a) Dominio, imagen y periodo (T) (no olviden considerar qué valores no puede tomar tan(x) en el dominio).

Transcripción

1 Función tan(x) y ecuaciones trigonométricas. Funciones trigonométricas.. Función f(x) = tan(x) Analicen la gráfica de f(x) = tan(x) e indiquen: a) Dominio, imagen y periodo (T) (no olviden considerar qué valores no puede tomar tan(x) en el dominio). b) Consideremos el intevalo [0; π), indicar: i) Intersecciones con los ejes. ii) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Si consideramos todos los reales, como harías para representar todas las raíces o ceros de la función? (Ayuda, empezá escribiendo una por una algunas raíces y tratá de hallar una forma general de encontrarlas a todas). Ecuaciones trigonométricas.. Pares especiales de ángulos Problema : En cada una de las circunferencias tracen los segmentos asociados al seno, coseno y a la tangente de los ángulos señalados, y luego completen las igualdades. Ejemplo (en este ejemplo falta marcar la tangente de los ángulos): sen(80 ˆα) sen(π ˆα) sen(ˆα) cos(80 ˆα) cos(π ˆα) cos(ˆα) tan(80 ˆα) tan(π ˆα) tan(ˆα)

2 sen(80 + ˆα) cos(80 + ˆα) tan(80 + ˆα) sen( ˆα) cos( ˆα) tan( ˆα)

3 sen(90 ˆα) cos(ˆα) cos(90 ˆα) tan(90 ˆα) sen(90 + ˆα) cos(90 + ˆα) sen(ˆα) tan(90 + ˆα) sen(70 ˆα) cos(70 ˆα) tan(70 ˆα).. Ecuaciones trigonométricas Una ecuación que contiene funciones trigonométricas es denominada ecuación trigonométrica. Por ejemplo las siguientes expresiones son ecuaciones trigonométricas sen (x)+cos (x) =, sen(x) = 0, tan (x) = 0. La primera ecuación es una identidad y vale para todos los valores de x. Las otras ecuaciones se cumplen sólo para ciertos valores de x. Para resolver la ecuación tenemos que encontrar todos los

4 valores de la variable que hace que la ecuación sea cierta. Como las funciones trigonométricas son periódicas y sus valores se repiten cíclicamente, es habitual que las ecuaciones que las involucran tengan infinitas soluciones que también se repiten cíclicamente. En los siguientes problemas vamos a aclarar si buscamos soluciones en el intervalo [0;π] o lo hacemos en todos los reales (en donde buscamos una expresión general que describa todas las soluciones). Ejemplo: sen(x) = 0 queremos despejar sen(x) sen(x) = sen(x) = () como el sen(x) tiene periodo π primero calculamos las soluciones en el intervalo [0; π]. Para encontrar el valor de x vamos a hacer uso de la tabla que se encuentra en el material de estudio, página 6, la cual copiamos parcialmente aquí: α en grados α en radianes cos(α) sen(α) π 6 45 π 4 60 π 90 π 0 Se ve claramente que una solución es x = π 6 (ó x = 0 ). Luego nos ayudamos con la circunferencia trigonométrica para analizar si existen otros valores de x que satisfacen la ecuación. Al igual que hicimos en la subsección anterior, donde analizamos ángulos especiales, nos damos cuenta que x = π x (ó x = 80 x ). Como se observa en la siguiente figura Por lo tanto x = π π ( 6 x = ) π 6 x = 6 6 π x = 5 6 π. 4

5 De esta manera las dos soluciones son x = π 6 y x = 5π 6. Para determinar las soluciones en todos los reales sumamos cualquier múltiplo entero de π a cada solución (ya que una vuelta completa, me devuelve el mismo ángulo), las soluciónes en todos los reales son: x = π 6 +kπ, x = 5π 6 +kπ, () donde k Z. En la siguiente figura se muestra una representación gráfica de las soluciones. Todos los puntos de las función que cortan la recta azul son soluciones. Queda claro que para resolver las ecuaciones tenemos que saber de memoria la tabla que tenemos arriba. Por esta razón una manera fácil de recordarla es la siguiente: α en grados α en radianes cos(α) sen(α) π 6 45 π 4 60 π 90 π Problema : Encuentren los valores de x [0; π]que verifiquen las siguientes ecuaciones, luego expandan esas soluciones a todos los reales. a) cos(x) = b) tg(x) = (tan(x) es lo mismo que tg(x)) c) cos(x) = d) tg(x)+ = 0 (Ayuda: para usar la tablita recordar que tg(x) = sen(x)/cos(x)) e) sec(x) = (Ayuda: recordar que sec(x) = /cos(x)) f) cotg(x) = (Ayuda: recordar que cotg(x) = /tg(x)) Problema : Algunas de las siguientes ecuaciones no tienen solución. Descubran cuales son y por qué. a) sen(x) = 0,7 b) cos(x) =,5 5

6 c) tg(x) = d) sec(x) = e) cosec(x) = 50 f) cotg(x) = Problema 4:opcional: varios de estos problemas son más difíciles de los que les vamos a tomar Encuentren los valores de x [0; π] que verifican las siguientes ecuaciones a) cos(x) = 0 b) 4cos (x) = 0 c) cos ( x+ π ) = d) tg(x) = 0 e) cos (x) cos(x)+ = 0 (Ver la ayuda que figura abajo) f) cos (x)+ = cos(x)(+sec(x) tg(x)sen(x)) Para resolver unaecuación dela formasen (x)+sen(x) = 0, podemoshacer lo siguiente: Sustituimos z = sen(x) z +z = 0 Resolvemos la ecuación cuadrática z = y z = Reemplazamos z por lo que es y resolvemos sen(x) = sen(x) = de la primera ecuación x = π 6, x = 5π 6 de la segunda x = π 6