Funciones Trigonométricas

Transcripción

1 Funciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas son funciones especiales, cuya regla de asignación no consiste en cálculos algebraicos. Aparecen con mayor frecuencia en modelos matemáticos de Ciencias. Como testimonio de su importancia las van a encontrar en el teclado de sus calculadoras con un tamaño de tecla apenas menor que el "+" o el "x". Las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.) aparecen naturalmente en varias situaciones prácticas, principalmente en modelos que involucren ángulos y en la descripción de fenómenos oscilatorios (péndulos, resortes, ondas). La primera particularidad es que tienen una regla de asignación geométrica: dada una variable x, en vez de hacer una cuenta se hace un determinado dibujo se mide la longitud de determinados trazos del dibujo, se hace determinada cuenta con esas longitudes y finalmente se obtiene el resultado y=f(x). Como ya sabemos, para definir bien a una función basta que a cada x le corresponda un y sólo un resultado y. En la práctica, obviamente uno no hace este trabajo geométrico. Años atrás se usaban libros de tablas para buscar los valores de las funciones trigonométricas con 6 decimales de precisión. Hoy en día confiamos en las calculadoras o computadoras, que tienen programado algún mecanismo para darnos el resultado con cierta cantidad de decimales. Sin embargo, necesitamos conocer la construcción geométrica para interpretar las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas. Medida de ángulos en radianes Para que valgan algunas propiedades de las funciones seno, coseno y tangente que veremos en este curso, los ángulos deben medirse en radianes. A un ángulo α se le asigna un valor en radianes de la siguiente manera: se lo dibuja se traza una circunferencia de radio R con centro en el vértice del ángulo se mide la longitud S del arco de circunferencia encerrado por el ángulo se calcula el cociente de longitudes S/R Definición: Se llama medida de un ángulo α en radianes al cociente S/R en la construcción de la figura. Se anota: α = S/R La medida de un ángulo en radianes no depende del radio elegido, por razones de semejanza. La medida de un ángulo en radianes no tiene unidades (se dice que es adimensional). Por ejemplo, si medimos S y R en centímetros, al hacer el cociente se simplifican los cm y no quedan unidades. Los ángulos en el plano se pueden orientar, eligiendo un lado como inicial y el otro como final. Se dice que un ángulo es positivo si el arco entre el lado inicial y el lado final se recorre en sentido anti-horario y es negativo si el arco se recorre en sentido horario. En el curso ubicaremos los ángulos en un sistema de coordenadas cartesianas de manera que el vértice coincida con el punto (0,0) y el lado inicial sea siempre el semieje x positivo. Ejemplo: Podemos calcular la medida en radianes de un ángulo recto. Como la longitud de la circunferencia completa de radio R vale.π.r, y un ángulo recto encierra exactamente un cuarto de circunferencia, la longitud del arco encerrado vale.π.r/4= π.r/. Luego el ángulo recto en radianes mide

2 .R/ = R = Recordemos que π es un número irracional, que vale aproximadamente π 3,1416. Por lo tanto α 1,5708. Trabajando en radianes, resulta más significativo leer α = π / que leer α 1,5708. Las medidas de ángulos en radianes o en grados sexagesimales se relacionan por regla de tres simple. Como referencia, podemos recordar que un ángulo llano de 180 o mide π radianes. Si anotamos α G a la medida de un ángulo en grados y α R a la medida del mismo ángulo en radianes, la regla de tres nos dice que α G 180 o α R π Encontramos que 180 R = G Funciones seno y coseno Vamos a construir las funciones seno y coseno. La variable independiente es número real α, que se entiende como la medida de un ángulo en radianes. Este ángulo se dibuja en el plano cartesiano, con un lado sobre el semieje x positivo; se admiten ángulos positivos y negativos, permitiendo valores que expresen más de una vuelta. Dado un valor α, se dibuja una circunferencia de radio R (arbitrario) con centro en el origen del plano cartesiano a partir del punto ( R,0 ) se recorre un arco de circunferencia de longitud α R, en sentido anti-horario si α >0 u horario si α <0 queda determinado un punto de coordenadas ( x α, y α ) sobre la circunferencia; el ángulo con vértice en el origen, el lado inicial sobre el semieje x positivo y el lado final que corta la circunferencia en el punto ( x α, y α ) tiene medida α en radianes Con las coordenadas del punto ( x α, y α ) se definen Función seno: sen : R R dada por sen (α)= y α /R Función coseno: cos : R R dada por cos (α)= x α /R

3 Si usamos R=1, en cierta escala, esta construcción se llama circunferencia trigonométrica. La ventaja es que la división por 1 es trivial: podemos visualizar sen (α) directamente como la coordenada y α y cos (α) directamente como x α. Las coordenadas x α e y α tienen signo + o -. En consecuencia cos (α) y sen (α) tienen signo + o - según el cuadrante en que se ubique el lado final del ángulo α. Notación: las funciones seno y coseno tienen nombre propio. En vez de inventar una letra para nombrarlas se usa sen (α) y cos (α). Más aún, es usual no usar los paréntesis y escribir directamente sen α o cos α. En general no hay manera de calcular algebraicamente el resultado de las funciones seno y coseno de un número dado. Por eso es muy importante recordar sus gráficos: En adelante, cada vez que tengan que evaluar un seno o un coseno es recomendable que hagan al margen un esquema de estos gráficos. El seno y coseno de α =0, π/, π, 3π/,π (cuando el lado final del ángulo cae sobre un eje cartesiano) se leen directamente del gráfico o de la circunferencia trigonométrica. Es importante reconocer para qué ángulos el seno y coseno valen 1, 0 o -1. Para los llamados ángulos notables, α = π/6, π/4, π/3, se pueden usar relaciones geométricas de triángulos para expresar las coordenadas involucradas y calcular exactamente las funciones trigonométricas. Otras funciones trigonométricas A partir del seno y el coseno se definen las demás funciones trigonométricas como cocientes. Obviamente, no están bien definidas cuando el divisor vale 0. Dado un número α real, se definen las funciones: tangente, dada por cotangente, dada por secante, dada por sen( ) ya tan( ) ( si cos (α) 0 ó x a 0 ) cos( ) x a cos( ) xa cot( ) ( si sen (α) 0 ó y a 0 ) sen( ) y x a a 1 R sec( ) ( si cos (α) 0 ó x a 0 ) cos( )

4 cosecante, dada por 1 R cosec( ) ( si sen (α) 0 ó y a 0 ) sen( ) y a Es conveniente siempre trabajar estas funciones reemplazándolas por su expresión en términos de senos y cosenos. Cuando ganen confianza, pueden recordar reglas prácticas para trabajar directamente con ellas. Y siempre que no estén seguros, vuelvan a escribirlas en términos de senos y cosenos. Identidades trigonométricas Las funciones trigonométricas tienen numerosas relaciones entre sí, conocidas como identidades trigonométricas. El uso de propiedades adecuadas puede simplificar cualquier trabajo, reemplazando expresiones elaboradas por expresiones más sencillas. Sin embargo, no podríamos recordarlas todas. Es recomendable recordar bien unas pocas relaciones básicas: para cualquier número α, (sen(α)) + (cos(α)) =1. Esta identidad se conoce como "relación pitagórica"; se demuestra aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se dibuja en la circunferencia trigonométrica. para cualesquiera dos números α y β, sen (α + β) = sen (α) cos (β) + cos (α) sen (β), cos (α + β) = cos (α) cos (β) - sen (α) sen (β). Estas identidades se demuestran a partir de la suma de ángulos dibujados en la circunferencia trigonométrica. Noten que valen para β negativo, es decir que también permiten calcular seno y coseno de una resta. la función seno es impar: para cualquier número α, sen (- α) = - sen (α) la función coseno es par: para cualquier número α, cos (- α) = cos (α) Con estas relaciones básicas y un poco de práctica podrán ustedes mismos generar muchas otras relaciones útiles. Notación: van a encontrar una notación especial para las potencias de funciones trigonométricas, anotando el exponente junto a los símbolos sen o cos. Por ejemplo, sen α significa (sen (α)) En el resto del curso será habitual usar la letra x como variable independiente de las funciones trigonométricas, escribiendo por ejemplo y= cos x No se debe confundir el uso de x e y como variables de la función con el uso de x e y como coordenadas en la circunferencia trigonométrica. Ejercitación 1. Dibujen ángulos de 0º, 90º, 180º, 70º. Usando que la longitud de la circunferencia completa de radio R vale.π.r, calculen la medida en radianes de los ángulos dibujados. Encuentran alguna relación entre la medida de cada ángulo y la fracción de vuelta que representan?

5 . a. Calculen en radianes la medida de los ángulos notables de 30º, 45º y 60º. b. Grafíquenlos en la circunferencia y visualicen las medidas en radianes como fracciones del ángulo llano. c. Intenten calcular exactamente el seno y el coseno de los ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º. Conviene recordar los resultados con alguna regla ayuda-memoria, como la tabla ángulo sen cos d. Pueden completar el análisis con los ángulos de 180º, 70º, 360º, 10º, 135º y 150º. 3. Indiquen el signo del seno y el coseno de los ángulos según el cuadrante al que pertenecen. Relacionen lo que observan en la circunferencia trigonométrica con lo que observan en el gráfico de las funciones. 4. Encuentren todos los ángulos que verifiquen: a. cos x=1 b. sen x=1/ c. cos x=0 5. Las funciones trigonométricas están predefinidas en GeoGebra. La variable, como en las demás funciones, se debe llamar x. Los nombres que reconoce el programa son sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), cosec(x) Grafiquen sen x y cos x, y describan las características observadas (dominio, imagen, raíces, ordenada al origen, conjuntos de positividad y negatividad, paridad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, etc.) Anticipen la gráfica de tan x, construida como cociente de dos gráficas conocidas. Indiquen su dominio natural y su imagen. Grafiquen con GeoGebra para comprobar sus predicciones. 6. Intenten hacer con GeoGebra una circunferencia trigonométrica, eligiendo R=1. Si lo hacen adecuadamente, el punto P= ( x α, y α ) se podrá mover con el mouse; el seno y coseno estarán a la vista y sus valores se leerán en el panel algebraico. Pueden crear la circunferencia con la entrada x^+y^=1 El punto P sobre la circunferencia y el origen se pueden crear con el mouse. La semirrecta desde el origen, que pasa por el punto, se puede crear con la herramienta "Semirrecta que pasa por dos puntos". Las rectas que pasan por el punto P y son perpendiculares a los ejes se pueden crear con la herramienta "Recta Perpendicular". Los puntos x α e y α sobre los ejes se pueden crear con la herramienta "Intersección entre Dos Objetos".

6 Con este esquema, los objetos creados están asociados al punto P. Al mover el punto, lo acompañan todos los objetos asociados. Para limpiar y destacar el gráfico, se pueden editar las propiedades de cada objeto: renombrar, mostrar/ocultar, color, estilo de trazo, etc. Podría verse similar a la figura