1. Derivada de la función compuesta

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1 Cátedra de Matemática Matemática Facultad de Arquitectura Universidad de la República 213 Segundo semestre Ya nos hemos encontrado con la idea de que las propiedades del cálculo de integrales y del cálculo de derivadas tienen que estar relacionadas, porque cada uno de ellos es esencialmente la operación inversa del otro. Hemos visto bajo esta luz las propiedades de linealidad y la relación entre la derivada de un producto de funciones y la fórmula de integración por partes. Estudiaremos ahora la derivación de la composición de funciones, que nos conducirá directamente a la técnica de sustitución para el cálculo de integrales. 1. Derivada de la función compuesta La composición de funciones no es otra cosa que el resultado de aplicar primero una y después la otra. Es una operación básica que refleja algo habitual en cualquier proceso de transformación: lo que se obtiene como resultado de una etapa pasa a ser insumo para la siguiente. Esto mismo es la composición de funciones. Ejemplo 1.1 La función f(x) = x + 1 transforma a un número x en otro simplemente sumándole 1. Lleva a 3 en 4 y a 1 en. La función g(x) = x 2, simplemente eleva al cuadrado. Transforma a 2 en 4 y a 4 en 16. Los números y 1 tienen la interesante propiedad de ser transformados por g en ellos mismos. La composición de g y f asocia a cada número x el resultado final de aplicar primero f a x, y luego g a f(x). Retomando los ejemplos del párrafo anterior, debería llevar el 3 en 16 y el 1 en. Para el caso general de un número x cualquiera, tendremos que podemos desarrollar para escribir g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) 2, g(f(x)) = x 2 + 2x + 1 si por algún motivo encontramos preferible esta segunda forma de la misma expresión. Por ejemplo, podemos usarla para ver que en 3 toma el valor = 16 y en 1 el valor =, lo que concuerda con nuestro análisis previo de los ejemplos para x = 3 y x = 1. Ejercicio 1 Hallar las fórmulas que representan las composiciones de f con g, de f con f y de g con g. Observación La composición de las funciones g y f es una nueva función que se indica con la notación g f. Por la definición que tiene la operación de componer funciones se tiene (g f)(x) = g(f(x)). La notación g f es parte de la jerga del oficio. La operación de componer funciones (aplicar primero una y después otra) es tan frecuente en matemática como es frecuente en la vida hacer primero algo y a continuación otra cosa sobre el resultado de lo que se hizo antes, lo que hace que tenga sentido ponerle nombre y asignarle una notación. 1

2 Ejemplo 1.2 Un ejemplo especialmente importante para lo que vamos a hacer es el de las funciones lineales, de la forma f(x) = ax + b, g(x) = cx + d. Las constantes a y c representan las pendientes de los gráficos de las funciones f y g. Entonces (g f)(x)) = g(f(x)) = c(ax + b) + d = cax + cb + d, es una nueva función lineal, con pendiente ca. La pendiente de la función compuesta es simplemente el producto de las pendientes. Es decir que en este ejemplo la derivada de la función compuesta es el producto de las derivadas de las funciones f y g. Será verdad ésto en general? Ejemplo 1.3 Imaginemos un sistema físico en el que la fuerza aplicada sobre un objeto depende de la posición que ocupa el objeto. Por ejemplo, un sistema masa-resorte (en este sistema, cuanto más lejos está la masa del punto de equilibrio, más estirado está el resorte y más grande es la fuerza). Llamemos F (x) a la fuerza aplicada sobre el objeto en el punto x x(t) a la posición del objeto en el tiempo t F x(t) = F (x(t)) es, entonces, la fuerza aplicada sobre el objeto en el tiempo t. Estamos interesados en estudiar cómo varía dicha fuerza en función del tiempo. Para esto queremos estudiar su derivada. Es decir, queremos calcular (F x) (t). Veremos que es posible hacerlo conociendo F (x) y x (t). F (x) es el límite cuando x tiende a de F x x (t) es el límite cuando t tiende a de x t (F x) (t) es el límite cuando t tiende a de F t. Pero F t = F x x t Cuando t tiende a cero, el incremento de la posición x, también tiende a. Entonces haciendo t tender a en la igualdad anterior obtenemos que: (F x) (t) = F (x(t))x (t) Este argumento puede hacerse con más rigor matemático, pero detrás de la demostración rigurosa está la idea presentada. Olvidándonos del contexto físico que motivó el ejemplo anterior, lo que obtuvimos fue una manera de calcular la derivada de una función compuesta a partir de las componentes. A este método se lo conoce como regla de la cadena: si f y g son dos funciones derivables, la derivada de la composición de ellas es: (g f) (x) = g (f(x))f (x). (1) Observe que puede repetir el mismo argumento del ejemplo para obtener la regla de la cadena. 2

3 Observación Hay varias notaciones posibles para escribir estos resultados. Una es la fórmula (1) que acabamos de presentar. Otra es escribir y = f(x), z = g(y) y usar la notación de diferenciales dy dx = f (x), dy = g (y) para la derivada. Entonces la regla de la cadena toma el sugerente aspecto dx = dy dy dx, (2) que ayuda a recordarla y a manipularla adecuadamente a la hora del cálculo. Ejemplo 1.4 Vamos a calcular ahora la derivada de cos(x 2 ), que puede verse como la composicón g f de f(x) = x 2, g(y) = cos y. Sabemos que De modo que f (x) = 2x, g (y) = sen y. (g f) (x) = g (f(x))f (x) = sen(x 2 )2x. Es preferible escribir de manera algo diferente el resultado del cálculo. También aprovecharemos para dejar de lado la notacion g f y usar otra notación que haga explícito cuál es la función que estamos derivando: d cos(x 2 ) = 2x sen(x 2 ). dx El cálculo podría haberse hecho también con la notación (2), escribiendo y = x 2, z = cos y. Entonces dx = sen y 2x = 2x sen(x2 ). Es interesante observar que estos cálculos nos permiten hallar primitivas de x sen(x 2 ) y abordar un cálculo como x sen(x 2 )dx. Salvo por un factor 2 el integrando es la derivada de cos(x 2 ), de modo que hacemos aparecer el factor 2 que necesitamos simplemente multiplicando y dividiendo por este número: x sen(x 2 )dx = 1 2 ( 2x sen(x 2 ) ) dx = 1 2 cos(x2 ) π = 1. Vemos entonces que conocer la regla de la cadena amplía nuestros recursos para el cálculo de primitivas. Ejercicio 2 3

4 1. Calcular las derivadas de e x2, e sen x y cos(e x ). 2. Hallar primitivas de xe x2, e sen x cos x, e x sen(e x ). Ejercicio 3 igualdad 1. Usar un argumento basado en la regla de la cadena para mostrar que la π π/2 sen(3x)dx = 1 3 3π 3π/2 sen(x)dx se satisface para cualquier valor de las constantes α y β. Representar ambas integrales en un gráfico e interpretar geométicamente. 2. Usar un argumento basado en la regla de la cadena para mostrar que la igualdad β α f(3x)dx = 1 3 3β 3α f(x)dx se satisface para cualquier valor de las constantes α y β. Representar ambas integrales en un gráfico e interpretar geométicamente. 2. Integración por sustitución La regla de la cadena (1) puede traducirse inmediatamente en una fórmula para el cálculo de primitivas e integrales definidas. Si F (y) es una primitiva de f(y) entonces F (y) = f(y), por lo que la derivada de F (g(x)) es f(g(x))g (x), afirmación a la que puede darse la vuelta para decir que F (g(x)) es una primitiva de f(g(x))g (x) y a la que podemos recurrir para calcular b Ejemplo 2.1 Calcularemos ahora a f(g(x))g (x)dx = F (g(a)) F (g(b)) = xe x2. g(b) g(a) f(y)dy (3) Es un cálculo que ya hemos propuesto en el ejercicio 2, pero que retomaremos para ilustrar un procedimiento formal que ayuda a manejarlo. En este ejemplo es natural tomar como nueva variable y = x 2, porque un factor x aparece multiplicando la exponencial de x 2 y x es, a menos de un factor 2, la derivada de x 2. Podemos escribir entonces que podemos manipular formalmente como dy dx = 2x, dy = 2xdx. En la integral aparece un factor x, pero no el 2. Este formalismo nos permite escribir xdx = dy 2. 4

5 Con el cambio de variable, la exponencial e x2 se transforma en e y. Ya tenemos todo lo que aparece dentro del signo de integral transformado a la nueva variable. Para los límites de integración resumimos los resultados en la siguiente tabla x y. 2 4 Poniendo junta toda esta información, concluimos xe x2 dx = e y dy = 1 2 (e4 1). En el ejemplo anterior, el procedimiento formal de manejar a dy y dx como si fueran números facilitó la tareas. Veremos a continuación otro ejemplo. Ejemplo 2.2 Calcularemos Introducimos entonces π/2 π/6 sen(3πx + π/2)dx. y = 3x + π/2, de modo que dy = 3dx y dx = dy/3. Para los límites de integración tenemos De modo que π/2 π/6 sen(3πx + π/2)dx = 1 3 x y π/6 π. π/2 2π π π sen(y)dy = cos(y) 2π π = 2. Ejercicio 4 Calcular Ejercicio 5 Calcular 3π/2 π 1 e 7x+5 dx. cos(log(x)) x dx. 5