Funciones trigonométricas. Oscilaciones.

Transcripción

1 .. Juan Ruiz Álvarez, 1 Marcos Marvá Ruiz 1 1 Departamento de Física y Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

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3 Procesos periódicos Variación anual de temperaturas en Alcalá de Henares Electrocardiograma Población de liebres y linces en la bahía de Hudson. (Udom 1953) Aunque en la Naturaleza hay ruido, muchos procesos tienen marcado carácter periódico. Buscamos funciones (curvas) para aproximar esa característica.

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5 Definición de función periódica Definición: Una función f (x) es periódica si existe una constante positiva T tal que: f (x + T ) = f (x) Para x dom(f ). Si T es el número más pequeño que cumple esta propiedad se denomina periodo de f (x).

6 Las funciones trigonométricas son ejemplos de funciones periódicas. Las funciones trigonométricas más habituales son las siguientes: sin(x), cos(x) y tg(x) = sin(x) cos(x). cosec(x) = 1 sin(x), sec(x) = 1 cos(x) cos(x), cotg(x) = sin(x). arcsin(x), arccos(x), arctg(x). Funciones hiperbólicas (sinh(x), cosh(x),...). Estudiaremos principalmente: sin(x), cos(x), tg(x) unidades: RADIANES (ojo a la calculadora)

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8 Gráfica de la función sin(x)

9 sin(x) En general, la expresión de una función Seno viene dada por: f (x) = A sin(kx + B) Donde: A es la amplitud (diferencia entre el máximo y la media). B es la fase inicial desplazamiento en OX respecto de sin(x) El periodo es T = 2π k.

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11 Gráfica de la función cos(x)

12 cos(x) En general, la expresión de una función Coseno, vendrá dada por: f (x) = A cos(kx + B) Donde: A es la amplitud. B es la fase inicial. El periodo es T = 2π k.

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14 Gráfica de la función tg(x)

15 tg(x) En general, la expresión de una función Tangente, vendrá dada por: Donde: A es la amplitud. B es la fase inicial. cos(kx + B) f (x) = A = A tg(kx + B) sin(kx + B) El periodo es T = 2π k.

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17 En general, las oscilaciones se expresan en función del sin(x) o del cos(x): f (x) = A cos(kx + B) + C ó f (x) = A sin(kx + B) + C Donde: A es la amplitud. B es la fase inicial El periodo es T = 2π k C es el valor medio de la función.

18 Ejemplo Ejemplo La población de pequeños pájaros dentro de cierto área, se ha descubierto que varía entre 1000 y 1500 individuos a lo largo del año. El mínimo ocurre el 31 de Marzo. El máximo, 6 meses después. Sabiendo que la población puede expresarse matemáticamente como una función trigonométrica, encontrar dicha expresión.

19 Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall.