MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Funciones extendidas. Departamento de Matemáticas. Intro. Exponencial. Nota 1. Logaritmo.

Transcripción

1 MA3002

2 En esta sección veremos cómo se extienn las funciones que ya conocemos números reales pero ahora al plano complejo. En lo que sigue, las funciones cuyo nombre está en letra azul son funciones variable compleja y las que tienen su nombre en color negro son las funciones reales conocidas; a priori no se tiene información pensar que tienen algo que ver su contraparte real, aunque a posteriori son efectivamente su extensión al plano complejo.

3 La función exponencial compleja Sea z = x + y i un número complejo. Se fine la función exponencial compleja por la expresión: Propiedas que cumple: e z = e x cos(y) + e x sen(y) i La exponencial compleja extien la real: e x = e x e z 1+z 2 = e z1 e z 2 La función satisface la ecuaciones Cauchy-Riemann en el plano complejo (es cir, es entera) y d dz ez = e z La función exponencial es una función periódica con periodo 2 π i: e z+2 π i = e z

4 Para probar la ley los exponentes usando la calculadora procemos como en la siguiente figura. Como hemos visto en algún ejemplo anterior, notemos que probar que e z 1+z 2 = e z1 e z 2, nos conviene revisar que e z 1+z 2 e z1 e z 2 = 0. La expresión a la izquierda tiene muchos términos pero cuando se sarrolla por medio intidas trigonométricas se simplifica a cero.

5 Para comprobar que la función exponencial es entera, es cir, que es rivable en todo complejo usaremos las ecuaciones Cauchy-Riemann. Comprobaremos el cumplimiento las ecuaciones Cauchy-Riemann la función exponencial. Revisaremos también que su rivada es ella misma comprobando que d dz ez e z es cero. Esto lo ilustramos en las siguientes figuras.

6 Para comprobar que la función es periódica verificamos que e z+2 π i e z es cero.

7 Ejemplos evaluación la función exponencial Calcule e z z 1 = i y z 2 = 0.5 π/3 e z 1

8 Ejemplos evaluación la función exponencial Calcule e z z 1 = i y z 2 = 0.5 π/3 e z 1 = e 2 (cos(3) + sen(3) i) i

9 Ejemplos evaluación la función exponencial Calcule e z z 1 = i y z 2 = 0.5 π/3 e z 1 = e 2 (cos(3) + sen(3) i) i e z 2

10 Ejemplos evaluación la función exponencial Calcule e z z 1 = i y z 2 = 0.5 π/3 e z 1 = e 2 (cos(3) + sen(3) i) i e z 2 Como z 2 = 0.5 π/3 = 0.5 cos(π/3) sen(π/3) i i

11 Ejemplos evaluación la función exponencial Calcule e z z 1 = i y z 2 = 0.5 π/3 e z 1 = e 2 (cos(3) + sen(3) i) i e z 2 Como Así z 2 = 0.5 π/3 = 0.5 cos(π/3) sen(π/3) i i e z 2 e 0.25 (cos(0.4330) + sen(0.4330) i) i

12 Ejemplos evaluación la función exponencial Calcule e z z 1 = i y z 2 = 0.5 π/3 e z 1 = e 2 (cos(3) + sen(3) i) i e z i Como Así z 2 = 0.5 π/3 = 0.5 cos(π/3) sen(π/3) i i e z 2 e 0.25 (cos(0.4330) + sen(0.4330) i) i

13 Los cálculos anteriores puen relizarse en la TI como se ilustra en las siguientes figuras. Al final l primer cálculo se usó la combinación punto ver-enter calcular el valor aproximado. En el segundo ejemplo no hubo necesidad calcular el valor aproximado; ya lo dió aproximado. Esto se be a que en el número complejo dado había un número punto flotante. Esto arrastra la artimética manera que todo se haga en forma aproximada. Si esto no hubiera sido seable, entonces bimos haber puesto 1/2 en lugar 0.5 en nuestro ejemplo.

14 Mapeo asociado a f (z) = e z (recuer que el periodo es 2 π i 6.28 i) y v 2 π i e 1 i O x e 1 i u

15 Con la introducción la función exponencial compleja pomos extenr nuestra forma representar números complejos en la forma polar: si z tiene módulo r y argumento principal θ tenemos que z = r θ = r e θ i

16 La función logaritmo ln(z) Sea z un número complejo diferente cero cuyo módulo es r y cuyo argumento es θ, se fine como el logaritmo natural complejo z a la expresión ln(z) = ln(r) + (θ + 2 n π) i n = 0, ±1, ±2,... y el logaritmo natural principal complejo z está dado por: Propiedas: Ln(z) = ln(r) + θ i ln y Ln están finidas en C excepto en z = 0. Ln extien el logaritmo natural sobre los reales positivos; Ln(x) = ln(x) x real y positivo. ln es la inversa la exponencial e ln(z) = z.

17 Para comprobar que la función logaritmo es rivable en todo punto excepto en z = 0, comprobaremos el cumplimiento las ecuaciones Cauchy-Riemann la función exponencial. Revisaremos también que su rivada es 1/z comprobando que dz d ln(z) 1/z es cero. Esto lo ilustramos en las siguientes figuras. Note que en la primera las ecuaciones Cauchy-Riemann aparece la rivada l la función signo en y. Esta función vale -1 negativos y vale 1 positivos; es infinida en cero. La rivada esta función es cero cualquier y diferente 0; y en cero no está finida. Pero cuando y = 0 entonces la función logaritmo coinci en su rama principal con ln( x ) el cual es rivable en todo punto excepto en cero. O sea que (x = 0, y = 0) es nuestro problema la rivación; pero no hay problema porque no está en el dominio.

18 La función logaritmo ln(z); ejemplos Calcule ln(z) z 1 = 4, z 2 = 2 i y z 3 = i:

19 La función logaritmo ln(z); ejemplos Calcule ln(z) z 1 = 4, z 2 = 2 i y z 3 = i: ln(z 1 ) Como z 1 = 4 e π i, z 1 = 4 y θ = π por tanto: ln( 4) = ln(4) + (π + 2 n π) i

20 La función logaritmo ln(z); ejemplos Calcule ln(z) z 1 = 4, z 2 = 2 i y z 3 = i: ln(z 1 ) Como z 1 = 4 e π i, z 1 = 4 y θ = π por tanto: ln( 4) = ln(4) + (π + 2 n π) i ln(z 2 ) Como z 2 = 2 e π/2 i, z 1 = 2 y θ = π/2 por tanto: ln(2 i) = ln(2) + (π/2 + 2 n π) i

21 La función logaritmo ln(z); ejemplos Calcule ln(z) z 1 = 4, z 2 = 2 i y z 3 = i: ln(z 1 ) Como z 1 = 4 e π i, z 1 = 4 y θ = π por tanto: ln( 4) = ln(4) + (π + 2 n π) i ln(z 2 ) Como z 2 = 2 e π/2 i, z 1 = 2 y θ = π/2 por tanto: ln(2 i) = ln(2) + (π/2 + 2 n π) i ln(z 3 ) Como z 3 = 5 y θ = π/2 tan 1 (3/4) por tanto: ln(3 + 4 i) = ln(5) + ( π/2 tan 1 (3/4) + 2 n π ) i

22 Los cálculos anteriores puen relizarse en la TI como se ilustra en las siguientes figuras. Note el uso la las comprobaciones que los resultados encontrados satisfacen la propiedad; este símbolo en la calculadora representa un entero cualquiera. El se obtiene la combinación 2nd

23 Si en la fórmula el logaritmo z tomamos n = 0, el resultado se llama el valor principal l ln(z) y diferenciarlo ln(z) se utiliza la notación: Ln(z) = ln( z ) + θ i esta función está finida z diferentes cero y se cumple: d dz Ln(z) = 1 z

24 y Mapeo asociado a f (z) = Ln(z) usando el valor principal v O ln(0.5) ln(4) x O u

25 complejas Con base en la igualdad x a = e a ln(x) que se cumple reales positivos se fine: z α = e α ln(z) Si se usa Ln(z) en lugar ln(z), al resultado se le llama el valor principal z α. Ejemplo: calcule el valor i 3 i : aquí z = i, z = 1 y θ = π/2: i 3 i = e 3 i ln(i) = e3 i(ln(1)+(π/2+2 π n) i) = e 3/2 π 6 π n El valor principal queda:n = 0 = e 3/2 π

26 complejos Ejemplo: Calcule las raices cúbicas z 1 = i. Éstas puen calcularse como z 1/3 1 = e 1/3 ln(z1) : como z 1 = 1 y θ = π/4, entonces por tanto z 1/3 ln(z 1 ) = ln(1) + (π/4 + 2 π n) i = 0 + (π/4 + 2 π n) i 0+1/3(π/4+2 π n) i 1 = e 1/3 ln(z1) = e = e 0 (cos (π/ π n/3) + sen (π/ π n/3) i) Para n = 0 r 0 = cos (π/12) + sen (π/12) i Para n = 1 r 1 = cos (3 π/4) + sen (3 π/4) i Para n = 2 r 2 = cos (17 π/12) + sen (17 π/12) i Para n = 2 r 3 = cos (25 π/12) + sen (25 π/12) i = r 0

27 Los cálculos anteriores puen relizarse en la TI como se ilustra en las siguientes figuras.

28 Seno y Coseno complejas Para cualquier numero complejo z = x + y i se fine: sen(x + y i) = sen(x) cosh(y) + cos(x) senh(y) i = ei z e i z cos(x + y i) = cos(x) cosh(y) sen(x) senh(y) i = ei z + e i z Recuer que: La función seno hiperbólico se fine como senh(t) = 1 2 ( e t e t) 2 i 2 La función coseno hiperbólico se fine como cosh(t) = 1 2 ( e t + e t)

29 Seno y coseno: Resultados sen y cos extienn a sus contrapartes reales. Son anaĺıticas en todo el plano complejo. Son periodicas con periodo 2 π. d dz sen(z) = cos(z) y d cos(z) = sen(z) dz sen( z) = sen(z), cos( z) = cos(z) cos 2 (z) + sen 2 (z) = 1

30 Para comprobar que las funciones sen(z) y cos(z) son enteras y que sus rivadas cumplen las relaciones conocidas, procemos como en la figura.

31 Otras funciones: tan(z) = sen(z) cos(z), cos(z) cot(z) = sen(z), sec(z) = 1 cos(z), csc(z) = 1 sen(z) senh(z) = ez e z y cosh(z) = ez + e z 2 2 sen 1 (z) = i ln (i z + ) 1 z 2 cos 1 (z) = i ln (z + i ) 1 z ( ) 2 tan 1 (z) = i 2 ln i+z i z

32 No haremos más la distinción colores entre las funciones: por ejemplo cuando escribamos se entenrá que si z es complejo la función be ser e z. e z