Antiderivada o Primitiva

Transcripción

1 Octubre 2013

2 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada

3 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada Ejemplos

4 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada Ejemplos Método de Sustitución

5 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada Ejemplos Método de Sustitución Método de Integración por Partes

6 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada Ejemplos Método de Sustitución Método de Integración por Partes Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos

7 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada Ejemplos Método de Sustitución Método de Integración por Partes Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos Antiderivada de una Función Inversa

8 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada Ejemplos Método de Sustitución Método de Integración por Partes Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos Antiderivada de una Función Inversa Ejemplos.

9 Definición Sea f : A R R una función. Una PRIMITIVA o ANTIDERIVADA de f en A es una función F : A R R continua, si: F (x) = f (x), x A.

10 Ejemplos: 1 f (x) = x 2

11 Ejemplos: 1 f (x) = x 2 2 f (x) = sen(x)

12 Ejemplos: 1 f (x) = x 2 2 f (x) = sen(x) 3 f (x) = 1 x + ex + 2x 5 x x

13 Observaciones: 1 Las antiderivadas no son únicas.

14 Observaciones: 1 Las antiderivadas no son únicas. 2 Notación: f (x)dx denota la familia de todas las antiderivadas de f.

15 Tabla de Antiderivadas 1 dx = x + C x n dx = x n+1 n+1 + C dx x = ln x + C sen(x)dx = cos(x) + C cos(x)dx = sen(x) + C tg(x)dx = ln( cos(x) ) + C cotg(x)dx = ln( sen(x) ) + C sec 2 (x)dx = tg(x) + C sec(x)tg(x)dx = sec(x) + C e x dx = e x + C dx = arcsen(x) + C 1 x 2 dx = arctg(x) + C 1+x 2

16 IDEA!!! Construye tu propia tabla con antiderivadas. A medida que vayas haciendo ejercicios podrás ir completando esta tabla.

17 Proposiciones: 1 Sea f : A R R una función. Si F es una antiderivada de f en A, entonces F(x) + C es una antiderivada de f. Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f, entonces F(x) = G(x) + C, para alguna constante C.

18 Proposiciones: 1 Sea f : A R R una función. Si F es una antiderivada de f en A, entonces F(x) + C es una antiderivada de f. Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f, entonces F(x) = G(x) + C, para alguna constante C. 2 f, g : A R R. Se cumple: (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx αf (x)dx = α f (x)dx, α R

19 Proposiciones: 1 Sea f : A R R una función. Si F es una antiderivada de f en A, entonces F(x) + C es una antiderivada de f. Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f, entonces F(x) = G(x) + C, para alguna constante C. 2 f, g : A R R. Se cumple: (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx αf (x)dx = α f (x)dx, α R 3 f, F : A R R. Si F es una antiderivada de f en A, a 0, entonces 1 af(ax + b) es una antiderivada de f (ax + b) en A.

20 Proposiciones: 1 Sea f : A R R una función. Si F es una antiderivada de f en A, entonces F(x) + C es una antiderivada de f. Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f, entonces F(x) = G(x) + C, para alguna constante C. 2 f, g : A R R. Se cumple: (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx αf (x)dx = α f (x)dx, α R 3 f, F : A R R. Si F es una antiderivada de f en A, a 0, entonces 1 af(ax + b) es una antiderivada de f (ax + b) en A. 4 Sea f : A R R derivable, tal que f (x) 0, x A. Se cumple: dx = ln( f (x) ) + C f (x) f (x)

21 Ejercicios: Calcular: 1 sen 2 (x)dx x 1 x dx ( x + x) 2 dx e x 1+e x dx

22 Método de Sustitución Teorema Sea g una función derivable con recorrido un intervalo I. Suponga también que f es continua en I entonces f (g(x))g (x)dx = f (u)du = f (u) du dx dx

23 Ejercicios: Calcular: 1 x 25 + x 2 dx 2 dx x(1+ x) x+ln x x dx 7x 2 +8 dx dx 4 2 3x dx x+1 x 2 +2x 4 dx e 2x 1+e dx x 3x x 2 +1 dx sen 3 (x)dx

24 Algunas Técnicas de Sustitución: Se tiene: Inmediata Racional Fracciones Parciales Trigonometrica Hiperbólicas Tangente del Ángulo Medio Irracional NOTA: Mas adelante, veremos un capitulo sobre Funciones Trascendentales, donde estudiaremos las Funciones Hiperbólicas.

25 Algunas Ideas: Formas Irracionales: Si la antiderivada contiene términos: n x, m x, usar la sustitución: u nm = x Formas Racionales: p(x) q(x) dx Analizar si q(x) se puede factorizar, entonces usar fracciones parciales, en otro caso, utilizar otra estrategia como completar cuadrados, formas trigonometricas, etc.

26 Sustitución Trigonometrica: Analizar las formas: sen n dx; cos m dx sen n cos m dx Para antiderivadas que contienen términos de la forma: a 2 x 2, a 2 + x 2 o x 2 a 2, usar la sustitución: x = a sen θ, x = a tg θ o x = a sec θ. Muy útil es también la sustitución: z = tg(x/2). Donde: sen(x/2) = z ; cos(x/2) = 1 1+z 2 1+z 2 Por tanto, sen x = 2z ; cos x = 1 z2 1+z 2 1+z 2

27 Ejercicios Propuestos: Calcular: e 1/x dx x 2 arc tg(x/2) dx 4+x 2 (arc sen x) 2 dx 1 x 2 x dx 1+x 4 dx x x 2 2 dx 1+e x x 2 +1 x 3 +8 dx dx 3 x+ x dx x 2 2x+2 dx 2x 2 +12x x 2 dx

28 Método de Integración por Partes Método de Integración por Partes udv = uv vdu

29 Ejercicios: Calcular: 1 x cos(x)dx 2 ln(x)dx 3 x 2 e x dx 4 e x cos(x)dx 5 sen(ln x)dx

30 Ejercicios: Usar integración por partes para escribir las fórmulas de reducción: 1 cos n (x)dx = cosn 1 x sen x n + n 1 n cos n 2 (x)dx 2 x n cos(x)dx = x n senx n x n 1 sen(x)dx 3 x n e x dx = x n e x n x n 1 e x dx 4 (ln x) n dx = x(ln x) n n (lnx) n 1 dx

31 Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos Observación

32 Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos Observación Por definición, F debe ser continua.

33 Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos Observación Por definición, F debe ser continua. Ejercicios:

34 Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos Observación Por definición, F debe ser continua. Ejercicios: Calcular: 1 La antiderivada de: f (x) = { x 1 si x < 1 x + 2 si x ( x 1 + x 3 )dx x x 2 dx

35 Antiderivadas de una Función Inversa Nos interesa calcular:

36 Antiderivadas de una Función Inversa Nos interesa calcular: f 1 (x)dx

37 Antiderivadas de una Función Inversa Nos interesa calcular: f 1 (x)dx Aplicar:

38 Antiderivadas de una Función Inversa Nos interesa calcular: f 1 (x)dx Aplicar: f 1 (x)dx = xf 1 (x) f (u)du

39 Antiderivadas de una Función Inversa Nos interesa calcular: f 1 (x)dx Aplicar: f 1 (x)dx = xf 1 (x) f (u)du En efecto: usando la sustitución u = f 1 (x) f (u) = x Así, f (u)du = dx. Entonces, f 1 (x)dx = uf (u)du Usando integración por partes: w = u, dw = du dv = f (u)du, v = f (u)

40 Ejemplo: Calcular arc tg xdx Sea u = arc tg x f (u) = tg x. Así, arc tg xdx = x arc tg x f (u)du Pero, f (u) = arc tg(tg x) = x y du = Por tanto, f (u)du = x 1+x 2 dx dx 1+x 2 Finalmente, arc tg xdx = x arc tg x 1 2 ln(1 + x 2 ) + C

41 Ejercicios: Calcular: 1 arc sen xdx 2 arc cos xdx