MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Funciones de Variable Compleja. Departamento de Matemáticas. Continuidad. Derivada.

Transcripción

1 MA3002

2 variable compleja Cuando el dominio una función f es un conjunto números complejos y cuando los valores que proporciona la función son también números complejos, diremos que f es una función variable compleja o simplemente que f es una función compleja. Como la función evaluada en un número complejo z = x + y i es un número complejo w = f (z), entonces w be ser la forma: w = f (z) = f (x + y i) = u(x, y) + v(x, y) i don u(x, y) es la parte real w y v(x, y) es la parte imaginaria. Así, una función variable compleja pu ser vista como el resultado dos funciones en dos variables valor real. w = f (z) y dominio z x v w imagen u

3 Ejercicios Escriba las siguientes funciones en la forma: f (z) = f (x + y i) = u(x, y) + v(x, y) i Es cir, termine la fórmula la parte real u(x, y) y la fórmula la parte imaginaria v(x, y) la función f (z). 1 f 1 (z) = 6 z i 2 f 2 (z) = 7 z 9 i z i 3 f 3 (z) = z 2 3 z + 4 i 4 f 4 (z) = 3 (z) z 5 f (z) = z 3 4 z 6 f (z) = z + 1/z 7 f (z) = z 4 8 f (z) = z z+1

4 Para f 1 (z) = 6 z i: f 1 (z) = f 1 (x + y i) = 6 (x + y i) i = 6 x + 6 y i i = 6 x y i + 9 i = (6 x 5) + (6 y + 9) i Por lo tanto, la función f 1 (z) la parte real es la función u(x, y) = 6 x 5 y la parte imaginaria es v(x, y) = 6 y + 9.

5 Para f 2 (z) = 7 z 9 i z i: f 2 (z) = f 2 (x + y i) = 7 (x + y i) 9 i (x + y i) i = 7 (x + y i) 9 i (x y i) i = 7 x + 7 y i 9 x i 9 y i = 7 x 9 y 3 9 x i + 7 y i + 2 i = (7 x 9 y 3) + ( 9 x + 7 y + 2) i Por lo tanto, la función f 2 (z) la parte real es la función u(x, y) = 7 x 9 y 3 y la parte imaginaria es v(x, y) = 9 x + 7 y + 2.

6 Para f 3 (z) = z 2 3 z + 4 i: f 3 (z) = f 3 (x + y i) = (x + y i) 2 3 (x + y i) + 4 i = ( x 2 y x y i ) 3 (x + y i) + 4 i = x 2 y x y i 3 x 3 y i + 4 i = x 2 y 2 3 x + 2 x y i 3 y i + 4 i = ( x 2 y 2 3 x ) + (2 x y 3 y + 4) i Por lo tanto, la función f 3 (z) la parte real es la función u(x, y) = x 2 y 2 3 x y la parte imaginaria es v(x, y) = 2 x y 3 y + 4.

7 Para f 4 (z) = 3 z z: f 4 (z) = f 4 (x + y i) = 3 ( x + y i ) (x + y i) = 3 (x y i) (x + y i) = 3 ( x 2 y 2 2 x y i ) + 2 (x + y i) = 3 x 2 3 y 2 6 x y i + 2 x + 2 y i = 3 x 2 3 y x 6 x y i + 2 y i = ( 3 x 2 3 y x ) + ( 6 x y + 2 y) i Por lo tanto, la función f 4 (z) la parte real es la función u(x, y) = 3 x 2 3 y x y la parte imaginaria es v(x, y) = 6 x y + 2 y.

8 Ejemplos anteriores realizados en la calculadora TI.

9 Ejercicios Evalue la función en los valores dados. f 1 (x + y i) = 2 x y 2 + (x y 3 2 x 2 + 1) i en: z 1 = i, z 2 = 2 i y z 3 = 2 i f 2 (x + y i) = e x cos(y) + e x sen(y) i en: z 3 = 3 + π i/3, z 2 = 1 π i y z 3 = π i/4 f 3 (z) = 4 z + i z + Re(z) en: z 1 = 4 6 i, z 2 = i y z 3 = 2 7 i

10 En las siguientes figuras se ilustran las soluciones los problemas en la TI. Observe la diferencia entre las finiciones la función y la forma evaluarla.

11 Representaciones Note que ante la imposibilidad graficar en R 4 no es posible graficar una función variable compleja. Hay varias opciones representar gráficamente una función: Representar alguna sus partes: La parte real: Re (f (z)) La parte imaginaria: Im (f (z)) Su módulo: (f (z)) Su argumento principal: Arg (f (z)) Representar en el plano complejo la posición sus ceros y sus polos. Trazar en el plano complejo las curvas nivel la parte real e imaginaria la función. Representar cómo transforma un rectángulo. Representarla como un fluído.

12 f (z) = 6 z i Parte real f (z) Parte imaginaria f (z) Argumento f (z) Diagrama Polos y Ceros Módulo f (z)

13 Parte real f (z) f (z) = z z 3 i Parte imaginaria f (z) Argumento f (z) Módulo f (z) Diagrama simplificado polos y ceros (Posición y orn) 1 1

14 f (z) = Parte real f (z) 2 i z 2 2 z + 5 i z Parte imaginaria f (z) Argumento f (z) Módulo f (z) Diagrama simplificado polos y ceros (Posición y orn) 1 1

15 Parte real f (z) f (z) = z3 + z z Parte imaginaria f (z) Argumento f (z) Módulo f (z)

16 f (z) = Parte real f (z) z i z 2 6 z + 25 Parte imaginaria f (z) Argumento f (z) Módulo f (z) 1

17 f (z) = z 2 3 z + 4 i Parte real f (z) Parte imaginaria f (z) Argumento f (z) Diagrama Polos y Ceros Módulo f (z) 1 1

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20 Transformaciones l plano complejo Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes rectas en el plano complejo. Por ejemplo, la función w = f (z) = z 2 = (x + y i) 2 = (x 2 y 2 ) + 2 x y i Aquí u(x, y) = x 2 y 2 y v(x, y) = 2 x y. Ilustremos cómo se mapea el segmento que va (2, 0) a (2, 1), en rojo en la figura. y v z = x + y i f (z) = u + v i x y u v x u

21 Ejercicios Para la función f (z) = z 2 encuentre la imagen la ĺınea indicada: y = 2 x = 3 x = 0 y = 0 x = y y = x

22 complejas como fluidos Una función compleja w = f (z) se pue interpretar como un flujo un fluído bidimensional consirando el número complejo f (z) como un vector basado en el punto z. A veces, será conveniente ilustrar el flujo con vectores normalizados. Por ejemplo, la función w = f (z) = z 2 generaremos el flujo graficando en cada punto z = (x, y) el vector (u esc, v esc ) = 1 2 w (u, v). y x y u v w u esc v esc x

23 El concepto Suponga que usted tiene una pequeña fábrica que genera un solo producto. Suponga también que este artículo está basado en una sola materia prima. Suponga que la materia prima que le proveen sólo tiene un sólo parámetro medible digamos x. Por ejemplo, la nsidad un ĺıquido; la pureza un compuesto químico; el grado humedad cal; el radio promedio los pelets, etc. Suponga también que su producto que ven en diferentes cantidas tiene una sola medida, y. Por ejemplo, el grosor la hoja papel que usted produce. En la situaciones productivas es importante cumplir estándares. Por ejemplo, que el papel que usted produce tiene un cierto grosor con un valor nominal y o y que la variación este valor es correcto con un margen error ɛ. Es cir, que su producto tendrá un valor y que cumple y o y ɛ. Es seable que la cualidad y su producto penda la cualidad x su materia prima: esto lo indicaremos y = y(x).

24 En general, a usted le imponen estándares en su producto: Algo como que la característica su producto, y, se acerque al valor pedido y o con un error máximo ɛ: y y o ɛ Y usted a su vez solicitará a sus proveedores materia prima que la característica medible lo que le venn, x, cumpla ciertos estándares: Algo parecido a que la materia prima tenga una característica x con valor x o con un margen error δ. Es cir, x x o δ Lo que es seable que pase en nuestro proceso es que: si la materia prima cumple nuestro estándar entrada entonces el producto que generamos cumpla el estándar salida: x x o δ implique que y(x) y o ɛ

25 Nosotros sabemos que hay circunstancias don los estándares van cambiando. En muchos casos se van ajustando. Es cir, que me van pidiendo tolerancias más pequeñas en el error nuestro producto a su valor nominal. Diremos que Nuestro proceso generación y = y(x) tiene como ĺımite el valor y o x = x o si no importa cuan pequeña sea la tolerancia ɛ que nos exija nuestro comprador al valor y o, existe una tolerancia δ que le pomos transferir a nuestro proveedor materia prima, que tengamos la garantía que una materia prima con medida calidad x que cumple este estándar x x o δ se transforme en un producto con medida calidad y(x) que cumple el estándar pedido y(x) y o ɛ

26 una Suponga que f (z) está finida en una vecindad z o, excepto posiblemente en el mismo z o. Entonces se dice que f (z) posee como ĺımite L en z o, escrito como lim f (z) = L z z o si cada aproximación ɛ a L existe distancia δ cercanía a z o manera que todo valor z 1 que esté a una distancia z o menor que δ tendrá una evaluación f (z 1 ) que cuya aproximación a L es menor que ɛ. En terminos matemáticos: 0 < z 1 z o < δ garantiza que L f (z 1 ) < ɛ

27 Equivalente Suponga que f (z) está finida en una vecindad z o, excepto posiblemente en el mismo z o. Entonces se dice que f (z) posee como ĺımite L en z o, escrito como Cuando Es cir lim f (z) = L z z o lim f (z) L = 0 z z o 0 f (z) L 0, cuando z z o 0

28 l límite una función Suponga que las funciones f (z) y g(z) están finidas en una vecindad z o y ambas poseen ĺımite en z o y que entonces: lim f (z) = L 1 y z z o lim z zo g(z) = L 2 una suma es la suma los ĺımites: lim (f (z) + g(z)) = L 1 + L 2 z z o una constante por una función: lim (c f (z)) = c L 1 z z o un producto es el producto los ĺımites: lim (f (z) g(z)) = L 1 L 2 z z o un cociente es el cociente los ĺımites, cuando el nominador no tiene ĺımite cero: f (z) Si L 2 0, lim z zo g(z) = L 1 L 2

29 Suponga que: Como lim f (z) = L 1 y z z o lim z zo g(z) = L 2 0 (f (z) + g(z)) (L 1 + L 2 ) = f (z) L 1 + g(z) L 2 f (z) L 1 + g(z) L 2 Entonces: cuando z z o 0, se tiene que f (z) L 1 0 y g(z) L 2 0, por tanto (f (z) + g(z)) (L 1 + L 2 ) 0. Por tanto lim z z o (f (z) + g(z)) = L 1 + L 2

30 Suponga que: Como lim z z o f (z) = L 1 0 c f (z) c L 1 = c f (z) L 1 Entonces: cuando z z o 0, se tiene que f (z) L 1 0; por tanto c f (z) c L 1 0. Por tanto, lim z z o c f (z) = c L 1

31 Suponga que: Como lim f (z) = L 1 y z z o lim z zo g(z) = L 2 f (z) g(z) L 1 L 2 = (f (z) L 1 ) (g(z) L 2 ) + L 1 (g(z) L 2 ) + L 2 (f (z) L 1 ) Por tanto 0 f (z) g(z) L 1 L 2 f (z) L 1 g(z) L 2 + L 1 g(z) L 2 + L 2 f (z) L 1 Entonces: cuando z z o 0, se tiene que f (z) L 1 0 y g(z) L 2 0, por tanto f (z) g(z) L 1 L 2 0. Por tanto lim z z o f (z) g(z) = L 1 L 2

32 Suponga que: lim f (z) = L 1 y z z o Como (compruébelo!): lim g(z) = L 2 0 z zo f (z) g(z) L 1 L 2 = 1 g(z) (f (z) L 1) L 1 L 2 g(z) (g(z) L 2) Por tanto 0 f (z) g(z) L 1 1 g(z) f (z) L L L 2 g(z) g(z) L 2 L 2 Entonces: cuando z z o 0, se tiene que f (z) L 1 0 y g(z) L 2 0, por tanto f (z) L 2 0. Por tanto g(z) L 1 lim z z o f (z) g(z) = L 1 L 2

33 Ejercicios Determine cada uno los ĺımites siguientes o argumente en su caso porqué no existe. lim z i (4 z 3 5 z z i) lim z 1 i 5 z 2 2 z+2 z+1 lim z i z 4 1 z i lim z 1+i z 2 2 z+2 z 2 2 i lim z 0 z z lim z 1 x+y 1 z 1

34 En las siguientes figuras se ilustran las soluciones los problemas 2 y 3 anteriores en la TI. Recuer que expresiones fraccionarias el problema potencial es el valor l nominador: si es diferente cero, pomos calcular el ĺımite evaluando, pero si el nominador se evalua en cero entonces bemos hacer un tratamiento adicional. Conviene almacenar por sedo el numerador y nominador. Cuando ambos se evaluan en cero, se be cancelar factores tanto arriba como abajo; ello hay que dividir cada uno entre el factor (z z o ) y trabajar la expresión restante. En el segundo problema el ĺımite es L 2 = 8/5 16/5 i y en el tercero es L 3 = 4 i.

35 en un punto Se dice que la función f (z) es continua en el punto z o si: lim f (z) = f (z o ) z z o Ejemplos funciones continuas? Toda función polinomial es continua en la totalidad los puntos l plano complejo: las funciones racionales, que son cociente entre dos polinomios, son continuas en todos los puntos l plano complejo, excepto en aquellos puntos don el nominador se hace cero.

36 una función en un punto Supóngase que f (z) es una función variable compleja finida en la vecindad un punto z o. La rivada f (z) en el punto z = z o es f f (z o + z) f (z o ) (z o ) = lim z 0 z siempre y cuando tal ĺımite exista.

37 Ejercicios Obtenga la fórmula la rivada cada una las siguientes funciones por medio ĺımites. f (z) = z 2 f (z) = 1/z

38 En las siguientes figuras se ilustran el cálculo la rivada por medio su finición ĺımite. Note que a veces es importante obligar a una simplificación extra a la expresión antes evaluar en z = 0.

39 la rivada Las reglas rivación funciones complejas son las mismas que las usadas en el cálculo en variables reales: d dz c = 0 y d dz c f (z) = c f (z) d dz (f (z) + g(z)) = f (z) + g (z) d dz (f (z) g(z)) = f (z) g(z) + g (z) f (z) ) d dz ( f (z) g(z) = g(z) f (z) f (z) g (z) (g(z)) 2 d dz f (g(z)) = f (g(z)) g (z) Para n entero: d dz zn = n z n 1

40 Ejercicios Por fórmulas, obtenga la rivada las siguientes funciones. f (z) = 4 z 3 (3 + i) z 2 5 z + 4 f (z) = 5 z 3 i z 3 + (8 i) z 2 6 i f (z) = (2 z + 1)(z 2 4 z + 8 i) f (z) = (z i z 3 )(z 4 + i z z 2 6 i z) f (z) = (z 2 4 i) 3 f (z) = (2 z 1/z) 6 f (z) = 3 z 4+8 i 2 z+i f (z) = 5 z2 z z 3 +1

41 En la siguientes figura se ilustra el cálculo la rivada por fórmula. De hecho, por calculadora.

42 Ejercicios Determine en qué puntos no son rivables las siguientes funciones. f (z) = f (z) = f (z) = z3 +z f (z) = z z 3 i 2 i z 2 2 z+5 i z z 2 +4 z 4+3 i z 2 6 z+25

43 En vista que las funciones son racionales (es cir,el cociente dos polinomios en z, don no aparece el conjugado z, ni su parte real suelta ni la parte imaginaria) la clave está en ver dón el nominador se hace cero. Esas raíces son los puntos don la expresión completa no tiene rivada.

44 en un punto Supóngase que f (z) es una función variable compleja finida en la vecindad un punto z o. La función f (z) se dice anaĺıtica en el punto z o si f (z) es rivable en z = z o y amás lo es en todo punto una vecindad z o. Una función f (z) se dice una función entera, si es anaĺıtica en todo punto l plano complejo. Los polinomios son funciones enteras.

45 Ejercicios Argumente porqué la función f (z) = z no es rivable en ningún punto. Argumente porqué la función f (z) = z 2 no es anaĺıtica en ningún punto.