UNIDAD 5.C :INTEGRALES Y SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Transcripción

1 UNIDAD 5.C :INTEGRALES Y SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN 5.C.1 Concepto de integral Primitiva de una función: Sea f una función definida en el intervalo (a,b). Llamamos primitiva, antiderivada o integral indefinida de f a una función F que en el intervalo (a,b) cumple: F (x)=f(x) para todo elemento del intervalo mencionado. Hallar primitivas es el proceso inverso de hallar derivadas. Propiedades de las primitivas de una función 1) Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función F(x) + C es otra primitiva de f(x). Existe más de una primitiva para cada función. Ejemplo: ; ; son todas primitivas de 2) Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas. 3) Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte. 5.C.2 Integral indefinida Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza es el integrando es el diferencial de x es la variable de integración Por las propiedades de la función primitiva, si es una primitiva de, Prof. Liliana Collado Página 1

2 donde C representa una constante llamada constante de integración. Ejemplo: Por ser la primitiva de x, se puede expresar Propiedades: Homogeneidad: el producto por una constante Aditividad: Sean las funciones f y g Regla de la potenciación: Integrales básicas: Métodos de integración: se expondrán algunos de los casos en los que es necesario utilizar una técnica explícita para hallar el resultado. Estos métodos son: Prof. Liliana Collado Página 2

3 Integración por descomposición Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales: 1)La integral de una suma o diferencia de funciones, es igual a la suma o diferencia, respectivamente, de las integrales de las funciones. 2)La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función. Ejemplo: calcular Integración de funciones racionales a)el grado del numerador P(x) es mayor que el grado del denominador Q(x) Realizamos la división de P(x) por Q(x) y llamando C(x) al cociente y R(x) al resto se ha de cumplir que: Si la división es exacta y si es distinto de cero el grado de R(x) será menor que el grado de Q(x). Dividiendo la igualdad anterior por Q(x), tenemos: b) El grado de P(x) es igual al grado de Q(x): Entonces el cociente es una constante y la integral queda reducida a: Prof. Liliana Collado Página 3

4 C) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x): Entonces : hallamos las raíces del polinomio denominador Q(x).y éstas pueden ser: raíces reales simples,raíces reales múltiples, raíces complejas simples o raíces complejas múltiples. a) Raíces reales simples: factorizamos el denominador Separamos en fracciones equivalentes Calculamos cada uno de los coeficientes A, B, Al integrar todas las integrales serán de la forma de logaritmos neperianos. Ejemplo: Entonces Y calculando el sistema de ecuaciones resultan Ahora la integral se resuelve: Los otros casos se resuelven de modo similar. Integración por cambio de variable (o sustitución) Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente. Ejemplo: calcular entonces La integral ahora queda y si queremos reemplazar dx, y volviendo a la expresión original Prof. Liliana Collado Página 4

5 Integración por partes Si u y v son dos funciones cualesquiera, se puede demostrar la siguiente fórmula de integración llamada por partes Con esta fórmula transformamos una integral en otra que, si es de más fácil cálculo, nos permitirá resolver la integral inicial. Como norma general elegiremos como u la parte del integrando fácil de derivar y como dv la parte fácil de integrar. Ejemplo: Aplicaremos: 5.C.3 Integral definida Cuando se requiere conocer el área que limita una curva es necesario reconocer un método de trabajo que, siendo exahustivo, permite resolver dicho problema. Para ello se emplea la integral definida. Siempre se plantea calcular el área estándar bajo la curva, esto significa que la región debe estar limitada por la curva y el eje horizontal de coordenadas.una primera aproximación es la que propone rellenar la superficie a tratar con rectángulos, pero como la curva no se adapta directamente a ellos hay que realizar dos aproximaciones : por defecto y por exceso. Prof. Liliana Collado Página 5

6 Se denominan suma inferior (s)y superior (S)de la función f en el intervalo [a,b]. Aún sin saber sus valores numéricos se puede asegurar que La integral es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos cuando el lado correspondiente a la abcisa tiende a hacerse tan pequeño como sea posible, siempre dentro del intervalo [a,b]. Al identificar la integral definida como un área se entiende que no necesariamente la función f debe ser continua. Sí se cumle que toda función continua es integrable. El valor medio de una función f definida en un intervalo [a,b] se expresa Ejemplo: calcular el valor medio de f(x)=x 2 en el intervalo [0,3] Regla de Barrow: Si f es una función continua en el intervalo [a,b] y F es una primitiva cualquiera de f en [a,b], se cumple: Ejemplo: La importancia de esta regla se debe a que relaciona el cálculo de áreas con el cálculo de primitivas. Lo que se calcula es el área bajo la curva, por eso la delimitación de la misma debe ser precisa. Prof. Liliana Collado Página 6

7 Ejemplo: si el área bajo la curva no estuviera delimitada por el eje x, sería infinita, por ello se expresa cada una de las curvas que limitan. Parábola f rectas Sabemos que el área siempre es un valor positivo o nulo, entonces hay que tener en cuenta que debe estipularse el signo antes de dar el resultado. Si entonces la integral es positiva. Si entonces la integral debe cambiar de signo para que quede positiva. Para determinar el área de una región delimitada por la curva que representa a la función se deben hallar los puntos de corte con el eje x, para calcular las integrales por separado en cada intervalo y tomando su resultado en valor absoluto. El área total será la suma de las áreas de cada uno de los recintos. ; ; Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas que no se cortan Para determinar el área de un recinto delimitado por dos funciones positivas sin corte enel intervalo [a,b] se debe tener en cuenta que las áreas de f y de g se pueden considerar delimitadas por el eje x, pero las regiones que se superponen no pertenecen al área buscada, sólo queda el área de la diferencia entre ambas. F ocupa un área mayor y g le resta el área bajo su curva. Prof. Liliana Collado Página 7

8 Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse Si en un intervalo (a, b) hay dos funciones f(x) y g(x) definidas y se desea calcular el área que delimitan, entonces se calcula Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos: Se trazan las curvas. Se señalan los puntos de intersección entre las curvas. Se determina la zona delimitada por las curvas.. se determinan los puntos de inflexión que están contenidos en el intervalo del dominio correspondiente a la zona delimitada por las curvas, ya que éstos obligarán a separar las integrales según intervalos que los tengan como extremos. Dependiendo de los resultados que se obtengan en los puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados. Ejemplo: se desea calcular el área delimitada por y se hallan los puntos de intersección de las curvas Se utilizan las abcisas como extremos del intervalo del dominio para el que se define el área delimitada Ejemplo:En este caso el área es la delimitada por senx y x 3 : esta función tiene un punto de inflexión dentro del intervalo, por ello se plantean dos integrales: Prof. Liliana Collado Página 8

9 5.C.4 Superficie de revolución: conceptos Definición: se denomina superficie de revolución a la generada por la rotación de una curva plana llamada generatriz alrededor de una recta directriz llamada eje de rotación que se ubica en el mismo plano que la curva. El cilindro circular recto se genera haciendo girar una recta paralela al eje de rotación, pudiendo elegir a uno de los ejes coordenados siguiendo una circunferencia o una elipse alrededor del mismo eje mencionado, la distancia entre el eje y la recta se denomina radio. Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono. El cono circular recto se genera haciendo girar una recta paralela al eje de rotación alrededor de un eje cualquiera que no coincida con la recta pero que la intersecte. Si la recta generatriz no intersecta al eje de revolución, entonces se genera un hiperboloide de revolución. Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera. Si en lugar de una circunferencia lo que se hace girar es una elipse y el eje de rotación es uno de los semiejes, entonces se obtiene un elipsoide de revolución. Al hacer girar una parábola alrededor de un eje de revolución se genera un paraboloide elíptico Prof. Liliana Collado Página 9

10 5.C.5 Volumen de una superficie de revolución El volumen de un sólido de revolución se puede calcular de alguna de las dos siguientes formas dependiendo de las características de la superficie y del eje sobre el que se gire. 1) Método del disco: al girar un pequeño rectángulo representativo sobre el eje y lo que se formará por éste es un disco, ya que está referido al elementos en el eje y. En la figura el eje de rotación es el eje y Cuál es el radio del disco? y Cuál su espesor? El volumen del pequeño disco que se forma es: y el volumen total es: 2)Método del cilindro: en este caso el rectángulo también gira alrededor del eje y pero la ubicación del objeto está referida al eje x, por eso forma un cilindro en su recorrido. Cuál es el espesor del tubo? y cuál su altura? Como el cilindro está muy delgadito, se puede extender como una hoja de papel y formará un rectángulo. Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo? tiene alto f(x) y su ancho es el perímetro de un círculo de diámetro 2x El espesor de la lámina es dx. La hoja tiene un volumen dv (2x) f ( x) dx, de donde seleccionando adecuadamente los extremos el volumen total será: Prof. Liliana Collado Página 10

11 Ejemplo: si se quiere calcular el volumen de la función f(x) cuando rota en torno al eje x y usando esta fórmula hay que seguir los siguientes pasos: 1)buscar la función inversa de f(x) 2)Encontrar el dominio de esta nueva función (encontrar los nuevos límites de la función) La fórmula estará de la siguiente manera Ejemplo: Calcule el volumen generado por la función entre y usamos el método del disco girando alrededor del eje x Prof. Liliana Collado Página 11