Semana 7 Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1)

Transcripción

1 Semana Matrices (parte 8 ) Semana 7 plicación de las raones trigonométricas (parte 1) Empecemos! La semana inicia con un tema muy interesante que te llevará a eplorar cómo el ser humano logró resolver problemas prácticos relacionados con ángulos y medidas de distancia. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la que eiste entre la Tierra y la luna o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos como el movimiento circular, el sonido o el flujo de corriente alterna. Qué sabes de...? Para esta semana necesitamos que ejercites tus saberes sobre los sistemas de medición de ángulo y el uso del teorema de Pitágoras. Para ello, presenta la solución de los siguientes planteamientos: 1. Epresemos en radianes 90º. Resuelve los triángulos usando el teorema de Pitágoras. Epresemos en grados π b 10 cm cm a 8 cm 4 cm El reto es... Un árbol proyecta una sombra de 48m cuando el sol se encuentra a una altura de 0º sobre el horionte. Cuál es la altura del árbol?, cuál será la longitud de la sombra cuando el sol se encuentre a una altura de 5º sobre el

2 Semana 8 plicación de las raones trigonométricas (parte 1) horionte?, cuál será la altura del sol sobre el horionte cuando el árbol proyecte una sombra de 0m? Figura 0 Para responder a las preguntas, debemos pensar cómo establecer una relación entre el ángulo que se forma con el punto más alto del árbol y su proyección vista como una sombra. Para ello estudiemos algunos conceptos y estableceremos la eplicación más apropiada a la situación planteada. Vamos al grano Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es encontrar las medidas de sus tres lados y tres ángulos a partir de algunos de ellos que son conocidos. Las raones trigonométricas nos permiten resolver cualquier tipo de triángulo rectángulo. 1. Conocidos dos lados. El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras. Uno de los ángulos agudos se halla a partir de la raón trigonométrica que lo relaciona con los dos lados conocidos.. Conocido un lado y un ángulo. Otro lado se halla mediante la raón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos. El otro ángulo agudo es complementario al que conocemos. Es importante recordar las raones trigonométricas; para ello te presentamos varias definiciones. Raones trigonométricas 4 En un triángulo rectángulo de catetos, y e hipotenusa se definen las raones trigonométricas del ángulo α: seno, coseno y tangente, como se muestra en la figura 1.

3 plicación de las raones trigonométricas (parte 1) Semana 8 y α 0 Figura 1 cateto opuesto al ángulo α y senα = = = hipotenusa O cateto contiguo al ángulo α O cosα = = = hipotenusa O cateto opuesto al ángulo α O tanα = = = cateto contiguo al ángulo α O partir de ellas se define las recíprocas: cosecante, secante y cotangente. 1 cosec α = = sen α y 1 sec α = = cos α 1 cot α = = tan α y Estudiemos un ejemplo que enseña cómo presentar las raones trigonométricas y sus recíprocas. Conocidos dos lados Ejemplo 1: En un triángulo rectángulo se conocen = 17m e y= 15m. Calcula el ángulo β Solución: Como conocemos dos lados podemos aplicar la raón trigonométrica coseno para hallar el ángulo en : β y 0 5

4 Semana 8 plicación de las raones trigonométricas (parte 1) cateto contiguo al ángulo β 15m cosβ = cos β = cos β = 0,88 hipotenusa 17m Usando la función inversa del coseno, el arco coseno, el cual en la calculadora lo encontramos como cos -1 cos -1 cosβ = cos -1 (0,88) = 61,91º Para obtener la inversa del coseno con tú calculadora científica en el modo DEG presiona las siguientes teclas: SHIFT, COS (cos -1 ), 0,88 y por último = SHIFT, COS (cos -1), 0,88 y por último = Conocido un lado y un ángulo Ejemplo : En un triángulo rectángulo se conocen = 15m y β = 70º. Calcula el lado. Solución: Como conocemos el ángulo en y su lado opuesto podemos utiliar la raón trigonométrica seno: La hipotenusa mide aproimadamente 15,96m cateto opuesto a β 15m sinβ = sin 70º = hipotenusa 15m sin 70º = 15m = = 15,96m sin70º β y La hipotenusa mide aproimadamente 15,96m 0 Raones trigonométricas de 0º, 45º y 60º Es conveniente recordar el valor numérico de las raones trigonométricas de 0º, 45º y 60º, a fin de que no necesitemos usar calculadora. Las raones recíprocas se pueden obtener aplicando las definiciones de cosecante, secante y cotangente. 6

5 plicación de las raones trigonométricas (parte 1) Semana 8 Tabla 10 0º 45º 60º sen 1 cos 1 tan 1 nímate a completar la tabla 10 indicando las raones CSC, SEC Y COT con tus compañeros! Para saber más naliando los gráficos presentados en El reto es, vemos que para el caso 1 la sombra de 48m y la altura del árbol forman un ángulo de 0º, dibujando así un triángulo rectángulo. La idea es establecer una relación entre estos datos y hallar la altura del árbol. Figura 7

6 Semana 8 plicación de las raones trigonométricas (parte 1) Considerando el triángulo rectángulo que sintetia la situación, observamos que la altura del árbol se puede denominar como el cateto opuesto al ángulo de 0º y la sombra como el cateto contiguo. Revisando la definición de las raones trigonométricas, vemos que los datos se pueden utiliar de forma directa en la tangente. Solución Eplicación cateto opuesto a 0º tan α = cateto contiguo a 0º tan0º = 48m = 48m tan0º = 48m 0,6 = 17,47 m El valor que deseamos encontrar es el cateto opuesto al ángulo que es 0 (en este caso es la ); para ello debemos despejar de la ecuación. Para obtener la tangente de 0º grados usamos la calculadora científica, marcando las teclas: Tan, 0 y = en el modo DEG. La altura del árbol es de aproimadamente 17,47m. Plantéate con tus compañeros los otros casos, realiando un análisis similar al epuesto y construye la solución justificando tu desarrollo. Consulta la siguiente dirección web, donde encontrarás una presentación que eplica las funciones trigonométricas y cómo hallar sus inversas: plica tus saberes 1. En un triángulo rectángulo se conocen a = 50m y el ángulo en C = 16º. Calcula c. C a b 8 c Figura

7 plicación de las raones trigonométricas (parte 1) Semana 8. En un triángulo rectángulo se conocen a = 9m y b = 1m. Calcula el ángulo en.. En un triángulo rectángulo se conocen b = 17m y c = 8m. Calcular el ángulo en C. 4. Cuál es la altura del edificio y de la antena? Ver figura 4. ntena 5º 48º 100m Figura 4 5. Investiga en la dirección web recomendada cómo se definen las funciones trigonométricas y sus inversas. Comprobemos y demostremos que 1. Encuentra con tus compañeros las soluciones a los problemas y ejercicios planteados y consulta con tu facilitador las dudas que tengas.. Refleiona sobre tus aprendiajes respondiendo a las siguientes preguntas: a) Cómo contribuyeron mis saberes previos a la realiación de las actividades? b) Qué ideas nuevas aprendí en este proceso de aprendiaje? c) En qué punto tuve problemas de comprensión?, a qué se debe? d) Qué proceso seguí para desarrollar eficamente las actividades? 9