MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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1 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Al finalizar la unidad el resolverá problemas prácticos usando integrales Reforma Académica

2 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Módulo Matemáticas IV: Introducción al Cálculo Diferencial e Integral 1. Manejo de las funciones y su cambio para la solución de problemas.. Manejo del Cálculo Diferencial, para la solución de problemas. 3. Manejo del Cálculo Integral, para la solución de problemas. 1 h 30 h 30 h Resultados de Aprendizaje 1.1 Calcular la rapidez de cambio de diferentes cantidades para la solución de problemas prácticos. 1. Usar los diferentes tipos de funciones para la solución de problemas prácticos..1 Calcular la derivada para la solución de problemas prácticos y para determinar propiedades de las funciones.. Graficar una función con la información obtenida de la primera y la segunda derivada. 4 h 8 h 15 h 15 h 3.1 Calcular el cambio acumulado 15 h 3. Usar integrales en la solución de problemas. 15 h 86 Reforma Académica 003

3 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica SUMARIO 3.1. Calcular el cambio acumulado Integral definida Cambio acumulado La integral definida Evaluación de una integral definida a partir de una tabla o gráfica La integral definida como área La integral definida como el área bajo la curva Área entre dos curvas El teorema fundamental del cálculo 3.. Usar integrales en la solución de problemas Antiderivadas Derivación e integración como procesos inversos Integrales indefinidas Integral de una suma Integrales inmediatas Uso de las antiderivadas para encontrar integrales definidas 3... Cambio de variable Integrales reducibles a integrales inmediatas Integrales trigonométricas Integrales por partes Integrales por sustitución triginométrica Integración de fracciones racionales RESULTADOS DE APRENDIZAJE 3.1 Calcular el cambio acumulado. 3. Usar integrales en la solución de problemas INTEGRAL DEFINIDA Cambio acumulado En las secciones anteriores se analizó la forma de calcular la rapidez de cambio de una función, ahora se revisará el proceso inverso, es decir, si conocemos la rapidez de cambio cómo determinar cuáles son los valores de la función, o los cambios en la misma. Ejemplo 3.1 Supongamos que se conoce que la rapidez de cambio de la población de una ciudad es de 0000 por año, y que en los siguiente tres el crecimiento es de 000 habitantes por año, para calcular el cambio total de la población en esos seis años, se calcularía el cambio en cada periodo y después se suma. Cambio total= Rapidez de cambio por año * Número de años Cambio total= 0,000(3) +,000(3)= = 16,000 habitantes. El cambio total en la población ascendió a 16,000 habitantes en los seis años. Ejemplo 3. Consideremos ahora el ejemplo del capítulo anterior que se refiere a la partícula que recorre cierta distancia en un tiempo dado, la velocidad es la rapidez de Reforma Académica

4 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica cambio de esa función. Supongamos que su velocidad es 10 metros por segundo, con esta información se puede calcular la distancia recorrida en 8 segundos, despejando la fórmula se obtiene: Velocidad = Distancia Tiempo Distancia = Velocidad * Tiempo m Distancia= 10 * 8 seg seg =80 m Si se traza la gráfica de la velocidad recorrida contra el tiempo se obtiene un rectángulo cuya área, base por altura, estará representando a la distancia recorrida Gráfica 3.1 m Distancia = (5 seg m )(4 seg) +(1 seg )(4 seg) = 68 m Para precisar más, ahora consideremos que se mide la velocidad de la partícula cada dos segundos, a partir del primer segundo: Tiempo Velocidad Para estimar la distancia total recorrida se podría pensar que durante los primeros dos segundos la partícula tendría por lo menos una velocidad de m/seg, en los siguientes dos segundos sería por lo menos 6 m/seg, y así sucesivamente. Distancia: ()() + (6)()+(10)()+(14)()= 64 m Entonces se estima que en los 8 segundos la partícula recorre 64 m. El área sombreada en la figura 3. representa la distancia recorrida Gráfica 3. Imaginemos que la partícula se mueve a diferentes velocidades, por ejemplo, durante los primeros 4 segundos se mueve a 5 m/seg y enseguida se mueve cuatro segundos más pero ahora a una velocidad de 1 m/seg, para calcular la distancia recorrida se tienen que sumar las distancias en los dos tramos: Sin embargo existe otro enfoque, se puede considerar que durante los dos primeros 88 Reforma Académica 003

5 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica segundos la partícula a lo mas tendría una velocidad de 6 m/seg, en los siguientes dos segundos la velocidad sería a lo mas de 10 m/seg, de esta manera la estimación de la distancia es otra cifra. Distancia: La estimación de la distancia con el enfoque al menos sería: ()(1)+(4)(1)+(6)(1) +(8)(1)+(10)(1)+(1)(1)+(14)(1)+(16)(1)= 7 Gráfica 3.4 (6)()+(10)()+(14)()+ (18)()= 96 m Con este enfoque el área sombreada es mayor: Gráfica 3.3 y con el enfoque cuando más (4)(1)+(6)(1) +(8)(1)+(10)(1)+(1)(1)+(14)(1)+(16)(1)+ (18)(1)=88 Gráfica 3.5 La diferencia entre ambas estimaciones es de 3 metros. Se puede afirmar que la distancia recorrida por la partícula está entre 64 y 96 metros. 64< distancia< 96 Con el fin de ser aún más precisos, se podría considerar que las mediciones se realizan cada segundo, de esta manera las velocidades disponibles son las siguientes: Tiempo Velocidad Con estas nuevas estimaciones la distancia se encuentra entre 7 y 88 m. Reforma Académica

6 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica La integral definida En el ejemplo 3., se estimó la distancia total acumulada con base en la velocidad, se observó que a medida que se disminuyen los periodos de tiempo de medición y se aumentan el número de datos entonces mejora la precisión. Ejemplo 3.3 Supongamos que se conoce la función de rapidez con la que aumenta una población de insectos, f(t) =.5t +t +4, durante 1 horas, y deseamos calcular el crecimiento total de la población, se usarán subintervalos de tiempo de 3, y 1 hora, utilizaremos t para identificar la longitud del subintervalo, y n para indicar el número de ellos. El incremento en la población de insectos está dado por: f(t) =.5t +t +4 número de insectos por hora en donde t está en horas, y se calculará el cambio total con base en subintervalos t y se utilizará el enfoque de cambio al menos. Tabla 3.1 T (horas) f(t) insectos por hora Si t =3, n=3 Cambio total = ()(3) + (8)(3) +(14)(3) =7 Haciendo los intervalos más pequeños, con t =1, n= 9 Cambio total = ()(1) +(4) () +(6) (1) +(8)(10)+(1)(1)+(14)(1)+(16)(1)+(18)(1) =90 La estimación del cambio total se puede hacer más precisa si la longitud de los intervalos se hace cada vez más pequeña, y n crece; la estimación será exacta si se calcula la suma de los rectángulos cuando n Considere que f(t) es una función continua en el intervalo (a,b), y se definen n subintervalos iguales, cada uno de longitud t, de tal forma que: t = b a n Sean t o, t 1, t, t 3,... t n, los puntos que definen los subintervalos, y definimos la suma de los rectángulos considerando los dos enfoques, al menos y cuando más, en el primer caso, suma por la izquierda, la altura del rectángulo se define por el valor izquierdo del intervalo; y para el otro caso, la suma por la derecha se utilizan los valores de la derecha de cada intervalo para calcular la altura del rectángulo Suma por la izquierda= f(t o ) t + f(t 1 ) t +f(t ) t +...f( tn-1 ) t Suma por la derecha = f(t 1 ) t + f(t 1 ) t +f(t ) t +...f( tn ) t Podemos abreviar las sumas utilizando el símbolo de que es la letra griega S, y que representa la suma: 90 Reforma Académica 003

7 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica n Suma por la derecha = f ( ti ) Δt = f(t 1 ) t i = 1 + f(t 1 ) t +f(t ) t +...f( tn ) t n 1 Suma por la izquierda= f(t i ) Δt = f(t o ) t i = 1 + f(t 1 ) t +f(t ) t +...f( n-1 ) t Cuando la función es continua y el límite de estas sumas cuando n coincide para ambas sumas, entonces se dice que existe el límite y se le conoce como integral definida. La integral definida de f en el intervalo [a,b] se denota como: b a f ( t) dt es el límite de las sumas por la izquierda o derecha con n subintervalos de [a,b] a medida que n se hace arbitrariamente grande. b a f ( t) dt = lim (suma por la izquierda) = lim n b a n n 1 f ( ti ) Δt i = 1 f ( t) dt = n f ( ti ) Δt = i = 1 lim (suma por la derecha)= n lim n Cada una de estas sumas se le llama suma de Riemann, Los elementos que aparecen en la notación de la integral son: a es el límite inferior de la integral b es el límite superior de la integral x es la variable de la integral [a,b] intervalo de integración f es el integrando Evaluación de una integral definida a partir de una tabla o gráfica Para evaluar la integral a partir de una tabla se calculan las sumas por la izquierda y por la derecha, veamos un ejemplo: En la tabla 3. se presentan valores de una función de ingreso marginal de un fabricante. Se desea calcular el ingreso total del fabricante cuando la producción aumenta de 10 a 0. Tabla 3. q Ingreso Para calcular 0 10 f ( q) dq se utilizarán los valores de la función en la tabla para determinar la suma por la izquierda y por la derecha: Suma por la izquierda =f(10)* +f(1)*+f(14)* +f(16)* +f(18)* =35* +0* +0* +18* +160* =1998 y la suma por la derecha sería: Suma por la izquierda = f(1)*+f(14)* +f(16)* +f(18)* +f(0)* =0* +0* +18* +160* + 135* =1798 Reforma Académica

8 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica entonces: < f ( q) dq < Intervalo Longitud de la base 6/4 7/ /4 8/ Altura y=x Área Base*altura Para efectos prácticos la integral de la función de ingreso marginal la obtenemos promediando ambas sumas: 0 10 f ( q) dq =( )/ = 1898 Es importante destacar que la unidad de 0 medida para f ( q) dq está dada por las 10 unidades de medida para f(q) y q, en este ejemplo el resultado de la integral son $1898 pesos, porque el ingreso marginal está dado en $ por unidad vendida y dq son unidades vendidas. Los $1,898 representan el cambio total en el ingreso por el incremento en las ventas de 10 a 0 productos. Para facilitar la estimación de la integral podemos utilizar en la computadora una hoja de cálculo, al capturar los datos observamos que las fracciones se transforman en decimales, de una forma muy ágil calculamos las suma por la izquierda y la suma por la derecha. Veamos otro ejemplo, para calcular el área bajo la curva y=x y la línea x=, podemos utilizar 8 rectángulos, dividimos el intervalo, [0,], en ocho subintervalos de longitud 1/4, esto es [0,1/4] [1/4,/4] [/4,3/4] [4/4,5/4] [6/4,7/4] [7/4,8/4]; en cada intervalo calculamos la altura del rectángulo con y= x, la aproximación de la integral será la suma de las áreas de los ocho subintervalos. Intervalo Longitud de la base 0 1/ /4 / /4 3/ /4 4/ /4 5/ /4 6/ Altura y=x Área Base*altura 9 Reforma Académica 003

9 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica.1875< 0 x dx < Al sumar obtenemos valores que son sólo es una aproximación de la integral, y es razonable pensar que entre mayor sea el número intervalos más precisa será la estimación del área. Si en lugar de disponer de una tabla se tiene una gráfica entonces el cálculo de la integral se obtiene definiendo el tamaño de los intervalos, trazando los rectángulos, y sumando las áreas de los mismos. También se calculan las sumas por la izquierda (conocidas también sumas por Reforma Académica

10 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica defecto) y por la derecha (sumas por exceso), para ello, en el primer caso el rectángulo se traza considerando la altura como la ordenada del primer valor del intervalo, en cambio, en el segundo caso, la altura se define con la ordenada del segundo valor del intervalo.. En la gráfica 3.6 se puede apreciar que los rectángulos se trazan considerando la ordenada del primer valor del subintervalo, en cambio en la gráfica 3.7 se observa que los rectángulos se trazan con la segunda ordenada. En la primera los rectángulos quedan por debajo de la función, y en la segunda están por encima de la función, en el primer caso las áreas de los rectángulos r i subestiman el verdadero valor del área bajo la curva, y en el segundo los rectángulos R i sobreestiman el valor del área. Está claro que entre más pequeños sean los subintervalos y por lo tanto sean más rectángulos, se obtiene mayor precisión en la estimación de la integral. Gráfica 3.6 Gráfica LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA La integral definida como el área bajo la curva Con los ejemplos de las secciones anteriores, se puede apreciar que a medida que el ancho t de los rectángulos se aproxima a cero, los rectángulos se aproximan más a la gráfica de la curva, por lo que la suma de sus áreas se acerca más al área bajo la curva. Si f(x) es positiva y a<b: Área bajo la gráfica de f entre a y b b a f ( x) dx Las gráficas 3.6 y 3.7 en donde se calcularon las áreas r i y R i son aproximaciones de las áreas A i que en conjunto son: b Área = f ( x) dx a 94 Reforma Académica 003

11 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica En otro ejemplo, la gráfica 3.8., muestra la gráfica de una función, para calcular la integral entre 0 y 5, hay que medir el área bajo la curva en ese intervalo ver gráficas 3.9. Gráfica 3.8 En muchas ocasiones, las gráficas abarcan áreas por debajo del eje de las abscisas, en donde la función toma valores negativos, en esos casos, f(x) x es negativo, y el área se contabiliza en forma negativa. Veamos un ejemplo, para calcular.. f ( x) dx, gráfica 3.10., se obtiene el área la curva y el eje de las x entre -. y., el área sombreada es 86.7, por lo tanto El área se cubre con cuadros de.. f ( x) dx =-86.7 Gráfica 3.10 dimensiones 5*1, entonces 5 0 f ( x) dx =16.75*5=83.8 unidades cuadradas Gráfica 3.9 Reforma Académica

12 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica En general si una curva presenta áreas positivas y negativas el cálculo del área sería de la siguiente manera: procedimiento analizado en la sección anterior. Gráfica 3.11 Área entre dos curvas En esta sección, se verá como calcular el área de una región delimitada por varias curvas. En forma similar a lo antes visto, el procedimiento consiste en trazar rectángulos y utilizar la integral definida, la altura del rectángulo será f(x) g(x) y el área f(x) g(x)* x. de esta manera podemos calcular la integral (( x + x + 0) (x)) dx = 60.5 Si f y g son funciones continuas en [a,b] y g(x) f(x) entonces el área entre las gráficas f(x) y g(x) entre a y b es: b a ( f ( x) g( x)) dx Consideremos que f(x)= - x + x +0 y g(x)= x, para obtener el área entre ambas funciones, gráfica 3.11, se sigue el procedimiento de definir rectángulos entre 0 y 4.47, que es el valor de la abscisa en donde se intersectan ambas funciones, utilizando una hoja de cálculo en la computadora se calcula la integral, con el Gráfica 3.1 y y=-x^+x y=x Area= x 96 Reforma Académica 003

13 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica El teorema fundamental del cálculo En las secciones anteriores se vio como la integral definida es el cambio total en una función calculado con base en la rapidez de cambio de la función. También se estableció que dada una función F(t) su rapidez de cambio es la derivada, F (t). Recordemos que para estimar el cambio total, en un intervalo [a,b], se definen n subintervalos iguales en t o, t 1,t,...t n-1, t n, además se definió t como la longitud de los subintervalos y se calcula como t= b a n. Ahora bien, si en el primer subintervalo, se aproxima la rapidez de cambio con F (t 1 ) entonces: Cambio en F =Rapidez * Tiempo F (t 1 ) t si consideramos en cada subintervalo i la rapidez de cambio se aproxima con F (t i ), entonces: Cambio en F = Rapidez * Tiempo F (t i ) t y por lo tanto el cambio total estará dado por: Cambio total en F entre a y b:= F (t 1 ) t +F (t ) t+...+ F (t n ) t= n i = 1 F' ( t) Δt Para mejorar el resultado, se generan más intervalos, tomando el límite cuando n, de esta manera la suma se convierte en integral: Cambio total en F entre a y b:= lim n n i = 1 ' = F '( t) dt F ( t i ) Δt b a Como el cambio total está dado también por F(b) F(a) se relaciona con el resultado anterior y se obtiene: Teorema fundamental del Cálculo Si F (t) es continua para a t b entonces b a F ( t) dt ' = F(b) - F(a) Veamos un ejemplo, se conoce que un cuerpo se mueve en una recta con aceleración v (t)= 6t, también se conoce que la velocidad del cuerpo es v(t)= 3t m/seg entre t=0 y t=10 minutos, se estimará el cambio la velocidad total aplicando el Teorema fundamental del Cálculo: Recordemos que la aceleración es la rapidez de cambio de la velocidad, esto es el cambio experimentado por la velocidad por segundo, entonces sus unidades son m / seg seg m = seg v '( t) dt = v(10) v(0) 6( ) dt y además dt=seg t = 3(10 ) - 3(0) =300 m/seg El cambio total en la velocidad en ese periodo es de 300 m/seg Reforma Académica

14 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica RESULTADO DE APRENDIZAJE 3.. Usar integrales en la solución de problemas ANTIDERIVADAS Derivación e integración como procesos inversos La integración tiene, también, otro enfoque, como procedimiento inverso al de la derivación, esto es, si una función es derivada y el resultado se integra entonces se obtiene la función original, para llegar al resultado idéntico se tiene que especificar la constante de integración que se explicará mas adelante. Si la derivada de una función F(x) es f(x), esto es F (x) = f(x), entonces se dice que F(x) es antiderivada de f(x) La antiderivada de f(x) es una función cuya derivada es f(x). Por ejemplo la derivada de x 3 es 3x por ello se dice que x 3 es la antiderivada de 3x Observemos que 3x también es la derivada de x 3 +4, y también es la derivada de x 3 +C, para cualquier valor de C constante En efecto d 3 ( x + C) = 3x dx por tal razón se dice que x 3 +C es la familia de antiderivadas de 3x Generalizando: d dx d ( F( x) + C)) = F(x) dx d = F(x) dx = f(x) d + (C) dx Así, por la constante, no queda determinada completamente una función cuya derivada se conoce. Integrales indefinidas La antiderivada de una función f(x) difiere de cualquier otra en una constante, todas las antiderivadas de f(x) son de la forma F(x) + C, la forma más general de denotarlas es con: f ( x) dx y se le denomina integral indefinida de f(x). f ( x) dx = F(x) + C si y sólo si F(x) = f(x) Al símbolo se le denomina símbolo de integral, f(x) es el integrando, y C es la constante de integración. La integral indefinida de cualquier función f con respecto a x se escribe f ( x) dx, y denota una antiderivada arbitraria de f. Es importante resaltar la diferencia entre b a f ( x) dx y f ( x) dx, la primera expresión es un número, en cambio la segunda denota una familia de funciones. Se usa de manera indistinta la palabra integración ya sea para encontrar la antiderivada como para calcular integrales definidas. 98 Reforma Académica 003

15 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Integral de una suma Entre las propiedades de la antiderivada se encuentran las siguientes: Una antiderivada de la suma de dos funciones es la suma de sus antiderivadas. Ocurre lo mismo con la diferencia. [ f ( x) + g( x)] dx = f ( x) dx + g ( x) dx Una antiderivada de una constante por una función es la constante por una antiderivada de la función: c ( f ( x)) dx = c f ( x) dx En la siguiente sección veremos algunos ejemplos. Integrales inmediatas Las reglas para la integración que se obtienen directamente al invertir las reglas correspondientes a la diferenciación son las siguientes: a) dx = x + C b) Kdx = K dx = Kx + C en donde K es cualquier constante c) x n dx = + 1 x n n -1 n d) dx = ln x + c x kx 1 kx f) e dx = e + c k x x a g) a dx = + c; a = cte ln a x x h) xe dx = e ( x 1) + c i) ln xdx =x(lnx-1) + c j) ln( xy ) dx = x ln( xy) x + c Ejemplos: 3 4 dx = 3 4 x +C 3 5 dx = x + C 5 dt = 5t +C xdx = xdx =( x 3 x x dx = 3 x 4 dx = 3 x 3 +C 8 dx = 1 e 8x 8 e x e 0.03t dt = +C C e -0.03t + C)= x +C + C ( x + cos x ) dx = xdx + cos xdx = x + sen x dx = 5 x dx = 5 Lnx + C x x x e) e dx = e + c Reforma Académica

16 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Uso de las antiderivadas para encontrar integrales definidas Con base en el Teorema Fundamental del Cálculo y utilizando las reglas de las antiderivadas se pueden calcular, de una manera más eficiente, las integrales definidas, en efecto, el Teorema nos dice si F (t) es continua para a t b entonces b a F ( t) dt ' = F(b) - F(a) Nos permite calcular de una manera exacta las áreas bajo la curva, así como el cambio total acumulado de la funciones. Observemos que al tomar la diferencia F(b) - F(a) se cancela la constante de integración. Ejemplos: Consideremos la función de la velocidad de una partícula en movimiento rectilíneo, que se analizó en alguna sección anterior: Como xdx = x +C entonces 9 tdt = F(9) F(1) =[(9) +C] - [(1) +C] = 1 (9) - (1) = 83 Recordemos que en nuestra mejor aproximación habíamos estimado, con n =8, que 77<velocidad <88 Ejemplo La función de costo marginal de un fabricante es d C = 0.6q +, dq si conocemos que la producción actual es igual a q=80 unidades por semana, para calcular qué tanto más costaría incrementar la producción a100 unidades por semana, se utiliza la integral definida. Como se conoce el costo marginal, al integrar se determina el costo: C(100) c(80) = dc 0.6q = dq + q = (0.3(100 + (100)) (0.3(80 + (80))= Ejemplo Si c o es el consumo anual de un mineral en el tiempo t=0, entonces con un consumo continuo la cantidad total de mineral que kt se utiliza en el intervalo [0,t 1 ] es: c0e dt. Determinemos la integral para una mineral se ha determinado que c o = 3000 unidades y k=0.05: t 1.05 e t t dt = e =.05 0 kt1 (60000 e e 0 )= kt ( e -1) t 0 t1 0 Veamos otros ejemplos: 100 Reforma Académica 003

17 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica 9 tdt =( t ) ( x + x + 0) dx = 0 1 En los análisis anteriores, se ha supuesto que la integral definida b a f ( x) dx tiene límites de integración finitos, y el integrando f es continuo. Sin embargo, se presentan casos en los que uno de los límites (o ambos) es infinito o no existe, esta clase de integrales se les conoce como integrales impropias. A pesar de no tener definido un límite, algunas convergen a un número, este es el caso de 1 y= x Gráfica , en el que dx x =1 Si bien no está definido el límite superior, se observa que el área converge a un número CAMBIO DE VARIABLE Integrales reducibles a integrales inmediatas En ocasiones, es posible modificar algebraicamente una función, de tal manera que se convierte en una expresión cuya integral es inmediata. Por ejemplo e x 1 xdx, se reduce a e u du simplemente considerando u=x, y du= xdx. Ejemplo Obtener x x + 1dx Se resuelve considerando u= x+1 entonces x=u-1 dx =du y x = (u-1) = u -u +1 1 x + 1 = u Así: x x + 1dx = ( u u + 1) u du 3 + ( + 1) = u u + u du = u - u + u + c = ( + 1) 7 x + c x - ( x + 1) 5 5 Reforma Académica

18 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Integrales trigonométricas Las integrales trigonométricas más usuales son: senxdx = -cosx + c cos xdx = senx + c tan xdx = ln sec x + c cot xdx = ln sin x + c csc xdx = ln csc x cot x + c sec xdx = ln sec x + tan x + c sec xdx = tan x + c csc xdx = cot x + c sec x tan xdx = sec x + c csc x cot xdx = csc x + c dx 1 x = arctan x + a a a dx 1 x a = ln + c x a a x + a dx 1 a + x = ln + c a x a a x Es posible resolver otras integrales con base en las anteriores realizando algunas sustituciones algebraicas y trigonométricas. Ejemplo: sen 3 x dx = sen senx dx = (1 cos x) senxdx = senxdx + cos x ( senx) dx = -cosx cos 3 x + c Integrales por partes Existe otro método muy útil de integración, se le denomina integración por partes, éste proviene de la fórmula para la derivada del producto de dos. Si f y g son funciones diferenciables: f ( x) g'( x) dx = f ( x) g( x) g( x) f '( x) dx A la ecuación anterior se le llama fórmula de integración por partes. Se le puede expresar de otra manera al considerar: u = f ( x) y v = g( x) Entonces tenemos du = f '( x) y v = g( x) con lo que se transforma a: udv = uv vdu Está formula expresa la integral udv en términos de otra integral, vdu. Por medio de una elección adecuada de u y dv, puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la primera. Cuando se eligen sustituciones para u y dv, por lo general se desea que dv sea el factor más complicado del integrando que se pueda integrar directamente y que u sea una función cuya derivada sea una función más simple. Ejemplo: Encontrar xe x dx Consideremos u =x y dv = e x dx Entonces du=dx y v= e x dx =e x + c Por lo tanto: 10 Reforma Académica 003

19 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica xe x dx = uv - vdudx =x(e x +c 1 )- ( e x + c1 )) dx = xe x +c 1 x e x c 1 x +c = xe x e x +c = e x ( x-1) +c es posible que se pueda evaluar las integrales por medio de una sustitución trigonométrica. Los tres casos considerados a continuación dependen, respectivamente de las identidades: Ejemplo: Determinar x cos xdx Sea u=x y dv=cosxdx. Entonces du=dx y v=sinx Por lo tanto, tenemos x cos x x sin x = sin xdx = x sin x + cos x + c Determinar 1 tan xdx Sea u=tan -1 x y dv=dx. dx Entonces du= y v=x 1+ x De esta forma, tan 1 = x tan xdx = x tan 1 x 1 ln(1 1 x xdx 1+ x + x ) + C Integrales por sustitución trigonométrica Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones a x, a + x, o bien x a, a > 0 1 sin θ = cos θ 1+ sin θ = sec θ sec θ 1 = tan θ CASO I. Integrandos que contienen a x, a > 0 Consideremos: x=a sinθ, -π/ θ π/ entonces a x = = a a = a cos θ = a cosθ sin θ a (1 sin θ ) Cuando a x aparece en el denominador de un integrando; existe la restricción adicional -π/ θ π/ CASO II. Integrandos que contienen a + x, a > 0 Supongamos que x=a tanθ, en donde -π/ θ π/. Entonces a + x = = a + a = a sec θ = a secθ tan θ a (1 + tan θ ) Reforma Académica

20 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Después de la integración puede eliminarse la variable θ empleando un triangulo rectángulo en donde tan θ=x/a. Veamos la siguiente figura. Caso III. Integrandos que contienen x a, a > 0 Si en este último caso se utiliza la sustitución x = a sec θ, en donde 0 θ π/, o bien π θ 3π /, entonces x a Evaluar = = a sec θ a a (sec θ 1) = a tan θ = a tanθ x 9 x dx La identificación a=3 conduce a las sustituciones x=3sen θ dx=3cosθ dθ x 9sin dx = (3cosθdθ ) = 9 x 9 9sin θ 9 sin θdθ Recuerda que para evaluar está última integral trigonométrica se hace uso de sin θ = (1 cos θ ) / x 9 x 9 dx = 9 9 (1 cos θ ) dθ = θ sin θ + c 4 Para expresar este resultado otra ves en término de la variable x, observamos que -1 sin θ = x/3, cosθ = 1 sin θ = 9-x /3, y θ = sin (x/3) puesto que θ = senθ cosθ, resulta que x 9 x dx = 9 sin 1 x 3 1 x 9 x + c en donde -π/ θ π/. La integral se convierte en 104 Reforma Académica 003

21 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Integración de fracciones racionales Una función algebraica se puede expresar como el cociente de dos polinomios. En teoría toda función racional tiene una integral que puede expresarse en términos de funciones elementales. Si una función racional no se puede integrar directamente, se utiliza el método de fracciones parciales para transformar la fracción racional en una suma de funciones más sencillas que pueden integrarse por medio de las fórmulas normales. menor grado que el polinomio del denominador. Veamos el procedimiento: a) Se expresa el denominador de la fracción como un producto de factores lineales de la forma ax + by de factores cuadráticos irreductibles de la forma ax +bx +c. b) Se determina la forma de las fracciones parciales, y dependerá de los factores que se definan en el denominador: Este método se utiliza únicamente para a fracciones propias, esto es aquellas en la que el polinomio del numerador es de Factor presente en el denominador Fracción parcial correspondiente a) Factor lineal único: ax +b A ax + b siendo A una constante que debe determinarse b)factor lineal repetido: (ax-b) n A ax + b 1 + A ax + b An ax + b en donde A 1, A,... A n son constantes que deben determinarse c)factor cuadrático único ax +bx +c d) Factor cuadrático repetido: (ax +bx +c ) n Ax + B ax + bx + c en donde A y B son constantes que deben determinarse A x + B 1 1 ax + bx + c A x + B A ax + bx + c ax n x + B n + bx + c Reforma Académica

22 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica c) Determinar las constantes que se presentan en los numeradores de las fracciones parciales. Cuando se descompone una fracción racional en fracciones parciales, la ecuación resultante es una identidad, o sea, que es verdadera para todos los valores significativos de las variables. El método para evaluar las constantes que se presentan en las fracciones parciales está basado en un teorema de álgebra que establece que si dos polinomios de un mismo grado son idénticos, deben ser iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales de la variable, en ambos polinomios Ejemplo ( x + 3) dx Determinar x + 3x + ( x + 3) dx ( x + 3) dx = x + 3x + ( x + 1)( x + ) A B = + dx x x + 1 A( x + ) + B( x + 1) dx = dx ( x + 1)( x + ) Por lo tanto: X+3 = A(x+) +B(x+1) =(A+B)x + (A +B) Igualando los coeficientes de potencias iguales: Y ( x + 3) dx dx = ( x + 1)( x + ) x + 1 dx - x + = ln(x+1) ln(x+) +c ( x 1) =ln + c x + Realización del ejercicio Competencia analítica. Calcular integrales usando fórmulas de integración. Determina las integrales que se indican: 1 1) dx ) x 8 dx 3) ( r 5 5r ) dr 4) dx e x 5) dw 8 6) ( x + 3) dx 3 3 7) 3 x ( x + 7) dx 8) xe x dx 4 9) 4 t dt 1 3 x + x 10) ( x + 1) e dx 1 A+B = 1 A+B = 3 A= B= Reforma Académica 003

23 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 7 Nombre de la práctica Propósito de la práctica Escenario Duración Modelación matemática de problemas de poblaciones. Al finalizar la práctica el alumno modelará problemas de poblaciones usando integrales. Aula h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta. Bitácora Papel Lápiz Reforma Académica

24 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica 108 Reforma Académica 003

25 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. Limpiar el área de trabajo. Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo. a. Se predice que la población mundial t años después del 000 será de P = 6.1e0.015t miles de millones., Qué población se predice que habrá en el 010?, Cuál es la población promedio quce se predice que habrá entre el 000 y el 010? b. Un pueblo tiene una población de Llene la siguiente tabla suponiendo que la población crece a: 50 personas por año y al 5% por año Año Población 1000 c. El tamaño de una población de bacterias es de Encuentre una fórmula para el tamaño, P, de la población t horas después si la población está disminuyendo a: 100 bacterias por hora y al 5% por hora. En qué caso la población de bacterias llega primero al 0? d. Con frecuencia, las tasas de nacimiento y mortalidad se registran como nacimientos o muertes por miles de habitantes de la población. Cuál es la razón de crecimiento relativa de una población con una tasa de nacimientos de 30 nacimientos por 1000 y una tasa de mortalidad de 0 muertes por 1000? e. Una población tiene 100 habitantes en un tiempo t = 0, con t en años. Si la población tiene una razón de crecimiento absoluta constante de 10 personas por año, encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Si la población tiene una razón de crecimiento relativa constante del 10% por año, encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Grafique ambas funciones en los mismos ejes.. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado Reforma Académica

26 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica para su posterior envió a reciclaje. Procedimiento 110 Reforma Académica 003

27 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 7: Modelación matemática de problemas de poblaciones Portafolios de evidencias Fecha: Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica Limpió el área de trabajo Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA Resolvió el ejercicio a Resolvió el ejercicio b Resolvió el ejercicio c Resolvió el ejercicio d Resolvió el ejercicio e. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios Resolvieron dudas y preguntas 4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: Reforma Académica

28 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 11 Reforma Académica 003

29 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 8 Nombre de la práctica Propósito de la práctica Escenario Duración Determinación de áreas usando integrales Al finalizar la práctica el alumno determinará áreas usando integrales. Aula 3h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Bitácora Lápiz Papel Juego de geometría Reforma Académica

30 Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. Limpiar el área de trabajo. Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo. a. Use el teorema fundamental del cálculo para encontrar el área bajo la gráfica de f(x) = 1/(x+1) entre x = 0 y x=. b. Use el Teorema Fundamental para calcular el valor de b si el área bajo la gráfica de f(x) = 4x entre x = 1 y x = b es igual a 40. Suponga que b > 1. c. i) Grafique el área representada por la integral impropia 0 b x xe dx 0 x xe dx ii) Calcule para b = 5, 10, 0. La integral impropia (i) converge. iii) Utilice sus respuestas del inciso (ii) para evaluar su valor.. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 114 Reforma Académica 003

31 LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 8: Determinación de áreas usando integrales Portafolios de evidencias Fecha: Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica Limpió el área de trabajo Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA Resolvió el ejercicio a Resolvió el ejercicio b Resolvió el ejercicio c. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios Resolvieron dudas y preguntas 4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: Reforma Académica

32 PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 116 Reforma Académica 003

33 DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 9 Nombre de la práctica Propósito de la práctica Escenario Duración Resolución de integrales por partes. Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales usando la fórmula de la integración por partes. Aula 3 h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Bitácora Lápiz Papel Reforma Académica

34 Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. Limpiar el área de trabajo. Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. En ésta práctica se van a realizar integrales por partes: 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo. a. xcosxdx b. c. lnxdx θ d. e cosθ dθ e. ax xe dx x x e dx. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA, utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. Nota: Esta práctica se realizará las veces necesarias, hasta que el alumno alcance la competencia. 118 Reforma Académica 003

35 LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 9: Resolución de integrales por partes. Portafolios de evidencias Fecha: Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica Limpió el área de trabajo Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA Resolvió el ejercicio a Resolvió el ejercicio b Resolvió el ejercicio c Resolvió el ejercicio d Resolvió el ejercicio e. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios Resolvieron dudas y preguntas 4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: Reforma Académica

36 PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 10 Reforma Académica 003

37 DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 10 Nombre de la práctica Propósito de la práctica Escenario Duración Resolución de integrales de fracciones parciales. Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales de fracciones parciales. Aula 3 h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Bitácora Lápiz Papel Reforma Académica

38 Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. Limpiar el área de trabajo. Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. En ésta práctica se van a realizar integrales por partes: 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes, de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo. a. b. c. x x + x x 3 x + 1 dx 3 xx ( 1) 4dx 3 x + 4x dx. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 1 Reforma Académica 003

39 LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 10: Resolución de integrales de fracciones parciales. Portafolios de evidencias Fecha: Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica Limpió el área de trabajo Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA Resolvió el ejercicio a Resolvió el ejercicio b Resolvió el ejercicio c. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios Resolvieron dudas y preguntas 4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: Reforma Académica

40 PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 14 Reforma Académica 003

41 DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1,,3 Práctica número 11 Nombre de la práctica Propósito de la práctica Escenario Duración Determinación del excedente del consumidor Al finalizar la práctica el alumno determinará el excedente del consumidor utilizando integrales. Aula 3h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Bitácora Lápiz Papel Juego de geometría Reforma Académica

42 Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. Limpiar el área de trabajo. Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Lee con cuidado lo siguiente: Excedente del Consumidor Una de aplicación de las integrales en Economía, es la determinación del Excedente del Consumidor. En la gráfica 1, se presentan las curvas de oferta y demanda de un producto, en la primera se observa el precio p por unidad al cual el fabricante vende (ofrece) q unidades. En la segunda, demanda, se aprecia el precio p por unidad al cual los consumidores adquieren (o demandan) q unidades. El punto (p o, q o )en donde se intersectan las curvas se le denomina punto de equilibrio, sus elementos se interpretan de la siguiente manera: p o es el precio por unidad al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad q o que los fabricantes desean vender a ese precio. Si el mercado se encuentra en equilibrio y el precio del producto es p o, de acuerdo con la curva de demanda, existen consumidores que estarían dispuestos a pagar más que p o, por ejemplo al precio p 1 los consumidores comprarían q 1 unidades, estos consumidores se benefician del menor precio de equilibrio. El rectángulo sombreado en la figura 1, representa el área p q que es la cantidad total de dinero que los consumidores gastarían comprando q unidades si el precio fuera p, como el precio es p o los consumidores sólo gastan p o q y se benefician con la cantidad p q - p o q, que se puede escribir como (p- p o ) q, ver figura. Figura 1 16 Reforma Académica 003

43 Procedimiento Figura p 0 q Considerando las áreas de todas los rectángulos de q= 0 a q= q o, el área se obtiene mediante la integral: q0 0 ( p p ) dq o La integral representa la ganancia total para los consumidores que están dispuestos a pagar un precio superior al de equilibrio y se le denomina excedente de los consumidores ver figura 3. Figura 3 EC p 0 q o Reforma Académica

44 Procedimiento. Analizar en grupo la lectura anterior. 3. Resolver en grupo el siguiente problema: Las siguientes ecuaciones representan la demanda y la oferta de un producto: P=900 q P=100 + q encuentrar el precio y cantidad de equilibrio, graficar y determinar el excedente del consumidor. 4. En grupo elaborarán conclusiones. 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 18 Reforma Académica 003

45 Procedimiento Reforma Académica

46 LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 11: Determinación del excedente del consumidor Portafolios de evidencias Fecha: Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica Limpió el área de trabajo Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Leyó con atención la teoría. Analizó en grupo el concepto de excedente del consumidor 3. Resolvió en grupo el problema 4. Participó en la elaboración de conclusiones del problema 5. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 130 Reforma Académica 003

47 RESUMEN Conociendo la rapidez de cambio de una función se puede determinar los valores de la función y los cambios totales en la misma, esto es se puede seguir el proceso inverso a lo visto en la sección anterior. La integral definida de f en el intervalo [a,b] se denota como: b a f ( t) dt es el límite de las sumas por la izquierda o derecha con n subintervalos de [a,b] a medida que n se hace arbitrariamente grande. b a b a n 1 f ( t) dt = lim f ( ti ) n i = 1 Δt n f ( t) dt = lim f ( ti) Δt = n i = 1 Cada una de estas sumas se le llama suma de Riemann, Los elementos que aparecen en la notación de la integral son: a es el límite inferior de la integral b es el límite superior de la integral x es la variable de la integral [a,b] intervalo de integración f es el integrando Así, si f(x) es positiva y a<b: Área bajo la gráfica de f entre a y b b a f ( x) dx El Teorema fundamental del Cálculo señala Si F (t) es continua para a t b entonces b F '( t) dt = F(b) - F(a) a La integración tiene, también, otro enfoque, como procedimiento inverso al de la derivación, esto es, si una función es derivada y el resultado se integra entonces se obtiene la función original Si la derivada de una función F(x) es f(x), esto es F (x) = f(x), entonces se dice que F(x) es antiderivada de f(x) La antiderivada de f(x) es una función cuya derivada es f(x). f ( x) dx = F(x) + C si y sólo si F(x) = f(x) Reforma Académica

48 1. Cuál es el concepto de Límite? AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS. Qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado? 3. Qué es el incremento de una variable? 4. Cómo se representa el incremento de una variable? 5. Cómo se le llama a una función que tiene derivada? 6. Cómo se denomina al proceso de encontrar la derivada de una función? 7. Cuáles son las dos aplicaciones principales de la derivada? 8. Hallar la derivada de la función dada en el siguiente ejercicio: f (x) = 7 9. Aplique la definición ( ) para hallar la derivada de la función en a: ƒ(x)=-x 3 ; a=- 10. Cuáles son los criterios de continuidad en un número? (Expresar el concepto en lenguaje algebraico) 11. Cuáles son los tipos de discontinuidad de una función? 1. Resuelva el siguiente ejercicio: Trace la gráfica de la función; luego, observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua. Muestre cuál criterio no se cumple de la definición de continuidad de una función en un punto. 13. Cuál es la función de los teoremas? 14. Teorema de derivadas: la derivada de una función multiplicada por una constante es igual al producto de la constante por la derivada de la función Sea K una constante cualquiera y f y g dos funciones, tales que f (x) = k g(x), entonces, si g'(x) está definida, f '(x) = k g'(x), Cómo quedaría la conclusión del teorema en lenguaje algebraico? 13 Reforma Académica 003