Para por responr la pregunta: cuántos términos la serie se ben tomar aproximar razonablemente una función periódica? La clave pue estar en la potencia media. Se calcula la potencia media y establece un nivel en el cual se sea aproximarla. Digamos un 95% o un 99%. Con esto se van realizando sumas parciales la fórmula Parseval hasta alcanzar el nivel aproximación seado. Aunque sería seable terminar anaĺıticamente un nivel aproximación el valor n o en el cual se obtiene la aproximación, en general, es muy difícil tener dicho valor.
74 Series Serie Ejemplo Para la función f (x) = { 0 < x < 0 x 0 x < termine el porcentaje la potencia media que aproxima tomar la 20-ésima suma parcial. O
75 Series Definición la función Definiremos la función en el formato requerido y aprovecharemos que cuando aplicamos fa0(f 2 ) entrega 1 T /2 T f (x) 2 dx = 2 1 T T f (x) 2 dx = 2 P media Serie
76 Series Determinación a 0, a n y b n Serie
77 Series Generación a 1 a a 20 y b 1 a b 20 Serie
78 Series Potencia media en S 20 y su comción contra la f (x): Tenemos una aproximación l 98% Serie
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