Unidad 1 Integrales Indefinidas 1.1 Diferenciales Aproximaciones Anti derivada

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1 Unidad 1 Integrales Indefinidas 1.1 Diferenciales Aproximaciones 1.1. Anti derivada 1. Integración 1..1 Formulas 1.. Integrales Inmediatas 1..3 Cambio de variable 1.3 Métodos de integración Por partes 1.3. Por sustitución Por fracciones parciales

2 1.1. Diferencial Aproximaciones La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero Se expresa: Derivada = dy dx = lim ( y x ) DIFERENCIALES La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente, es decir: dy = y * x dy significa la diferencia de la función y y es la derivada de la función x es el incremento de la variable independiente 1. d(c) = dx 8. d(sen u) = cosu.du 15. d(arccos u) =. d(x) = 1dx 9. d(cos u) = senu.du 16. d(arctan u) = du 1 u du 1+ u 3. d(u + v + w) = du + dv + dv 1. d(tan u) = sec u. du du 17. d(arc cot u) = 1+ u 4. d(c.u) = c.du 11. d(cot u) = - csc u.du 18. d(arcsec u) = du 5. d(u.v) = u.dv + v.du 1. d(sec u) = tanu. secu. du 19. d(arccsc u) = 6. d(u ) = n. u n 1 du 13. d(csc u) = cotu. cscu. du. d(ln u) = du 7. d( u v ) = v.du u.dv v c 14. d(arcsen u) = du 1 u u log e 1. d(log u) = u. d(e u ) = e u. du u u 1 du u u 1. du

3 Ejemplos Encuentre la diferencial de las siguientes funciones que se indican. 1. Sea la función y = x 4 Su derivada es y = 4x 3 Su diferencial se expresa así: dy = 4x 3 x. Calcular la diferencial de y = 6x 3 x + 3 La derivada de f(x) o y = 18x 1 La diferencial dy = (18x 1)dx 3. Calcular la diferencial de y = 1 3x La derivada es f (x) = 3 1 3x La diferencial es dy = 3dx 1 3x 4. Calcular la diferencial de la función y = 3x para x=4 y el x +. Su derivada es y = 6x La diferencia es dy = 6x x como x = 4 y x =. El valor numérico de la diferencia es: dy = 6(4)(.) dy = 4.8

4 1.1. Anti derivadas Definición: A una función F se le llama ANTIDERIVADA de una función f, si F (x) = f(x). A la operación de calcular la anti derivada (primitiva) de una función se le llama integración y se representa con el símbolo que es la inicial de la palabra suma. Si F(x) es una función primitiva de f(x) se expresa: f(x)dx = F(x) + c La expresión f(x)dx es la anti derivada de f(x), donde: signo de integracion, se lee "integral de" f(x) integrando dx diferencial de la variable F(x) función primitiva C constante de integración Ejemplos Si derivamos las funciones f(x) = x, g(x) = x + 5, h(x) = x Obtendremos para cada caso f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x Se observa que as derivadas de las funciones f(x), g(x) y h(x) es la misma función x, para cualquier numero c que se le agregue a la función x. Entonces tendremos que la anti derivada de x dx = x + c donde c 1. Integración 1..1 Formulas de integrales Como vimos anteriormente, que a la operación de calcular la anti derivada (primitiva) de una función se le llama integración, es decir que la derivación y la integración son operaciones inversas, ello nos permite obtener las formulas de la integración directamente de las fórmulas de derivación.

5 Fórmulas para integrales inmediatas elementales 1) dx = x + c ) kdx = k dx = kx + c La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. 3) [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)d La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de las funciones. 4) [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)d La integral de la resta de un número finito de funciones es igual a la resta algebraica de las integrales de las funciones. 5) x n dx = xn+1 + c (n 1) n 1 6) dx = ln x + c x 7) senxdx = cos x + c 8) cosxdx = senx = c 9) tanxdx = ln senx + c = ln cosx + c 1) (sec x tan x) = sec x + c 11) (csc x cot x)dx = csc x + c 1) sec xdx = ln sec x + tanx + c 13) sin xdx = tan x + c 14) cot xdx = ln senx + c 15) csc xdx = ln cscx + cotx + c 16) csc xdx = cot x + c 17) a x dx = ax + c donde a > ln a 18) e x dx = e x + c 1.. integraciones inmediatas. Aplicando las formulas anteriores, obtendremos la integral de las siguientes funciones. a) 1dx = 1 dx = x + c Aplicando formula 1 b) 4dx = 4 dx = 4(x + c) = 4x + c a Aplicando formula donde x = 4 c) 3xdx = 3 xdx Aplicando primeramente la fórmula de ahí, = 3 x 1 dx aquí aplicaremos la fórmula 5 de la potencia donde n = 1 entonces 3xdx = 3( x ) + c d) 4senxdx = 4 senxdx = 4( cosx + c) = 4cosx + c Aplicando formula y 7 e) 5e x dx = 5 e x dx = 5e x + c Aplicando formulas y 18

6 1..3 Integración por cambio de variable Existen integrales indefinidas que no se pueden resolver usando la fórmula de integración inmediata del tema anterior, lo que se tiene que hacer es un cambio de variable, para ello retomaremos las fórmulas de integración directas y las transformaremos al caso general quedando de las siguiente manera. Formulario de integración 1. u n du = un+1 + c, n 1 n+1. du = lnu + c u 3. e u du = e u + c 4. a u du = au ln a + c 5. sen u du = cos u + c 6. cos u du = sen u + c 7. sec u du = tan u + c 8. csc u du = cot u + c 9. sec u tan u du = sec u + c 1. csc u cot u du = csc u + c 11. tan u du = ln sec u + c 1. cot u du = ln sen u + c 13. sec u du = ln sec u + tan u + c 14. csc u du = ln csc u cot u + c 15. sen u cos u du = sen+1 u + c n+1

7 Ejemplo 1. Calcule la siguiente integral indefinida usando la formula (1). Esta fórmula se utiliza cuando en la integral aparece un paréntesis con exponente diferente de -1, en donde u será lo que se encuentre dentro del paréntesis. (x + 1) 4 dx = Solución. Primeramente identificamos quien u = x + 1 es u (x + 1) 4 dx = Después derivamos du dx = Se despeja el diferencial dx Ahora haremos el cambio de variable sustituyendo u y dx du = dx du = dx u = x + 1 dx = du Entonces encontraremos que: (x + 1) 4 dx = u 4 ( du ) = u 4 du = aplicando la formula(1). u n du = ( un+1 ) + c, n 1 n + 1 = ( u ) + c = u5 5 + c = Volver a cambiar u = (x + 1)5 5 + c

8 . Calcula la siguiente integral indefinida usando la fórmula (). Esta fórmula se utiliza casi siempre cuando en la integral aparece un división, en donde u será lo que se encuentre en el denominador. x 5x dx = Solución. Primeramente identificamos quien u = 5x es u x 5x dx = Después derivamos du dx = 1x Se despeja el diferencial dx du = 1dx du 1x = dx Encontramos entonces que : u = 5x y dx = du 1x Ahora haremos el cambio de variable sustituyendo u y dx x 5x dx = x u ( du 1x ) = aplicando propiedad de constantes y eliminando x = 1 1 du u =aplicando la formula (). du u = ln u + c = 1 ln u + c 1 = Volver a cambiar u = 1 1 ln (5x ) + c

9 1.3 METODOS DE INTEGRACION Por Partes Si queremos resolver integrales que contienen productos como: xsenxdx, xe x dx, sen(ln x)dx Podemos usar el método de integración por partes, el cual se te presenta a continuación. METODO DE INTEGRACION POR PARTES Con el método de integración por partes podemos integrar funciones que pueden expresarse como un producto de una función de la derivada de otra. La fórmula de integración por partes se deduce de la derivada de un producto de dos funciones [f(x)g(x)] = f(x)g(x) + g(x)f (x) [f(x)g(x)] = [f(x)g(x) + g(x)f (x)]dx f(x)g(x) = f(x)g(x) dx + g(x)f (x)dx Esta última ecuación se puede reacomodar en la forma: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) g(x)f (x)dx La fórmula anterior f(x)g (x)dx = f(x)g(x) g(x)f (x)dx resulta ser mas fácil de recordar si hacemos el cambio de literales u = f(x) du, = f (x)dx; v = g(x) dv = g (x)dx quedándonos de la siguiente manera: udy = uv vdu La integración por partes con frecuencia se utiliza cuando contiene logaritmos, funciones trigonométricas inversas y productos. Ejemplo. Encuentra la integral xe x dx Para este ejemplo nos apoyaremos de la siguiente elección adecuada para u y dv. Tomando u = x de la integral, entonces el dv viene siendo la parte que nos queda en el integrado, es decir, dv = xe x dx, el du es igual a la derivada de x multiplicada por el diferencial de x, a la v es la integral de e x con respecto a x, lo anterior lo podemos resumir en el siguiente cuadro:

10 u = x du = 1dx dv = e x dx dv = e x dx v = e x dx = e x Sustituyendo en la formula udv = uv vdu tenemos: xe x dx = xe x e x (1dx) = xe x e x dx = xe x e x + c e x (x 1) + c Como podemos observar fue mucho más fácil integrar e x dx que xe x dx, lo cual quiere decir, que la elección para u y dv fueron correctas. Ejemplo. 1. Resuelva la integral ln x dx. Solución La elección adecuada para u y dv la podemos poner así: u = ln x du = 1 dx dx = x x dv = dx dv = dx v = dx = x Sustituyendo en la fórmula de integración por partes tenemos: ln x dx = (ln x)(x) x dx x = x ln x dx = x ln x x + c = x (ln x 1) + c. Obtenga la integral x 3 e x dx Solución La ecuación adecuada para u y dv la podemos poner así: u = x du = xdx dv = x 3 e x dx dv = x 3 e x dx Por lo tanto tenemos: v = 1 = ex

11 x 3 e x dx = 1 x e x ( 1 ex ) (xdx) = 1 x e x xe x dx (1) 3. Por el método de integración por partes resuelva la integral sen x dx Solución. Sean u = sen x y dv = sen xdx, entonces du = cos xdx y v = sen xdx = cos x. Ahora bien sustituyendo en la fórmula de integración por partes tenemos: udv = uv vdu sen xdx = senx cosx ( cosx)(cosx)dx sen xdx senx cosx + cos xdx (7) De la identidad trigonométrica sen x + cos x = 1 despejamos cos x, quedando cos x = 1 sen x sustituyendo esta última igualdad en la ecuación (7) tenemos: sen xdx = senx cosx + (1 sen x) dx y simplificando el lado derecho de esta igualda tenemos sen xdx = senx cosx + dx sen xdx = senx cosx + x sen xdx Ahora bien nos vuelve a parecer la misma integral pero ahora con el signo contrario, por lo que si la despejamos, obtendremos el resultado de dicha integral. sen xdx = senx cosx + x sen xdx = x senx cosx + c 1.3. por sustitución trigonométrica Existen casos de funciones racionales que pueden ser resueltas su integral con este método por sustitución trigonométrica: Como es dx x +4 Se puede construir un triángulo rectángulo como: En este caso x/ = tan con dx = sec d x +4 = sec θ por lo que x + 4 = secθ Elevando al cuadrado x + 4 = 4sec Sustituyendo la integral original:

12 dx x + 4 = sec θdθ sec θ = 1 dθ = θ + c Despejado de la primera relación: = tan 1 (x/) por lo tanto: La integral queda determinada por: dx x +4 = sec θdθ sec θ = 1 dθ = θ = 1 tan 1 ( x ) + c Sin embargo existen funciones relacionales que no pueden ser resultas su integral como la anterior por lo que se requiere utilizar el método por sustitución trigonométrica. Entonces se basa en u ± a, la cual puede estar directa o en forma racional y a partir del Teorema de Pitágoras se le pueden asignar estos valores a los catetos y a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, dependiendo de cada caso, con respecto a un ángulo θ. Aplicamos el método por sustitución trigonométrica en tres casos: CASO I a u = a cosθ con u = a senθ, donde senθ = u a CASO II a + u = a secθ con u = a tanθ, donde tanθ = u a CASO III u a = a tanθ con u = a secθ, donde secθ = u a Dependiendo de cada caso se debe utilizar alguna de estas fórmulas: a u hágase u = a senθ a + u hágase u = a tanθ u a hágase u = a secθ *donde u es una función y a es un número* Además será necesario aplicar algunas identidades trigonométricas bastante útiles a la hora de sacarles raíz cuadrada a un valor. cos θ = 1 sen θ sec θ = 1 + tanθ tan θ = sec θ 1 cot θ = csc θ 1 sen θ = 1 cosθ cos θ = 1+cosθ Ejemplo 1. Integra la función radical aplicando el caso I: a u hágase u = a senθ

13 Por lo que x + 3senθdθ Por lo tanto: dx x 9 x = 3cosθ (3cosθ) 9 (3cosθ) dθ 3cosθ = 3sen θ 9 9sen θ dθ cosθ = (3sen θ)3 1 sen θ dθ cosθ = 9sen θcosθ dθ = 1 9 csc θdθ = 1 cotθ + c 9 Puesto que la sustitución era x = 3senθ donde a la hipotenusa se le asigna el valor de 3. Por el teorema de Pitágoras, se tiene que el lado adyacente es 9 x. Por lo tanto se tiene: cotθ = cosθ 9 x = senθ x dx Ahora se sigue que: = 1 cotθ + c == 1 x 9 x 9 9. Integra la función radical aplicando el caso II a + u hagase u = a tan θ Hallar dx 9+4x 9 x x + c Sea x = 3 tanθ, entonces dx = 3 sec θdθ, y 9 + 4x = 3secθ 3 dx x 9 + 4x = sec θdθ ( 3 = 1 tanθ) (3secθ) 3 csc θdθ = 1 ln(cscθ cotθ) + c 3 3. integra la función radical aplicando el caso III u a hágase u = a secθ = 1 + 4x ln ( x x ) + c Integra la siguiente función con x = 5secθ donde secθ = x y dx = 5secθtanθdθ. x

14 x 5 dx = (5secθ) 5 (5secθtanθ)dθ x 5secθ = 5 sec θ 5 tanθdθ = sec θ 1 tanθdθ = 5 tan θdθ = 5 (sec θ 1) dθ = 5(tanθ θ) + c Por ultimo como x = secθ y tanθ = sec θ 1 = ( x 5 ) 1 = 1 5 x 5 y θ = sec 1 ( x ) + c. Ahora se 5 tiene que: x 5 x dx = 5(tanθ θ) + c = x 5 dx + c x Por fracciones parciales El método por fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, es decir, se trata de encontrar la suma de que fracciones da como resultado la fracción dada que permitan obtener de manera inmediata una integral. Caso I Integre las funciones racionales dx y x 1 5x x x 6 dx utilizando el método de fracciones parciales. A cada factor lineal, ax + b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma A ax+b, siendo A una constante a determinar. 1) dx x 1 Para resolverla, primero se factoriza el denominador como una diferencia de cuadrados: x 1 = (x + 1)(x 1) Después se descompone la función racional a integrar en suma de fracciones donde hay que obtener los numeradores, desarrollando como se muestra a continuación: 1 x 1 = A x B x 1 = A(x 1) + B(x + 1) (x + 1)(x 1) = Ax A + Bx + B (x + 1)(x 1) (A + B)x A + B = (x + 1)(x 1) Por ser una igualdad, se tiene que 1 = (A + B)x A + B, de donde se deduce el sistema de ecuaciones: A + B = A + B = 1

15 Aplicando el método de reducción, se obtiene el resultado: A + B = Se sustituye el valor de B en A + B = A + B = 1 A + ½ = + B = 1 A = ½ B = 1 A = ½ B = ½ La integral original se reescribe como: dx = A dx B du dx, sustituyendo los valores de A y B y utilizando la = ln u + c y a la x 1 x +1 x 1 u identidad del logaritmo natural ln x ln y = ln ( x ) se llega al resultado: y dx x 1 = 1/ 1/ x dx + 1 x 1 dx = 1 ln(x + 1) + 1 ln(x 1) = 1 1 ln (x x + 1 ) + c dx x 1 = 1 1 ln (x x + 1 ) + c Caso II Integre las integrales siguientes 8 dx y (x ) parciales. x (x+3 dx utilizando la técnica de fracciones Solución. A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, e corresponde la sima de n fracciones de la forma: A 1 (ax + b) + A (ax + b) + + Siendo A 1, A,, A n constantes a determinar. 1) 8 (x ) dx La fracción en este caso se descompone en: 8 (x ) = A n (ax + b) n A x + B A(x ) + B = (x ) (x ) = Ax A + B (x ) Por ser una igualdad, se tien 8 = Ax A + B, donde se deducen las ecuaciones lineales: A = Se sustituye el valor de A = A + B = 8 A + B = 8 () + B = 8 B = 8

16 La integral original se reescribe: 8 (x ) dx = A x dx + B (x ) dx Sustituyendo los valores de A y B, simplificando y utilizando la formula u n du = un+1 + c se llega al resultado: 8 (x ) dx = x dx + 8 (x ) dx = 8 (x ) dx = 8 x + c 8 (x ) dx = 8 x + c n+1

17 Unidad II.1 Sumas de Riemann..1.1 Propiedades..1. Notación.. Teorema Fundamental del cálculo...1 integral definida.1. Calculo de áreas y volúmenes.

18 .1 Sumas de Riemann.1.1 Aproximación del área bajo la curva. El método de aproximación consiste en aproximar el área de la región acotada(r) comprendida entre la gráfica de una función f, definida en un intervalo cerrado [ a, b ] con una característica tal que para todo valor x en el intervalo (a x b) la función f(x) ; es decir es positiva. La longitud del intervalo se obtiene restando los límites del intervalo, en este caso la longitud x = b a donde a y b son los limites inferiores y superiores respectivamente del intervalo [a, b] y n n es el número de sub intervalos en que se desea dividir el intervalo original. Riemann construyo dos tipos de rectángulos, algunos los construyo bajo la curva a los que llamo rectángulos inscritos; la suma de las áreas de estos rectángulos son nombradas dumas inferiores. Otros están por encima de la curva cuya suma de áreas es llamada áreas superiores..1. Propiedades y notación de la suma de Riemann Si llamamos A 1, A,, A n a cada una de las áreas de los rectángulos, la sumatoria de las áreas se representa por: n A i = A 1 + A + + A n i=1 Donde los símbolos n representan el número de rectángulos que se tomen, ya sean inscritos (inferiores) o circunscritos (superiores). La letra i es llamado el índice de la sumatoria, indica el número de términos que se debe de sumar. Así mismo, el símbolo Σ es la letra S mayúscula del alfabeto griego llamada sigma. Las sumas de las áreas inferiores y superiores las representamos como: Sumas de áreas inferiores = Sumas de aras inferiores = n i=1 n i=1 f(mi) x f(mi) x Donde m i y M i representa el valor mínimo o máximo de la función en cada sub intervalo y x = b a n.. TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO..1 integral definida El área de una región limitada por un intervalo [ a, b ], se puede ver como una integral definida, donde si tenemos a y = f(x) como una función continua en el intervalo cerrado [ a, b ], se tiene que el área de la región limitada por la función y = f(x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por el número real: Area = f(x)dx b a

19 Si tenemos una función f(x) continua en un intervalo [a, b] y F(x) como la anti derivada de f(x) en [a,b], entonces: b f(x)dx a = F(b) F(a) Este resultado es la Regla de Barrow y nos relaciona la integral definida (y por tanto el cálculo de áreas) y a teoría de la integración (como cálculo de primitivas o anti derivadas). Para calcular integrales definidas, se realiza lo siguiente: Calculamos una primitiva de f. Evaluamos la primitiva en los límites inferior a e inferior b. Realizamos la diferencia del valor obtenido en b menos el obtenido en a. Ejemplo: 1. Determine el valor de la integral definida por los límites de integración a = 1 y b = de la función f(x) = x 3, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. b f(x)dx a = F(b) F(a) Solo basta con sustituir los valores de los límites de integración a = 1 y b = en la anti derivada de la función, para después simplificar mediante las operaciones correspondientes. Anti derivada de f(x) (x 3)dx 1 = [ x3 3 3x + c] = [ ()3 3 3() + c] [(1)3 3 = [ c] [ c] 3(1) + c] = c c = 3

20 . Utilizando el teorema fundamental del cálculo resolver la siguiente integral definida: xe x dx = Utilizando un cambio de variable, digamos que u = x y du = x, entonces: xe x dx = xeu du x = e u du = e u { Por lo que: = e x { = e e = e 4 1 xe x dx = e Utilizando el teorema fundamental del calculo resolver las siguientes integrales definidas de funciones trigonométricas. π 1) (3 senx)dx π = (3 senx)dx = (3x + cos x) { π = 3π + cos π [3() + cos ()] π ) xcosxdx = Integrando por partes: U = x v = cos xdx Du = dx dv = sen x = 3π 1 [ + 1] 3π π xcosxdx = (xsenx + cosx) { π = = (πsenπ + cosπ) (sen(o) + cos ()) = (π() 1) ( + 1) =

21 .. cálculo de áreas y de volúmenes El problema del cálculo de áreas bajo la curva ha sido estudiando desde hace muchos años. Quizás los griegos fueron los primeros que lo trataron un poco más formalmente, usando los elementos de la integral definida. Más adelante se hizo intervenir el concepto de la anti derivada, que en el siglo XVII, Newton y Leibniz utilizaron para calcular áreas. Este concepto evoluciono hasta llegar a lo que se conoce como el teorema fundamental del cálculo (TFC). EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (TFC) Si f es continua en [a,b] y F es la antiderivada de la f en el intervalo, donde F (x) = f(x). b a Entonces f(x)dx = F(b) F(a) Ejemplo 1. Calcula el área bajo la curva de f(x) = x en el intervalo [, ] Sustituyendo en la formula x dx b f(x)dx a Otra manera de representar el resultado es: 3 u,. 6u la u representa unidades de areas = F(b) F(a) = [ x3 3 ] = () 3 () 3 = 8 3 u. Calcula e área bajo la curva de f(x) = 3senx en el intervalo [o, π ] π 3senxdx π = 3[ cosx] = 3 ( cos ( π ) ( cps()) = 3( + 1) = 3 Por lo tanto es 3u

22 5 3. determine el valor de e x dx 1 Redondear en centésimas 5 e x dx 1 = [e x ] 5 1 = e5 e 1 = = u CALCULO DE VOLUMENES En este curso solamente se utilizara cuando se gira alrededor del eje x. Si está girando en el eje x la fórmula para calcular el volumen es: b v = π [f(x)] dx a Si está girando en el eje y la fórmula para calcular el volumen es: b v = π [f(y)] dy a Ejemplo 1. calcula el volumen del solido de revolución que se forma al girar alrededor del eje x la función f(x) = en el intervalo [-, 3] 3 v = π [] dx 3 = π 4dx 3 = 4π dx v = 4π[x] 3 = 4π(3 ( )) v = 4π(5) = π u 3. Calcula el volumen que se obtiene al girar la función f(x) = x en el intervalo [, 4] 4 v = π [x] dx 4 = x dx = [ x3 3 ] 4 = ((4)3 3 ()3 3 ) = = 64 3 u3 ó 1 1 u3 ó 1.3u 3