REGLAS DE DERIVACIÓN

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1 REGLAS DE DERIVACIÓN.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL. Consideremos una función f definida en un conjunto abierto D un punto 0 Se dice que f es derivable en el punto 0 si el cociente f ( ) f ( 0 ) D. tiene límite finito 0 cuando tiende a 0. A este límite, si eiste (finito o infinito), se le denomina derivada de f en el punto 0 se representa por: f ( 0 f ( ) ) lim f ( 0 0 Si, en general, al incremento de la variable, es decir 0, lo representamos por h, el límite anterior quedará así: f ( 0 + h) f( 0) f ( 0 ) lim h 0 h Si f : D es derivable D, a la siguiente función se le denomina función derivada (o, únicamente, derivada) de f:.- REGLAS DE DERIVACIÓN f : D f ( )..- Derivadas de la suma, el producto el cociente Sean f g dos funciones derivables D. Entonces f + g, f g, k f ( k ) f / g (si g 0) también son derivables, sus derivadas en un punto D son estas: f ± g ( ) f( ) ± g( ) f ( ) ± g ( ) ( ) ( ) f g ( ) f( ) g( ) f ( ) g( ) + f( ) g ( ) ( ) ( ) k f ( ) k f( ) k f ( ) ( ) ( ) 0 ) f f( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) ( ) / g( ) 0 g g( ) ( g( ))

2 ..- Derivada de la función compuesta Sean dos funciones f g. Si f es derivable en un punto g es derivable en f ( ), entonces g f es derivable en su derivada viene dada por: g f ( ) g( f( )) g ( f( )) f ( ) ( ) ( ) A esta fórmula se denomina regla de la cadena...- Derivada de la función recíproca Consideremos una función biectiva f su función recíproca f. Si f es derivable en D f ( ) 0, entonces f es derivable en f( ) su derivada es la siguiente: ( f ) ( ) f ( ) La epresión anterior se obtiene de aplicar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. Así, sabiendo que f f son derivables teniendo en cuenta que se verifica que f ( f ( )) (donde f( ) f ( ) ), al derivar respecto de : f( f ( )) f ( f ( )) f ( ) f ( ) f f f ( ) ( ) ( ).4.- Derivación logarítmica ( ( )) ( ) En este apartado se muestra cómo se obtiene dicha derivada de la eponencial a. Sea a L L( a ) La. Derivamos ahora respecto de la variable en ambos lados de esa igualdad teniendo en cuenta que a, esto es, que L L( ( )) es una función compuesta que se ha de derivar mediante la regla de la cadena. Para terminar, despejamos la derivada que queremos obtener, es decir : derivar respecto de L La La a La g ( ) Análogamente, consideremos la función [ f ( ) ], donde f g son dos funciones derivables. Para calcular su derivada procederemos como en el caso anterior: L L g ( ) [ f ( ) ] ] g( ) L[ f ( ) ] Y ahora derivamos respecto de : f ( ) g ( ) L[ f ( ) ] + g( ) f ( )

3 Por último, despejamos la derivada: f ( ) g ( ) L f ( ) g ( ) [ f ( ) ] + g( ) [ f ( ) ].5.- Reglas básicas de derivación En esta tabla se presentan las derivadas de las funciones elementales: n n f ( ) n f ( ) f ( ) n n n n f ( ) f ( ) a a L a a, a> 0 a a f ( ) L a L f f ( ) L ( ) f ( ) sin cos sin f ( ) f ( ) cos f ( ) cos sin cos f ( ) f ( ) sin f ( ) tan cos f tan [ ( )] f ( ) [ f ] cos ( ) arcsin arcsin f ( ) f ( ) f ( ) arccos arccos f ( ) f ( ) f ( ) arctan arctan [ ( )] + f ( ) f + ( ) [ f ].- EJEMPLOS.- Demostrar que las derivadas de las funciones arco seno, arco coseno arco tangente son las que aparecen en la tabla anterior. Estas funciones son, respectivamente, las recíprocas de las funciones trigonométricas seno, coseno tangente. Luego se derivan según el método epuesto en el apartado..

4 arcsin sin En esta última ecuación derivaremos respecto de, teniendo en cuenta que ( ), por lo tanto, que se ha de aplicar la regla de la cadena: cos cos Ahora sólo falta epresar este resultado en función de : cos sin arccos cos Igual que en el caso anterior, aquí también derivaremos respecto de : sin sin Y daremos el resultado en función de : sin cos cos sin cos sin + sin cos sin cos sin cos arcsin donde π π. Entonces cos 0 cos cos arccos donde 0 π. Entonces sin 0 sin sin arctan tan Derivando respecto de : cos cos cos sin + cos sin cos tan + + cos cos + 4

5 .- Calcular la derivada de la función. Utilizaremos la derivación logarítmica que se ha mostrado en el apartado.4. para derivar funciones eponenciales. ( ) L L L( ) Y en esta última igualdad derivamos respecto de : L( ) + L( ) + L( ) + L( ) + [ ] [ ].- Calcular la derivada de la función + (sin ). En este ejemplo, como en el anterior, no ha más que aplicar la derivación logarítmica. + + (sin ) L L (sin ) ( + ) L(sin ) Y al derivar respecto de : cos + cos L(sin ) + ( + ) (sin ) L(sin ) ( ) sin + + sin 4.- Calcular las derivadas de las funciones hiperbólicas. e e e + e Sh e + e e e Ch Luego, ( Sh ) Ch ( Ch ) Sh De estas epresiones se obtiene la derivada de la tangente hiperbólica: Sh Ch Sh Th Ch Ch Ch Por su parte, para obtener las derivadas de las recíprocas de estas funciones hiperbólicas, seguiremos el mismo método utilizado con las funciones trigonométricas. ArgSh Sh Derivando respecto de : 5

6 Ch Ch + Sh + ArgCh Ch Derivando respecto de : Sh Sh Ch Ch Sh Ch + Sh Ch + Sh Sh Ch Sh Ch Ch > 0 Ch Ch ArgCh donde 0. Entonces Sh 0 0 Sh Sh ArgTh Th Derivando respecto de : Ch Ch Ch Ch Sh Ch Sh Th Ch Ch 4.- EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular la derivada de las siguientes funciones: ( 5) 4. sin( ) 5. sin ( ) 6. cos 6 5 6

7 e sin 0. ( + ) /. L( + ). L (sin ). arcsin cos + cos 4. arctan [ 0, π ) L( + + 9) L + + arctan + + a ( ( )) tan L cos 8. sin SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS ( 5 ) cos( ) 6sin ( )cos( ) sin 6. cos 7. L e sin cos L+ sin 7

8 0. L( + ) + ( + ) ( + ). +.. L(sin ) + / L cot L (sin ) arcsin + 4. [ 0, π ) tan tan( L( cos ) ) a La cos ( L( cos ) ) + + sin 8. ( sin L cos L sin ) 9. (L+ ) L+ 8