CAPITULO 5. Integral Indefinida. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática

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1 CAPITULO 5 Integral Indefinida 1 Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (

2 Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, Edición LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chacón y Lisseth Angulo. Edición y composición final: Walter Mora. Gráficos: Walter Mora, Marieth Villalobos. Comentarios y correcciones: escribir a wmora@yahoo.com.mx

3 Contenido 5.1 Integral Indefinida Fórmulas y métodos de integración Regla de la cadena para la antiderivación Integral de la función exponencial de base e Integral que da como resultado la función logaritmo natural Integrales de las funciones trigonométricas Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas Técnicas de Integración Integración por sustitución trigonométrica

4 4 5.1 Integral Indefinida Dada una función f, una primitiva arbitraria de ésta se denomina generalmente integral indefinida de f escribe en la forma f(x). y se La primitiva de una función también recibe el nombre de antiderivada. Si λ es una función tal que λ (x) f(x) para x en un intervalo I, entonces la integral indefinida de f(x) está dada por: f(x) λ(x) + C C es cualquier número real y recibe el nombre de constante de integración. Teorema 1 Si F 1 (x) y F (x) son dos funciones primitivas de la función f sobre un intervalo [a, b], entonces es decir, su diferencia es igual a una constante. F 1 (x) F (x) C Prueba: Al final del capítulo. Puede decirse a partir de este teorema que si se conoce cualquier función primitiva de F de la función f, entonces cualquier otra primitiva de f tiene la forma F (x) + C, donde C es una constante. Luego f(x) F (x) + C si F (x) f(x) Nos dedicaremos ahora a estudiar los métodos que permiten determinar las funciones primitivas, (y por tanto las integrales indefinidas), de ciertas clases de funciones elementales. El proceso que permite determinar la función primitiva de una función f recibe el nombre de integración de la función f. Las propiedades estudiadas para la integral definida también se cumplen para la integral indefinida. 5. Fórmulas y métodos de integración 5..1 Regla de la cadena para la antiderivación Sea g una función derivable en un intervalo I. Sea f una función definida en I y H una antiderivada de f en I. Entonces:

5 5 f[g(x)] g (x) H[g(x)] + C Note que D x [H(g(x)) + C] H (g(x)) g (x) + 0 H (g(x)) g (x), como H es una primitiva de f entonces H (x) f(x) por lo que: H [g(x)] g (x) f[g(x)] g (x) Luego tenemos que: 1.. [g(x)] n g (x) [g(x)]n+1 n + 1 x n xn+1 + C, x 1, Compruébelo! n C, n 1. Compruébelo! El caso en que n 1 será estudiado luego. Ejemplo 1 x x C x Ejemplo 4x 5 4 x 5 a x6 6 + C x6 3 + C Ejemplo 3 x 3 7 x C x C 7 4 x C Ejemplo 4 (x + 1) 5 Note que D x (x + 1), por lo que es necesario multiplicar por y 1 de la siguiente manera: (x + 1) 5 1 (x + 1) 5 1 (x + 1) 6 + C 6 (x + 1)6 1 + C

6 6 Ejemplo 5 5x 3x x 3x + 4, Note que D x(3x + 4) 6x 5 6 6x(3x + 4) (3x + 4) C 5 3 3x C Ejemplo 6 ( + y)(4y + y + 5) dy, ( + y)(4y + y + 5) 1 3 dy Note que dy (4y + y + 5) (y + ) 1 (4 + y)(4y + y + 5) 1 3 dy 1 (4y + y + 5) C 3 8 (4y + y + 5) C Ejercicios x, x > x x (4 3 x x 5 ) u(3 + u 3 ) 3 du 7(1 + 5x) 3 x + 5x x, x < Integral de la función exponencial de base e [ Recuerde que D x e x e x y que D ] x e g(x) e g(x) g (x)

7 Luego e x e x + C y e g(x) g (x) e g(x) + C 7 Ejemplo 1 e x En este caso D x (x), por lo que multiplicamos y dividimos por para tener la integral completa. e x 1 e x 1 ex + C Ejemplo 5xe 3x Note que D x (3x ) 6x 5xe 3x x e 3x 5 5 e3x + C Ejemplo 3 e x x Note que D x ( x) 1 x e x x e x x ex + C Ejemplo 4 e arctan x 1 + x Recuerde que D x (arctan x) x e arctan x 1 + x x earctan x e arctan x + C Ejercicios 1. 4x e 5x

8 8. e x ( + 3e x ) e ( 3 + ln x) x x(e 4x x + 1) e tan x cos x e 4 6e x Integral de la función exponencial de base a (a > 0, a 1) Como D x (a x ) a x ln a entonces: a x ln a a x + C y a x ax ln a + C Ejemplo 5 x 1 ln x ln x ln + C Ejemplo 6 x 3 4x 1 8 8x 3 4x 34x 8 + C Ejemplo 7 (t + 1) 5 t +t+4 dt 1 (t + 1) t (t +t+4) ln t dt ln 5 1 ln 5 5(t +t+4) + C 5..3 Integral que da como resultado la función logaritmo natural 1 x ln x + C ( )

9 9 Prueba: Si x > 0 entonces x x,y,ln x ln x por lo que: D x (ln x ) D x (ln x) 1 x Si x < 0 entonces x x,y,ln x ln ( x) por lo que: D x (ln x ) D x (ln ( x)) 1 x 1 1 x De esta manera queda comprobado la igualdad dada en ( ). En general se tiene que f (x) ln f(x) + C f(x) Observe que la expresión en el denominador debe tener exponente uno y que además en el integrando debe aparecer la derivada de f. Ejemplo x 3 x ln x + C Ejemplo x x x x ln x C Ejemplo 3 4x + 1 4x x + 5 Note que D x (4x x + 5) 8x 4x + 1 4x x ( 4x + 1) 4x x + 5 8x 4x x+5 1 ln 4x x C

10 10 Nota. Cuando en un cociente, la variable de la expresión en el numerador tiene exponente mayor o igual al de la variable en el denominador, debe efectuarse primero una división y luego integrar como se especifica en los ejemplos siguientes: Ejemplo 4 ( 3y y + 5 dy 3 15 ) dy y dy 15 dy y + 5 3y 15 ln y C Ejemplo 5 4y y + 5 dy (y 5 5 ) + dy y + 5 ( y 5 ) dy y + 5 dy y 5 y ln y C Ejemplo 6 5y + 6y 10y + 3 dy () 5..4 Integrales de las funciones trigonométricas Se debe tener muy claro cuál es la derivada de cada una de las funciones trigonométricas estudiadas. Daremos a continuación la lista de las fórmulas: 1. a cos u du a sen u + C Si u f(x) entonces du f (x), por lo que a f (x) cos f(x) a sen f(x) + C Ejemplo 1 x cos x sen x + C Note que u x y du x

11 11 Ejemplo cos x x 1 x cos x sen x + C. Note que u x y du x Ejemplo 3 5 cos 4x cos 4x 5 4 sen 4x + C Ejemplo 4 e x cos ( e x + 1) Ejemplo 5 cos(ln x) x. a sen u du a cos u + C Si u f(x) entonces du f (x) por lo que a f (x) sen f(x) a cos f(x) + C Ejemplo 6 3 sen 5x sen 5x 3 5 cos 5x + C Ejemplo 7 x sen (x 3 + 4) Note que u x y du 3x

12 1 x sen (x 3 + 4) 1 3 3x sen (x 3 + 4) 1 3 cos (x3 + 4) + C Ejemplo 8 4x sen (4 x ) 4x sen (4 x ) 4 x sen (4 x ), u 4 x y du x ( cos (4 x )) + C cos (4 x ) + C Ejemplo 9 cos 6x sen(6x) + 4 Ejemplo 10 sen (4e x ) e x 3. a tan u du a sen u du a cos u sen u du a ln cos x + C. cos u Válido para {u R tal que u π/ + n π, n Z} Si u f(x) entonces du f (x), por lo que a f (x) tan f(x) a ln cos f(x) + C Ejemplo 11 tan 6x tan 6x 1 6 ln cos 6x + C

13 13 Ejemplo 1 e x tan e x ln cos e x + C, u e x, du e x Ejemplo 13 tan 3 x 3 x Ejemplo 14 tan(e sen x ) sec x 4. a cot u du a cos u du a ln sen u + C sen u Válido para {u R tal que u n π, n Z} Si u f(x) entonces du f (x), por lo que a f (x) cot f(x) a ln sen f(x) + C Ejemplo 15 x cot (x + 4) 1 x cot (x + 4) 1 ln sen (x + 4) + C Ejemplo 16 cot( x) x 1 x cot( x) ln sen( x) + C Ejemplo 17 cot(sen x) sec x

14 14 Ejemplo 18 csc (x) cot x a sec u du a tan u + C Válida para {u R tal que u π/ + n π, n Z} Si u f(x) entonces du f (x), por lo que a f (x) sec [f(x)] a tan f(x) + C sec (3x) 3 3 sec (3x) 3 tan 3x + C Ejemplo 19 ( ) sec 1 x x 1 x sec ( ) 1 x tan ( ) 1 + C x Ejemplo 0 sec (ln x) x tan (ln x) + C Si u ln x, du 1 x Ejemplo 1 cos (x + 1) Ejemplo sec (tan x) cos x

15 15 6. a csc u du a cot u + C Esta fórmula tiene sentido en {u R tal que u n π, n Z} Si u f(x) entonces du f (x) y por tanto a f (x) csc f(x) a cot f(x) + C Ejercicios a. x csc (5x ) csc (5x ) 1 5 cot (5x ) + C b. 1 x sen (ln x) x csc (ln x) cot (ln x) + C c. csc ( x) x Note que si u x entonces du 1 x csc x cot x + C x d. csc (e x ) e x e. (3x + x) csc (x 3 + x + 1) 7. sec u tan u du sec u + C Esta igualdad es válida para {u R tal que u π/ + n π, n Z} Si u f(x) entonces du f (x), por lo que f (x) sec[f(x)] tan[f(x)] sec[f(x)] + C Ejemplo 3 sec (5x) tan (5x) 1 5 sec (5x) tan (5x) 1 sec (5x) + C 5

16 16 Ejemplo 4 e x sec(e x ) tan(e x ) sec(e x ) + C Ejemplo 5 x sen(x ) cos (x ) x sen(x ) cos (x ) sen(x ) x cos x cos x x sen x tan x 1 x sec(x ) tan(x ) 1 sec(x ) + C Ejemplo 6 sec 3x cot 3x Ejemplo 7 tan ( ) 1 x x cos ( ) 1 x 8. csc u cot u du csc u + C Esta igualdad vale para {u R tal que u n π, n Z} Si u f(x) entonces du f (x), por lo que f (x) csc[f(x)] cot[f(x)] csc[f(x)] + C Ejemplo 8

17 x csc (4x ) cot (4x ) x csc (4x ) cot (4x ) 1 8 8x csc (4x ) cot (4x ) [ csc(x )] + C csc(4x ) 8 + C Ejemplo 9 csc(3x) tan(3x) csc(3x) cot(3x) 1 3 csc(3x) + C Ejemplo 30 e x cos(e x ) sen (e x ) e x cos(e x ) sen(e x ) sen(e x ) e x cot(e x ) csc(e x ) csc(e x ) + C Ejemplo 31 x sen (ln x) sen(ln x) Ejemplo 3 csc x (csc x + cot x) 9. Calculemos ahora sec u du. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión sec u + tan u en la forma siguiente: sec u (sec u + tan u) du sec u du + C sec u + tan u sec u + sec u tan u du ln sec u + tan u + C sec u + tan u Esto es así ya que, según lo estudiado sobre la integral que da como resultado la función logaritmo natural, si f(u) sec u + tan u entonces f (u) sec u tan u + sec u y se tiene por tanto una integral de la forma

18 18 f (u) du f(u) El resultado anterior es válido para {u R tal que u π/ + n π, n Z} Si u f(x) entonces du f (x), por lo que: f (x) sec[f(x)] ln sec[f(x)] + tan[f(x)] + C Ejemplo 33 sec 6x sec 6x 1 6 ln sec 6x + tan 6x + C Ejemplo 34 3x sec x 3 x sec x 3 ln sec x + tan x + C Ejemplo 35 sec (ln x) x ln sec (ln x) + tan (ln x) + C Ejemplo 36 sec (e x ) e x Ejemplo 37 sec (tan x) cos x 10. En forma similar al procedimiento seguido en el caso anterior calcularemos csc u (csc u cot u) csc u du du csc u cot u csc u du.

19 19 csc u csc u cot u csc u cot u ln csc u cot u + C Este resultado es válido para {u R tal que u n π, n Z} Si u f(x) entonces du f (x), por lo que: f (x) csc[f(x)] ln csc[f(x)] cot[f(x)] + C Ejemplo 38 x csc x 1 x csc x 1 ln csc x cot x + C Ejemplo 39 e x csc e x ln csc e x cot e x + C Ejemplo 40 3 x csc ( ) 1 x 1 3 x csc ( ) 1 x 3 ln ( ) 1 csc x cot ( ) 1 + C x Ejemplo 41 csc (cot x) sen x Ejemplo 4 ( x csc a) 5..5 Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas Antes de proceder a determinar este tipo de integrales es conveniente recordar las fórmulas siguientes:

20 0 a.) sen α + cos α 1, α R b.) tan α + 1 sec α, α R, α π/ + nπ, n Z c.) cot α + 1 csc α, α R, α nπ, n Z d.) sen α sen α cos α, α R e.) sen α 1 cos α, α R f.) cos α 1 + cos α, α R Estudiaremos mediante ejemplos los casos generales que se enuncian a continuación: 1. Integrales del tipo sen n x, cos n x con n un entero positivo par. Ejemplo 1 sen x Se utiliza la fórmula dada en e.) sen x 1 cos x 1 1 cos x x 1 4 sen x + C Ejemplo cos x Ejemplo 3

21 1 sen 4 x (sen x) ( ) 1 cos x 1 (1 cos x + cos x) cos x cos x En la última integral se utiliza nuevamente la fórmula dada en e.), solo que en este caso α es igual a x. sen 4 x 1 4 x 1 4 sen x cos 4x x 1 4 sen x cos 4x x 1 4 sen x x 1 3 sen 4x + C 3 8 x 1 4 sen x 1 3 sen 4x + C En forma similar se procede con funciones seno y coseno. cos 4 x y en general con las integrales de las potencias pares de las. Integrales del tipo sec n x, csc n x con n un entero positivo par. Ejemplo 4 sec 4 x sec x sec x, note que D x tan x sec x (tan x + 1) sec x tan x sec x + sec x tan3 x 3 + tan x + C Similarmente, utilizando la identidad c.) puede determinarse csc 4 x Ejemplo 5

22 sec 6 x (sec x) sec x (tan x + 1) sec x (tan 4 x + tan x + 1) sec x tan 4 x sec x + tan x sec x + sec x tan5 x 5 + tan3 x 3 + tan x + C Ejemplo 6 csc 6 x Utilizando el procedimiento anterior pueden calcularse las integrales de las potencias pares de las funciones secante y cosecante. En el caso de potencias impares debe utilizarse el método de la integración por partes que se estudiará más adelante. 3. Integrales del tipo tan n x, cot n x con n un entero positivo par. Ejemplo 7 tan x (sec x 1) sec x tan x x + C Ejemplo 8 Utilizando la fórmula dada en c., calcule cot x Ejemplo 9

23 3 tan 4 x (sec x 1) sec 4 x sec x + sec x sec x tan x + x (tan x + 1) sec x tan x + x tan x sec x + sec x tan x + x tan3 x 3 + tan x tan x + x + C tan3 x 3 + x tan x + C Ejemplo 10 Determine cot 4 x 4. Integrales del tipo sen m x, cos m x, tan m x, cot m x con m un entero positivo impar. Ejemplo 11 sen 3 x sen x sen x (1 cos x) sen x sen x cos x sen x sen x + (cos x) ( sen x) cos x cos3 x + C Ejemplo 1 Determine cos 3 x Ejemplo 13

24 4 cos 5 x cos 4 x cos x (cos x) cos x (1 sen x) cos x (1 sen x + sen 4 x) cos x cos x sen x cos x + sen 4 x cos x sen x 3 sen3 x sen4 x + C Ejemplo 14 Calcule sen 7 x Ejemplo 15 tan 3 x tan x tan x (sec x 1) tan x sec x tan x tan x 1 tan x + ln cos x + C Ejemplo 16 cot 5 x cot 4 x cot x (cot x) cot x csc 4 x cot x csc x cot x + cot x (cot x + 1) csc x cot x cot x csc x + cot x 1 4 csc 4 x + cot x + ln sen x + C Ejemplo 17 Determine tan 5 x

25 5 5. Integrales del tipo cos n x sen r x, tan n x sec r x, cot n x sec r x, con n y r ambos enteros positivos pares. Ejemplo 18 sen x cos 4 x (utilizando las fórmulas e. y f.) ( ) ( ) 1 cos x 1 + cos x 1 (1 cos x)(1 + cos x) (1 + cos x cos x cos 3 x) cos x 1 8 cos x 1 8 cos x cos x 1 8 x sen x cos 4x 1 (1 sen x) cos x x sen x cos 4x (1 sen x) cos x 1 16 x x sen x 64 sen 4x 1 (cos x sen x cos x) 8 sen x 1 64 sen 4x 1 16 sen x sen3 x + C Ejemplo 19 Determine sen x cos x Ejemplo 0 Determine sen 4 x cos x Ejemplo 1

26 6 tan x sec 4 x tan x sec x sec x tan x (tan x + 1) sec x tan 4 x sec x + tan x sec x 1 5 tan5 x tan3 x + C Ejemplo cot x csc 4 x 6. Integrales del tipo sen n x cos r x, tan n x sec r x, cot n x csc r x, con n y r ambos enteros positivos, siendo por lo menos uno de los exponentes impar. Ejemplo 3 sen 3 x cos 4 x sen x sen x cos 4 x (1 cos x) sen x cos 4 x sen x cos 4 x cos 6 x sen x cos 4 x ( sen x) + cos 6 x( sen x) 1 5 cos5 x cos7 x + C Ejemplo 4 sen x cos 3 x Ejemplo 5

27 7 cos 5 x sen 3 x cos 5 x sen x sen x cos 5 x (1 cos x) sen x cos 5 x sen x cos 7 x sen x 1 6 cos6 x cos8 x + C Ejemplo 6 tan 3 x sec x tan x tan x sec x (sec x 1) tan x sec x sec x (tan x sec x) tan x sec x 1 3 sec3 x sec x + C Ejemplo 7 cot 5 x csc x Ejercicios a. sen 3 x cos 3 x b. cos x sen 3 x c. sec 6 x d. cos 3 t sen t dt e. tan 4 y sec 5 y dy

28 8 f. g. sec 3 x tan 4 x csc 4 x cot x 5..6 Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas A partir de las fórmulas estudiadas en el capítulo de derivación sobre las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, pueden determinarse varias integrales indefinidas. 1. Como D x arcsen x Además 1 1 x, entonces 1 x arcsen x + C ( x ) a x arcsen + C, a > 0 (Compruébelo) a En general f ( ) (x) f(x) a [f(x)] arcsen + C, a > 0 a Ejemplo 1 9 x ( x ) 3 x arcsen + C 3 Ejemplo 8 x ( x ( arcsen 8) x 8 ) + C Ejemplo 3 1 4x 1 1 (x) (x) 1 arcsen(x) + C En este caso, f(x) x Ejemplo 4

29 9 9 7x 3 ( 1 7 x) 7 ( ) 7 3 ( 1 7 x arcsen + C 7 x) 7 3 Ejemplo 5 ( ) x + 1 arcsen + C 16 (x + 1) 4 Ejemplo 6 x 9 (3 x ) 1 x 9 (3 x ) 1 arcsen ( 3 x 3 ) + C Note que f(x) 3 x y f (x) x Ejemplo 7 4 x x En este caso debe completarse cuadrados en la expresión que aparece en el subradical. 4 x x 5 (x + 1) Sustituyendo en la integral 4 x x 5 (x + 1) arcsen ( x ) + C Ejemplo 8 4x + 1x Volvemos a completar cuadrados en el subradical 4x + 1x 9 (x 3) Sustituyendo:

30 30 4x + 1x 1 9 (x 3) 1 ( ) x 3 9 (x 3) arcsen + C 3 Ejemplo 9 (x + 3) 3 x x + 3 x 3 3 x x(3 x ) ( 3) ( x) 1 4 4x(3 x ) ( 3) ( x) 1 ( ) 3 x + 3 x arcsen + C 3 Ejemplo 10 ( + x) 4 x x x + 4 x x 4 x x x + 4 x x x + 4 x x + ( x ) 1 4 x x ( x ) 1 4 x x 4 x x 4 x x ( x ) (4 x x ) x x + 4 x x 5 (x + 1) 4 x x 4 x x 1 (4 x x ) 1 1 ( ) x arcsen + C 5 ( ) x x x + arcsen + C 5 Ejemplo 11

31 31 (x 3) 1 4x Ejemplo 1 x 3 x x Ejemplo 13 (x + 3) 5 x 4x. Como D x arctan x x, entonces 1 + x arctan x + C Además a + x 1 ( x ) a arctan + C, donde a > 0 (Compruébelo!) a En general f (x) a + [f(x)] 1 a arctan ( f(x) a ) + C Ejemplo x 3 + x 1 3 arctan x 3 + C Ejemplo x ( 1 ) + (x) ( ) + (x) 1 ( ) 1 x arctan + C 1 arctan( x) + C Ejemplo 16

32 3 x x x 5 + x x 4x 5 + x + ( 5) + ( x) 1 4 ln 5 + x + x arctan + C 5 5 Ejemplo 17 4x + 4x + 3 Se completa cuadrados en la expresión que está en el denominador. 4x + 4x + 3 4x + 4x (x + 1) + Sustituyendo en la integral: 4x + 4x + 3 (x + 1) + 1 ( ) + (x + 1) 1 ( ) 1 x + 1 arctan + C Ejemplo 18 x + x + 5 Ejemplo 19 3x x + 6x x x + 6x x x + 6x + 1 (x + 6) x + 6x x + 6x ln x + 6x ( ) x + 3 arctan + C (x + 6) x + 6x (x + 3) Ejemplo 0

33 33 x 3 x 4x + 3 En este caso se debe hacer primero la división, pues el exponente de la variable en el numerador es mayor que el exponente de la variable en el denominador. x 3 x 4x + 3 x 3 x 4x + 3 5x 6 (x + ) + x 4x + 4 (x + ) + (x + ) (x + ) (x + ) x x 4x x x 4x (4x 4 + 4) x 4x (4x 4) x 4x x 4x + 3 x 4x + 3 x 4x x 4x x 4x + 3 (x + ) (x + ) ln x 4x ( x ) ln x 4x arctan( x ) + C Ejemplo 1 3x 3 4x + 1x + 13 Vamos ahora a estudiar algunos tipos de integrales que no se determinan utilizando las fórmulas anteriores, sino mediante algunas técnicas especiales, llamadas técnicas de integración Técnicas de Integración Método de sustitución Anteriormente hemos resuelto integrales como las siguiente: x 3 4 x Como d(4 x ) x entonces multiplicando y dividiendo por se obtiene que:

34 34 x 3 4 x 1 Sin embargo, una integral como x(4 x ) (4 x ) C 3 x x + no puede calcularse por el procedimiento anterior ya que d(x + ) x. Se necesita por tanto un procedimiento que nos permita calcular este y similares tipos de integrales. Para ello veamos el teorema siguiente: Teorema 1 Si x g(u) es una función derivable que posee una función inversa u g 1 (x) también derivable. Entonces, en cualquier intervalo donde g (x) 0 se tiene que: f[g(u)] g (u)du H(u) + C f(x) H[g 1 (x)] + C Prueba: Utilizando la regla de la cadena se tiene que: D x H(u) D x H[g 1 (x)] D u H(u) D x [g 1 (x)] D u H(u) 1 g (u) (Recuerde que D y x 1, o sea, la derivada de la función inversa es igual a 1 sobre la derivada de la función D x y original). Como D u H(u) f[g(u)]g (u) entonces D x H(g 1 (x)) f[g(u)]g (u) 1 g f[g(u)] f(x) (u) Con esto se ha demostrado que H[g 1 (x)] es una derivada inversa de f, y que por tanto, bajo condiciones apropiadas es posible llevar a cabo el proceso de sustitución. Ejemplo 1 x x + Sea u x +, du luego x u, sustituyendo:

35 35 x x + (u ) u du (u 3 u 1 ) du u 5 5 u C 5 (u) u 3 + C 5 (x + ) (x + ) 3 + C Ejemplo x 3 x + 4 Sea u 3 x + 4, 3u du, x u 3 4. Sustituyendo x 3 x + 4 (u 3 4) 3 u 3 3u du (u 6 8u )u 3u du 3 (u 6 8u ) u 3 du 3 (u 9 8u u 3 )du [ ] u u7 u C, como u 3 x ( 3 x + 4) ( 3 x + 4) 7 + 1( 3 x + 4) + C Note que se escogió la variable u con el exponente 3, (u 3 ), para que al sustituir se obtuviera una raíz cúbica exacta. Ejemplo 3 x 3x + 4 Sea u 3x + 4, luego u du 3 3 u du. Además x u 4 3 Sustituyendo

36 36 x 3x + 4 u u u du u(u 4) du 9 u (u 4) du 9 [ ] u u + C 7 u3 8 3 u + C, como u 3x + 4 [ ] 3 8 3x + 4 3x C 7 3 Ejemplo 4 y y dy En este caso se debe sustituir y por una expresión que posea tanto raíz cuadrada como cúbica, así y u 6 entonces 6u 5 du y Sustituyendo y y dy 6 u6 6u u 6 du u 8 u + 1 du 6 u7 7 u5 5 + u3 3 u + arctan u + C 6 7 ( 6 y) ( 6 y) 5 + ( 6 y) y + 6 arctan 6 y + C Ejemplo 5 x (x + 1) 3 Sea u 3 x + 1 3u du además x u 3 1 Sustituyendo

37 37 x (x + 1) 3 (u3 1)3u du (u 3 ) 3 u (u 3 1) du 3 u 3 (u 3 1) du [ ] u u + C 3 4 ( 3 x + 1) x C Ejemplo x Ejemplo 7 3 x + x Ejemplo 8 x( + x) 3 Ejemplo 9 (x 3 + 3) 1 4 x 5 Sea u 4 x u 3 du 3x 4 3 u3 du x Además x 3 u 4 3 Sustituyendo

38 38 (x 3 + 3) 1 4 x3 x (u 4 ) 1 4 (u 4 3) 4 3 u3 du 4 3 u(u4 3)u 3 du 4 3 (u 8 u 4 ) du [ u 9 9 u5 5 ] + C [ x3 + 3] 15 ( 4 x 3 + 3) 5 + C Ejemplo 10 x 5 (3x + 4) Ejemplo y(y + ) dy Integración por partes Esta es otra técnica que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que se puede determinar más fácilmente. Consideremos dos funciones f y g derivables en S. Luego, por medio del diferencial de un producto se tiene que: d[f(x) g(x)] f(x) g (x) + g(x) f (x) f(x) g (x) d[f(x) g(x)] g(x) f (x) integrando a ambos lados: f(x) g (x) d [f(x) g(x)] g(x) f (x) de donde f(x) g (x) f(x) g(x) g(x) f (x)

39 39 Esta es la fórmula de integración por partes. Utilizando los diferenciales de las funciones, si u f(x) entonces du f (x), y si v g(x) entonces dv g (x). Sustituyendo en la igualdad anterior: u dv u v v du Haciendo una elección apropiada de u y dv, la fórmula anterior expresa la integral u dv en términos de otra integral v du, que puede resultar más fácil de integrar. Si v du fuera más complicada que la integral dada, probablemente la selección hecha no ha sido la más adecuada. Es corriente utilizar el método de integración por partes en integrales del tipo: x n sen(a x), x n cos(a x), x n e ax, ln x, Así como en las que contienen en su integrando funciones trigonométricas inversas. Con los ejemplos siguientes, el o la estudiante podrá darse una idea de la selección adecuada de las variables u y dv. Ejemplo 1 3x sen x Si u 3x entonces du 3 Si dv sen x entonces v sen x cos x 3x sen x 3x( cos x) cos x 3 3x cos x + 3 sen x + C Note que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarse cuando se lleva a cabo la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv. En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se muestra en el siguiente ejemplo:

40 40 Ejemplo 13 x e 3x Si u x entonces du x Si dv e 3x entonces v e 3x 1 e 3x e3x 3 3 Luego: x e 3x x e3x e 3x 3 x 3 x e 3x 3 3 x e 3x ahora u x, du dv e 3x y v 1 3 e3x Por tanto: x e 3x x e 3x [ x e 3x Ejemplo 14 x e 3x 3 x e 3x 3 3 [ x e 3x 3 ] e 3x 3 ] e 3x 3 9 x e3x + 7 x e3x + C ln x Si u ln x entonces du x Si dv entonces v x Luego: ln x x ln x x ln x x x x ln x x + C

41 41 Ejemplo 15 x ln x Si u ln x entonces du x Si dv x entonces v x3 3 Luego: x ln x x3 ln x 3 Ejemplo 16 x3 ln x 3 x3 ln x 3 x 3 3 x 1 3 x 1 9 x3 + C ln x Ejemplo 17 e x sen x Si u sen x entonces du cos x Si dv e x entonces v e x Luego: e x sen x e x sen x e x cos x Nuevamente: u cos x, du sen x dv e x, v e x [ e x sen x e x sen x e x cos x e x sen x e x sen x e x cos x ] e x ( sen x) e x sen x

42 4 e x sen x + e x sen x e x sen x e x cos x e x sen x e x sen x e x cos x e x sen x ex (sen x cos x) + C Ejemplo 18 sec 3 x Podemos escribir sec 3 x sec x sec x Si u sec x entonces du sec x tan x Si dv sec x entonces v sec x tan x Luego: sec 3 x sec x tan x sec x tan x sec x tan x tan x sec x tan x sec x tan x sec x (sec x 1) sec x tan x sec 3 x + sec x sec 3 x + sec 3 x sec x tan x + sec x sec 3 x Ejemplo 19 1 (sec x tan x + ln sec x + tan x ) + C csc 3 5x. Ejemplo 0

43 arctan x 43 Si u arctan x entonces du Si dv entonces v x Luego: arctan x x arctan x 1 + x x 1 + x x arctan x 1 ln 1 + x + C Ejemplo 1 (x + 1) e x si u (x + 1) entonces du (x + 1) si dv e x entonces v e x Luego: (x + 1) e x e x (x + 1) (x + 1) e x nuevamente: si u x + 1 entonces du y si dv e x entonces v e x Por tanto: [ (x + 1) e x e x (x + 1) e x (x + 1) ] e x e x (x + 1) (x + 1) e x + e x + C Ejemplo x ln x +. Ejemplo 3 x arcsen x. Ejemplo 4 sen(ln x).

44 44 Ejemplo 5 x sec x. Ejemplo 6 x ln x x Integración por sustitución trigonométrica Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma: a b x, a + b x, b x a con a > 0 y b > 0 La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trogonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo. Estudiaremos cada uno de los casos como sigue: El integrando contiene una función de la forma a b x con a > 0, b > 0 Se hace el cambio de variable escribiendo x a ] b sen θ, donde θ π, π [ y x ] a b, a [ b Si x a b sen θ entonces a b cos θ dθ Además: a b x a b a b sen θ a a sen θ a (1 sen θ) a cos θ a cos θ a cos θ

45 45 pues a > 0 y como θ ] π, π [ entonces cos θ > 0 Luego: a b x a cos θ ) Como x a b sen θ entonces sen θ bx a y θ arcsen ( bx a Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente: Ejemplo 1 16 x, x ] 4, 4[ Sea x 4 sen θ con θ ] π, π [ 4 cos θ dθ Luego: 16 x sen θ 16 (1 sen θ) 16 cos θ 16 x 4 cos θ Sustituyendo: 16 x 4 cos θ 4 cos θ dθ 16 cos θ dθ 1 + cos θ 16 dθ 8 (1 + cos θ) dθ 8 (θ + 1 sen θ) + C 8θ + 4 sen θ cos θ + C 8θ + 8 sen θ cos θ + C

46 46 Como x 4 sen θ entonces sen θ x 4 y θ arcsen ( x 4 ) Además 16 x 16 x 4 cos θ por lo que cos θ 4 Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente: Por último: 16 ( x ) x 8 θ + 8 sen θ cos θ + C 8 arcsen + 8 x 16 x C 4 Ejemplo x 5 4x, x ] 5, 5 [ Sea x 5 sen θ, θ ] π, π [ 5 cos θ dθ Luego 5 4x sen θ 5 5 sen θ 5 cos θ Así 5 4x 5 cos θ Sustituyendo

47 47 x 5 4x 5 5 cos θ dθ sen θ 5 cos θ 1 dθ 5 sen θ 1 csc θ dθ ln csc θ cot θ + C Como x 5 sen θ entonces sen θ x 5 por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final: csc θ 1 sen θ 1 x 5 cot θ 5 4x x 5 x Luego: x 5 4x 1 5 ln 5 5 4x x x + C Ejemplo 3 x, x ], [ 4 x Sea x sen θ, θ ] π, π [ cos θ dθ Además: 4 x 4 4 sen θ 4 cos θ 4 x cos θ Sustituyendo:

48 48 x 4 x ( sen θ) cos θ dθ cos θ 1 cos θ 4 4 sen θ dθ dθ (1 cos θ) dθ (θ 1 ) sen θ + C θ sen θ cos θ + C ( x ) arcsen x 4 x + C ( x ) arcsen x (4 x ) + C Ejemplo 4, x ] 5, 5[ (5 x ) 3 Sea x ] π 5 sen θ, θ, π [ 5 cos θ dθ Luego 5 x 5 5 sen θ 5 cos θ Así (5 x ) 3 (5 cos θ) 3 (5 cos θ) 3 ( 5 cos θ) cos 3 θ Sustituyendo (5 x ) 3 5 cos θ dθ 5 5 cos 3 θ 1 dθ 5 cos θ 1 sec θ dθ tan θ + C 1 5 x 5 x + C pues sen θ x 5 y cos θ 5 x 5

49 49 También puede utilizarse: Ejemplo 5 x 5 x Ejemplo 6 x (4 x) 3 Ejemplo 7 x 3 16 x El integrando contiene una expresión de la forma a + b x con a > 0, b > 0 Hacemos un cambio de variable escribiendo x a ] b tan θ, donde θ π, π [ y x R Si x a b tan θ entonces a b sec θ dθ Además a + b x a + b a b tan θ ] π Como a > 0 y θ, π [ y por tanto a + b x a sec θ a + a tan θ a (1 + tan θ) a sec θ a sec θ entonces sec θ 1 cos θ es positiva Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:

50 50 Ejemplo x Sea x tan θ, θ ] π, π [ sec θ dθ Luego: 4 + x tan θ 4(1 + tan θ) 4 + x 4 sec θ Entonces 4 + x 4 sec θ sec θ sec Θ Sustituyendo 4 + x sec θ dθ sec θ sec θ dθ ln sec θ + tan θ + C 4 + x ln + x + C Ejemplo 9 x x + 6 Sea x 6 tan θ, θ ] π, π [ 6 sec θ dθ Luego: x tan θ + 6 6(tan θ + 1) 6 sec θ x sec θ 6 sec θ ( ] π cos θ > 0 si θ, π [)

51 51 Sustituyendo x tan θ 6 sec θ dθ 6 sec θ 6 tan θ sec θ dθ 6 (sec θ 1) sec θ dθ 6 (sec 3 sec θ) dθ [ ] 1 6 (sec θ tan θ) + ln sec θ + tan θ 6 ln sec θ + tan θ + C 3 sec θ tan θ 3 ln sec θ + tan θ + C 3 x + 6 x 3 ln 6 6 x x ln x x x + C 6 + x 6 + C Ejemplo 10 x (9 + 4x ) 3 Sea x 3 ] π tan θ, θ, π [ 3 sec θ dθ Luego 9 + 4x tan θ tan θ 9(1 + tan θ) 9 sec θ (9 + 4x ) 3 (9 sec θ) 3 (9 sec θ) 3 (3 sec θ) 3 7 sec 3 θ Sustituyendo

52 5 x (9 + 4x ) 3 3 tan θ 3 sec θ 7 sec 3 dθ θ Como 1 tan θ dθ 1 sec θ sen θ cos θ 1 cos θ dθ sen θ dθ 1 ( cos θ) + C 1 De la sustitución inicial tan θ x 3 Por tanto: x (9 + 4x ) C 9 + 4x Ejemplo 11 x 4 x + 3 Sea x 3 tan θ, θ ] π, π [ 3 sec θ dθ Luego x tan θ + 3 3(tan θ + 1) 3 sec θ x sec θ 3 sec θ Sustituyendo

53 53 x 4 x sec θ dθ ( 3 tan θ) 4 3 sec θ sec θ dθ tan 4 θ cos 4 θ cos θ sen 4 θ dθ cos 3 θ sen 4 θ dθ 1 (1 sen θ) cos θ 9 sen 4 dθ θ ( ) cos θ sen 4 θ sen θ cos θ sen 4 dθ θ cos θ(sen θ) 4 dθ 1 9 cos θ(sen θ) dθ 1 7 sen 3 θ + csc θ + C 9 Como x 3 tan θ entonces tan θ x 3 Por lo que se obtiene: sen θ x x + 3, csc θ x + 3 x Por último: x 4 x + 3 ( x + 3) 3 7 x 3 + Ejemplo 1 x C 9x 4x + 1 x Ejemplo 13 x x

54 54 El integrando contiene una expresión de la forma b x a con a > 0 y b > 0 En este caso la sustitución adecuada es: x a ] b sec θ, donde θ 0, π [ ] π, 3π [ y x ], a [ ] a [ b b, +,, o sea x > a b Si x a b sec θ entonces a sec θ tan θ dθ b Además b x a b a b sec θ a a (sec θ 1) de donde b x a a tan θ a tan θ a tan θ, pues a > 0 y tan θ > 0 para θ ) ] 0, π [ ] π, 3π [ Como x a b sec θ entonces ; sec θ bx a por lo que θ arcsen ( bx a Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones trigonométricas: Ejemplo 14 x x 9, x > 3 Sea x 3 sec θ 3 sec θ tan θ dθ, θ ] 0, π [ ] π, 3π [ Luego x 9 9 sec θ 9 9(sec θ 1) 9 tan θ y x 9 9 tan θ 3 tan θ Sustituyendo: x 3 sec θ 3 sec θ tan θ dθ x tan θ sec θ dθ 3 tan θ + C x 9 + C Ejemplo 15 4x 1 x, x > 1 4

55 55 Sea x 1 sec θ 1 sec θ tan θ dθ Luego 4x sec θ 1 sec θ 1 tan θ y 4x 1 tan θ tan θ Sustituyendo: 4x 1 x tan θ 1 sec θ tan θ dθ 1 sec θ tan θ dθ tan θ θ + C 4x 1 arcsec (x) + C (sec θ 1) dθ Ejemplo 16 du u u 8, u > Sea u 8 sec θ du 8 sec θ tan θ dθ Luego u 8 8 sec θ 8 8(sec θ 1) 8 tan θ y u 8 8 tan θ 8 tan θ Sustituyendo: du 8 sec θ tan θ dθ u u 8 8 sec θ 8 tan θ 1 8 dθ sec θ 1 8 cos θ dθ 1 8 sen θ + C Como sec θ u 8 puede utilizarse la siguiente figura para determinar sen θ Por último:

56 56 du u u u 8 + C u Ejemplo 17 x 3 4x 9 Ejemplo 18 y 5 y 4 dy El integrando contiene una expresión de la forma Ax + Bx + C. Ejemplo 19 x 6x + 13 Podemos escribir x 6x + 13 x 6x (x 3) + 4 Luego es la integral que debemos calcular (x 3) + 4 ] π Sea x 3 tan θ, θ, π [ sec θ dθ Luego (x 3) tan θ sec θ y (x 3) sec θ sec θ Sustituyendo: (x 3) + 4 sec θ dθ sec θ sec θ dθ 1 ln sec θ + tan θ + C 1 ln (x 3) x 3 + C 1 (x ln 3) (x 3) + C, x R

57 57 Ejemplo 0 x 1 + 4x x Se tiene que: 1 + 4x x 1 (x 4x) 5 (x ) Luego la integral se convierte en: x 5 (x ) y se utiliza la sustitución (x ) 5 sen θ, de donde x + 5 sen θ 5 cos θ dθ Luego: 5 (x ) 5 5 sen θ 5 cos θ y 5 (x ) 5 cos θ Sustituyendo: x 5 (x ) ( + 5 sen θ) 5 cos θ dθ 5 cos θ (4 + 0 sen θ + 5 sen θ) dθ 4 dθ dθ cos θ sen θ dθ + 5 sen θ dθ + 5 dθ 5 dθ cos θ dθ 4 θ 0 cos θ + 5 θ 5 4 sen θ + C 33 θ 0 cos θ arcsen 33 arcsen con x < 5, o sea x ] 3, 7[ ( x 5 ( x 5 ) 0 sen θ cos θ + C 5 (x ) x 5 5 (x ) + C 5 ) x x + (x ) 1 + 4x x + C Ejemplo 1 x x + 4x + 3 Se tiene que x + 4x + 3 x + 4x (x + ) 1 x por lo que x + 4x + 3 x, con x + > 1 (x + ) 1 Sea x + sec θ de donde x sec θ sec θ tan θ dθ

58 58 Luego (x + ) 1 sec θ 1 tan θ y (x + ) 1 tan θ Sustituyendo x (x + ) 1 (sec θ ) sec θ tan θ dθ tan θ (sec θ sec θ) dθ tan θ 4 ln sec θ + tan θ + C (x + ) 1 4 ln x + + x + 4x C Ejemplo (x + ) (3 + x x ) 3 Se tiene que 3 + x x 4 (x 1) (completando cuadrados) Luego la integral que se debe determinar es: (x + ) [4 (x ) ] 3 Sea (x 1) sen θ, o sea x 1 + sen θ cos θ dθ Luego 4 (x 1) 4 4 sen θ 4(1 sen θ) 4 cos θ ( 4 ) 3 ( ) 3 (x 1) 4 cos θ ( cos θ) 3 8 cos 3 θ Sustituyendo (x + ) [4 (x ) ] 3 (1 + sen θ + ) cos θ dθ 8 cos 3 θ (3 + sen θ) dθ 1 4 cos θ 1 ( 3 4 cos θ + sen θ ) cos dθ θ 3 4 sec θ dθ + 1 sen θ (cos θ) dθ 3 4 tan θ 1 (cos θ) tan θ + 1 cos θ + C + C

59 59 Como x 1 sen θ entonces sen θ x 1 y utilizando se obtiene finalmente que (x + ) (3 + x x ) (x 1) C, con x ] 1, 3[ 4 (x 1) 4 (x 1) Ejemplo 3 (x 3) (x + x 3) 3 Ejemplo 4 x + x x + 1 Ejemplo 5 sec x (4 tan x) 3 Ejemplo 6 e x (9 e x + 1) 3 Integración de fracciones racionales Recibe el nombre de fracción racional una expresión de la forma P (x), donde P (x) y Q(x) son polinomios. Q(x) Ejemplos de fracciones racionales son x 3x + 1 x, + 4 3x + 5 x 3x +, 6x + 7x 5 x 3

60 60 Una fracción es propia, si el grado del polinomio en el numerador es menor que el del polinomio en el denominador. Por ejemplo 3x + 1 x 5x + 5, x x + 3, 3x + 1 x 3 1 Hasta el momento hemos determinado integrales de la forma cuando n 1 y A ln x a + C si n 1 A (x a) n+1 que da como resultado A + C (x a) n n + 1 mx + b Además también se puede determinar integrales del tipo x + bx + c donde b 4ac < 0, es decir x +bx+c no es factorizable en R (Para este tipo de integral ver Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas ). Debemos ahora encontrar un método que permita obtener la derivada inversa de expresiones del tipo P (x) Q(x). La idea básica del método consiste descomponer una fracción racional en una suma de fracciones racionales más simples, llamadas usualmente fracciones parciales. Daremos sin demostración los siguientes teoremas: Teorema 1 Si M(x) y N(x) son polinomios, entonces M(x) R(x) L(x) +, en donde L(x) y R(x) son polinomios tales que el grado de R(x) es menor que el N(x) N(x) de N(x) Ejemplo 7 5x 3 + 7x + x 1 x + 1 5x + 7 4x + 6 x + 1 Teorema Si M(x) y N(x) son polinomios tales que el grado de M(x) es menor que el de N(x), entonces puede representar como una suma S(x) de expresiones de la forma: M(x) N(x) se A ax + b, B (ax + b) n, Cx + D ax + bx + c, Cx + D (ax + bx + c) n Como resultado de este teorema se tienen los cuatro siguientes casos: 1.) Cada factor lineal ax + b que aparece sólo una vez en N(x) posee un término de la forma suma S(x). A ax + b en la

61 61.) Para cada factor lineal ax + b que aparece k veces en N(x) habrá una suma de k términos como sigue: A 1 ax + b + A (ax + b) + A 3 (ax + b) A k (ax + b) k en la suma S(x) 3.) Para cada factor cuadrático ax + bx + c con b 4ac < 0, que aparezca sólo una vez en N(x) existe Cx + D un término de la forma ax en la suma S(x). + bx + C 4.) Para cada factor cuadrático ax + bx + c con b 4ac < 0, que aparezca k veces en N(x) habrá una suma de k términos como sigue: C 1 x + D 1 ax + bx + c + C x + D (ax + bx + c) + + C kx + D k x (ax + bx + c) k en la suma S(x) Teorema 3 Si el valor de un polinomio P (x) de grado n es igual al valor de su polinomio Q(x) de grado m, donde m n;, para al menos n + 1 valores de x, entonces los polinomios son idénticos y tienen valores iguales para todos los valores de x. Este teorema será utilizado para obtener los valores de las constantes en cada uno de los casos anteriores. Daremos ahora ejemplos de cada caso. Caso 1. Calcular cada una de las siguientes integrales: Ejemplo 8 4x x(x + 1) (x ) Observe que el denominador del integrando ya está factorizado, y cada factor lineal aparece solo una vez. Luego se puede escribir la siguiente igualdad (aplicando el Teorema ) 4x x(x + 1) (x ) A x + B (x + 1) + C (x )

62 6 de donde: 4x A(x + 1) (x ) + Bx(x ) + Cx(x + 1) x(x + 1) (x ) x(x + 1) (x ) igualando los numeradores se tiene: 4x A(x + 1) (x ) + Bx(x ) + Cx(x + 1) Para determinar los valores de A, B y C se pueden utilizar dos procedimientos. i. Si dos polinomios T (x) y Z(x) son tales que T (x) Z(x) para x R, entonces los coeficientes de potencias iguales de x en los dos polinomios deben ser iguales. Como: 4x A(x x ) + B(x x) + C(x + x) entonces 4x (A + B + C)x + ( A B + C)x A y por tanto: A + B + C 0 A B + C 4 A Resolviendo el sistema anterior se obtiene que A 1, B y C 1 Luego: 4x x(x + 1) (x ) 1 x + x x ii. Como los miembros de la ecuación 4x A(x + 1)(x ) + Bx(x ) + Cx(x + 1) son polinomios de grado dos o menos y deben ser iguales para más de dos valores de x, del Teorema 3 concluimos que son iguales para todos los valores de x. Luego es posible escoger tres valores arbitrarios de x para sustituirlos en la ecuación anterior y así obtener tres ecuaciones en las incógnitas A, B, C. Generalmente se utilizan valores de x que conduzcan a las ecuaciones más simples.

63 63 Así, si x 0 se obtiene que: 4(0) A(0 + 1)(0 ) + B 0(0 ) + C 0(0 + 1) A(1)( ) de donde A 1 Si x 1 se obtiene que: 4( 1) A( 1 + 1)( 1 ) + B( 1)( 1 ) + C( 1)( 1 + 1) B(3) de donde B Por último, si x se obtiene que: 4() A( + 1)( ) + B ( ) + C ( + 1) C(6) de donde C 1 Como vemos, el resultado es el mismo que el obtenido en el procedimiento señalado en i. Luego: 4x x(x + 1)(x ) 1 x + x x ln x ln x ln x + C ln x(x ) (x + ) + C Ejemplo 9 6x x 1 4x 3 x En este caso se debe factorizar primero el denominador del integrando. Así 4x 3 x x(x + 1)(x 1) Luego: 6x x 1 4x 3 x 6x x 1 x(x 1)(x + 1) A x + B x 1 + C x + 1 Se deben calcular nuevamente los valores de A, B y C, utilizando para ello cualquiera de los dos procedimientos ya señalados. Como:

64 64 6x x 1 A(x 1) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x 1) x(x 1) (x + 1) x(x 1) (x + 1) entonces: 6x x 1 A(x 1) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x 1) Utilizando el segundo procedimiento daremos a x los valores de 0, 1 y 1 como sigue: Si x 0 entonces: 1 A( 1)(1) de donde A 1 Si x 1 entonces: 1 B( 1 1 )() de donde B Si x entonces: C( )( ) de donde C 3 Luego 6x x 1 4x 3 x 6x x 1 1 x(x 1)(x + 1) x + x 1 x x x 1 + x + 1 ln x 1 4 ln x (x + 1) 3 ln x 4 x 1 + C ln x C Ejemplo 30 x + 1 x 3 7x + 6 x + 1 (x 1)(x )(x + 3) Luego, según el Teorema x + 1 (x 1)(x )(x + 3) A x 1 + de donde: B x + C x + 3 x + 1 A(x )(x + 3) + B(x 1)(x + 3) + C(x 1)(x ) Utilizando el segundo procedimiento para determinar A, B y C, se obtiene que: Si x entonces 5 B(1)(5) de donde B1 Si x 3 entonces 5 C( 4)( 5) de donde C 1 4

65 65 Si x 1 entonces 3 A( 1)(4) de donde A 3 4 Luego: x + 1 x 3 7x x + 1 (x 1)(x )(x + 3) 3 4 x 1 + x 1 + x + x x + 3 x ln x 1 + ln x ln x C Caso. Ejemplo 31 y + 11y + 8 y 3 + 4y + 4y dy Factorizando el denominador del integrando se obtiene que y 3 + 4y + 4y y(y + 4y + 4) y(y + ). Se observa que el factor (y + ) aparece dos veces, por lo que según el Teorema existirá una suma de dos términos para el término (y + ) Luego: y + 11y + 8 y 3 + 4y + 4y y + 11y + 8 y(y + ) A y + B y + + C (y + ) y + 11y + 8 y(y + ) de donde: A(y + ) + By(y + ) + C(y) y(y + ) y + 11y + 8 A(y + ) + By(y + ) + C(y) Aplicando el Teorema 3: Si y 0 entonces 8 A() de donde A Si y entonces 6 C( ) de donde C 3 Pueden ahora utilizarse los valores de A y C e igualar coeficientes para determinar el valor de B, o darle a y otro valor (según Teorema 3) como se hace a continuación:

66 66 Si y 1 entonces 1 (3) + B 1(3) + 3(1) de donde B + 3 y por último B 0 Luego: y + 11y + 8 y 3 + 4y + 4y dy y dy + 3 dy (y + ) dy y + 3 (y + ) dy ln y 3 y + + C Ejemplo 3 x 3 1 x (x ) 3 En este caso el factor x se repite veces y el factor (x ) lo hace 3 veces. Luego x 3 1 x (x ) 3 A x + B x + C x + D (x ) + E (x ) 3 x 3 1 x (x ) 3 Ax(x )3 + B(x ) 3 + Cx (x ) + Dx (x ) + Ex x (x ) 3 de donde: x 3 1 Ax(x ) 3 + B(x ) 3 + Cx (x ) + Dx (x ) + Ex Por el Teorema 3: Si x 0 entonces 1 B( ) 3 de donde B 1 8 Si x entonces 7 E() de donde E 7 4 Daremos ahora otros valores a x para obtener ecuaciones que permitan calcular los valores de A, C y D. Si x 1 entonces 0 A ( 1) + C D o sea A C + D 7 8 Si x 3 entonces 6 3A C + 9D o sea A + 3C + 3D 6 Si x 1 entonces 7A + 9C 3D 0 8 sistema de ecuaciones. o sea 7A + 9C 3D 1 se tiene entonces el siguiente A C + D 13 8 A + 3C + D 7 8 7A + 9C 3D 3 8

67 67 el cual se satisface para A 3 16, C 3 16 y D 5 4 Luego: x 3 1 x (x ) x + 8 x x x x + 4 (x ) + 4 (x ) 3 x + 5 (x ) + 7 (x ) ln x 1 8x 3 16 ln x 5 4(x ) 7 8(x ) + C