INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO. Matemáticas Básicas Grupo de docentes de Matemáticas Básicas

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO Matemáticas Básicas Grupo de docentes de Matemáticas Básicas 1. Trigonometría 1.1. Ángulos y sus medidas Definición Un ángulo es la figura que se forma con dos rayos o semirrectas, que tienen un extremo común llamado vértice. A un rayo lo llamaremos lado inicial del ángulo, y al otro, lado terminal. Es útil imaginar al ángulo como formado por una rotación, desde el lado inicial hasta el lado terminal. El ángulo se puede poner en un plano cartesiano con su vértice en el origen y su lado inicial que coincida con el eje positivo de las x. En ese caso se dice que el ángulo está en su posición normal o estándar. Medición en grados Existen distintos sistemas de medición de ángulos (de manera análoga a la que existen distintos sistemas para medir, por ejemplo, distancias: millas, kilómetros, pies, etc.. Los sistemas que veremos en este curso serán el sistema sexagesimal, y el sistema circular. La medición de un ángulo en el sistema sexagesimal se basa en la asignación de 360 grados (se escribe 360 al ángulo formado por una rotación completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se indica en la FIGURA Entonces, otros ángulos se miden en función de un ángulo de 360, y un ángulo de 1 1 es el que se forma por 360 de una rotación completa. Si la rotación es contraria a la de las manecillas del reloj, la medida será positiva; si es en el sentido de las manecillas del reloj, la medida será negativa. Por ejemplo, en los ángulos de las figuras a y b se obtienen el primero con un cuarto de rotación completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y es 1 4 (360 = 90 ; y el segundo ángulo es 1

2 formado por tres cuartos de rotación completa en sentido de las manecillas del reloj. Este ángulo mide: 3 4 ( 360 = 70 Observación Cuando estemos trabajando en estas unidades la calculadora debe estar en la función deg (degree, que quiere decir grado en inglés. El otro sistema a considerar es el Sistema circular, en este sistema una vuelta completa equivale a π radianes. Esto se denota: π ó π rad. En general en este sistema no se escribe la unidad, es decir que un ángulo de π radianes se expresa como π. Los radianes se escriben como un número real, las fracciones de radianes no tienen una notación particular. Observación Cuando estemos trabajando en estas unidades la calculadora debe estar en la función rad (radianes. Un radián se define como el ángulo para el cual la longitud de arco, L, de una circunferencia es igual al radio, r, de la misma. Ejemplo 1. Algunos ángulos expresados en radianes son:

3 Como la circunferencia de un círculo unitario es π, una rotación completa mide π radianes, y también 360. Por consiguiente, 360 = π radianes, o 180 = π radianes. Si la igualdad anterior se interpreta como 180(1 = π(1 radián, entonces se obtienen las dos fórmulas para convertir entre grados y radianes. Ejemplo 1.3 Conversión entre radianes y grados a radianes. 7π 5 radianes a grados 3. 3 radianes a grados solución: ( π = 30 radianes = π π. 5 radianes = 7π ( 180 = 5 5 π ( radianes = 3 = 171, 89 π Definición 1.4 Dos ángulo son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal. Ejemplo 1.5 Algunos ángulos coterminales son: 3

4 1.. Trigonometría del triángulo rectángulo La palabra trigonometría (del griego trigonon, triángulo, y metron, medida se refiere a la medición de triángulos. Un triángulo rectángulo es aquél que tiene un ángulo recto (90 como uno de sus ángulos interiores. En este caso, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el tercer lado es la hipotenusa (h. Si uno toma un ángulo interior, que no sea el ángulo recto, entonces el cateto que forma dicho ángulo será el cateto adyacente (ca, mientras que el otro será el cateto opuesto (co. Se definen las funciones trigonométricas, como las razones entre los lados de un triángulo rectángulo. Consideremos un triángulo rectángulo con un ángulo agudo α, se definen Definición la función seno de α (sen α, es el cateto opuesto sobre la hipotenusa sen α = co h. la función coseno de α (cos α, es el cateto adyacente sobre la hipotenusa cos α = ca h 3. la función tangente de α (tan α, es el cateto opuesto sobre el cateto adyacente tan α = co ca 4. la función cosecante de α (csc α, es la hipotenusa sobre el cateto opuesto csc α = h co 5. la función secante de α (sec α, es la hipotenusa sobre el cateto adyacente sec α = h ca 6. la función cotangente de α (cot α, es el cateto adyacente sobre el cateto opuesto cot α = ca co observación: Si dos triángulos rectángulos cualesquiera tienen un ángulo agudo θ congruente, los triángulos son semejantes, es decir los lados son proporcionales, así, cualquiera que sea el tamaño del triángulo; las razones trigonométricas correspondientes son iguales, dependen sólo del ángulo θ 4

5 En otras palabras, obtenemos el mismo valor de senθ independientemente del triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo. Se puede decir lo mismo de las restantes cinco funciones trigonométricas. Esto significa que el valor de las funciones trigonométricas dependen del ángulo y no del tamaño del triángulo. Observaciones: 1. Recordar el teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.. La siguiente terminología es frecuentes en los ejercicios de trigonometría: Suponga que un observador en el punto X ve un objeto. El ángulo que la linea de vista forma con la horizontal l se denomina ángulo de elevación del objeto si el objeto está sobre la linea horizontal. En cambio, Si el objeto está debajo de la linea horizontal l, se dirá ángulo de depresión del objeto. Ejemplo 1.7 Calcular el valor de las demás funciones trigonométricas si sec θ = 13 5 Solución: Como sec θ = h ca = 13 5 por el Teorema de Pitágoras (co + (ca = h, reemplazando los valores y despejando co, se tiene co = 1, volviendo a las definiciones se tiene: 1. senθ = cos θ = tan θ = csc θ = sec θ = cot θ = 5 1 Ejemplo 1.8 Una torre de agua está situada a 35 pies de un edificio (vea la figura. Desde una ventana del edificio, un observador ve que el ángulo de elevación a la parte superior de la torre es 39 y que el ángulo de depresión de la parte inferior de la torre es 5. Cuál es la altura de la torre? Cuál es la altura de la ventana? 5

6 Solución: Para calcular la altura vamos a dividir la torre en dos partes, la primera desde el piso hasta la horizontal, en la cual tenemos un ángulo de depreción y la segunda desde la horizontal hasta la parte superior de la torre, en la cual se tiene un ángulo de elevación. La altura total es h = y 1 + y donde tan 5 = y 1 35 y tan 39 = y 35 ; así h = 35(tan 5 + tan Funciones trigonométricas de ángulos generales Hasta el momento sólo hemos definido las funciones trigonométricas de los ángulos agudos. Sin embargo, muchas aplicaciones de trigonometría incluyen ángulos que no son agudos. En consecuencia, es necesario ampliar la definición de las seis funciones trigonométricas a todos los ángulos generales. Como es natural, necesitamos que la definición ampliada coincida con la definición anterior siempre que el ángulo sea agudo. Para lograrlo, procedemos de la siguiente manera. Sea θ un ángulo en posición estándar y sea P (x, y un punto cualquiera, excepto (0, 0 en el lado terminal de θ. Si r = x + y es la distancia entre (0, 0 y P (x, y, entonces x, y y r representan la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Como y = co, x = ca y r = h, y se definen las funciones trigonométricas como: 1. senθ = y r 4. csc θ = r y. cos θ = x r 5. sec θ = r x 3. tan θ = y x 6. cot θ = x y Siempre que ningún denominador sea 0. En el sistema de ejes cartesianos, el plano xy se divide en 4 cuadrantes: el primer cuadrante corresponde al semiplano en el cual x e y son positivos; en el segundo cuadrante x < 0 e y > 0; en el tercer cuadrante x e y son negativos, y en el cuarto cuadrante x > 0 e y < 0. Estos cuadrantes se denotan con números romanos. Con este criterio y teniendo en cuenta que los ángulos positivos se miden desde el eje positivo 6

7 de las abscisas y en sentido antihorario tendremos que un ángulo pertenece al primer cuadrante si está entre 0 y π/, pertenece al segundo cuadrante si está entre π/ y π, pertenece al tercer cuadrante si está entre π y (3/π; y pertenece al cuarto cuadrante si está entre (3/π y π. Ejemplo 1.9 Si cos θ = con θ en el II cuadrante, determinar el valor de las demás funciones 5 trigonométricas Solución: Como cos θ = ca h = 5 por el Teorema de Pitágoras (co + (ca = h, reemplazando los valores y despejando co, se tiene co = 1, además como el ángulo está en el II cuadránte, se tiene que las funciones seno y cosecante son positivas y las demás son negativas, de las definiciones se tiene: 1. senθ = 1. cos θ = tan θ = = csc θ = 5 1 = sec θ = 5 = 5 6. cot θ = 1 = Identidades trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones. Notación: se define sen θ como (sen θ. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas. De las definiciones de las relaciones trigonométricas se siguen las siguientes identidades: Identidades recíprocas a csc θ = 1 sen θ Identidades por cocientes b sec θ = 1 cos θ c cot θ = 1 tan θ a tan θ = sen θ cos θ b cot θ = cos θ sen θ Demostración: a sen θ cos θ = y/r x/r = y x = tan θ 7

8 b similar que a Identidades Pitagóricas a sen θ + cos θ = 1 b tan θ + 1 = sec θ c 1 + cot θ = csc θ Demostración: ( y ( x a sen θ + cos y + x θ = + = r r r b y c similares que a = r r = 1 Observación: Las opciones mas comunes para demostrar una identidad son: a Transformar uno de los lados de la identidad en el otro, en general, se comienza con el más complejo. b Se opera a ambos lados de la identidad hasta llegar a que ambos den la misma expresión. En resumen se tienen las siguientes: Ejemplo 1.10 Demostrar las siguientes identidades: 1. tan x cot x sec x + csc x sen x cos x Vamos a transformar el lado izquierdo en el derecho tan x cot x sec x + csc x sen x cos x sen x cos x cos x sen x sen x cos x sen x cos x cos x sen x sen x cos x (sen x + cos x(sen x cos x cos x sen x(sen x cos x sen x + cos x cos x sen x sen x cos x sen x + cos x cos x sen x 1 cos x + 1 sen x sec x + csc x sec x + csc x 8

9 . sec x ( sen x + cos x sec 4 x tan 4 x Vamos a operar a ambos lados de la identidad sec x ( sen x + cos x sec 4 x tan 4 x sec x ( sen x + sen x + cos x ( sec x + tan x ( sec x tan x sec x ( sen x + 1 ( sec x + tan x 1 1 ( sen cos x x cos x + sen x cos x 1 ( sen cos x ( 1 + sen x cos x x 1.5. Ecuaciones trigonométricas Una ecuación que contiene funciones trigonométricas se denomina ecuación trigonométrica. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones trigonométricas: sen θ + cos θ = 1 tan θ 1 = 0 cos θ = 4 La primera ecuación es una identidad, es decir, es verdadera para todo valor de la variable α. La segunda ecuación es verdadera sólo para ciertos valores de α, mientras que la tercera no tiene solución. Para resolver una ecuación trigonométrica, encontramos todos los valores de la variable que hagan verdadera la ecuación. Observación: Al resolver ecuaciones trigonométricas se buscar llevarlas a la format (α = c, donde T es una función trigonométrica y c es una constante. Ejemplo 1.11 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas para valores del ángulo entre 0 y cos x = cos x Solución: cos x = cos x cos x cos x = 0 ( cos x cos x = 0 Se tienen opciones: a cos x = 0 de donde x = 90 y x = 70 b cos x = 0, de donde cos x = en este caso se tienen x = 45 y x = sen α = cos α 9

10 Solución: 3 sen α = cos α 3 sen α = ( 1 sen α sen α + 3 sen α = 0 sen α = 3 ± 3 4(( ( sen α = 3 ± 5 4 Se tienen opciones: a sen α = 3 5 = lo cual no tiene solución 4 b sen α = = 1 4, en este caso se tiene soluciones α = 30 y α = Funciones trigonométricas de suma y resta de ángulos Estas expresiones las vamos a demostrar gráficamente. para la suma Tomemos dos triángulos. El primero será un triángulo cuya hipotenusa es igual a uno, sus catetos son a y b, y α es el ángulo formado por b y la hipotenusa. El segundo tiene a b como hipotenusa, sus catetos son e y f y β es el ángulo formado por b y f. De la figura anterior se tiene 1 senα = a cos α = b 3 senβ = e b = c a 4 cos β = f b = d a Despejando c, d, e y f de las ecuaciones 3 y 4 se tiene c = asenβ d = a cos β e = bsenβ f = cos β y reemplazando 1 y en estas ecuaciones se tiene 10

11 c = senαsenβ d = senα cos β e = cos αsenβ f = cos α cos β De otro lado, de la figura también se tiene que sen(α + β = d + e cos(α + β = f c Reemplazando los valores anteriores se tiene sen(α + β = d + e = senα cos β + cos αsenβ cos(α + β = f c = cos α cos β senαsenβ Y se obtienen las fórmulas para la suma de ángulos para las funciones seno y coseno Para Obtener la fórmula para tan(α + β procedemos como sigue: tan(α + β = sen(α + β cos(α + β = senα cos β + cos αsenβ cos α cos β senαsenβ y dividiendo el numerador y el denominador por cos α cos β se tiene tiene: tan(α + β = tan α + tan β 1 tan α tan β para la resta El procedimiento es análogo al hecho para la suma, de los triángulos de la figura se De la figura anterior se tiene 1 senβ = a cos β = b 3 senα = e b = c a 4 cos α = f b = d a Despejando c, d, e y f de las ecuaciones 3 y 4 se tiene c = asenβ d = a cos β e = bsenβ f = cos β y reemplazando 1 y en estas ecuaciones se tiene 11

12 c = senβsenα d = senβ cos α e = cos βsenα f = cos β cos α De otro lado, de la figura también se tiene que sen(α β = d + e cos(α β = f c Reemplazando los valores anteriores se tiene sen(α β = e d = cos βsenα senβ cos α cos(α β = f + c = cos β cos α + senβsenα Y se obtienen las fórmulas para la suma de ángulos para las funciones seno y coseno Para Obtener la fórmula para tan(α β procedemos como sigue: tan(α β = sen(α β cos(α β = cos βsenα senβ cos α cos β cos α + senβsen y dividiendo el numerador y el denominador por cos α cos β se tiene tan(α β = 1.7. Ángulos dobles y ángulos medios tan α tan β 1 + tan α tan β Como un caso particular cuando α = β se tienen las fórmulas de ángulos dobles sen(α = senα cos α cos(α = cos α sen α De otro lado: ( α cos α = cos + α ( = cos α ( sen α Pero por identidad anterior (sen α + cos α = 1 de donde sen α = 1 α cos ( cosα = cos α ( 1 + cos α Reemplazando se tiene y despejando ó ( cos α = 1 + cos α ( α 1 + cos α cos = ± El signo depende del cuadrante en el cual se encuentre el ángulo α 1

13 De igual forma se tiene ( α cos α = cos + α ( = cos α ( sen α pero cos α = 1 sen α Reemplazando se tiene ( cosα = 1 sen α ( sen α y despejando ó ( sen α = 1 cos α ( α 1 cos α sen = ± El signo depende del cuadrante en el cual se encuentre el ángulo α Ley de los senos y ley de los cosenos Una aplicación de la trigonometría es la resolución de triángulos. Esto consiste en determinar los lados y/o los ángulos interiores a un triángulo conociendo algunos datos del mismo. Para ello vamos a utilizar dos leyes (fórmulas conocidas como ley de senos y ley de cosenos estás leyes se aplican a triángulos generales, no necesariamente rectángulos. Para expresar estas leyes con mas facilidad, utilizaremos la convención de nombrar los ángulos de un triángulo con las letras A, B, C correspondientes a los vértices y a las longitudes de los lados opuestos correspondientes con a, b, c. Observación: Recordar que en todo triángulo la suma de los ángulos interiores es 180, así Â + ˆB + Ĉ = 180 Ley de los senos En el triángulo de la figura anterior se cumple que: sena a = senb b = senc c Observación: 1 La ley de senos es aplicable cuando en el triángulo se conocen dos de los ángulos (y por ende el tercero y un lado o cuando se conocen lados y un ángulo que no sea el formado por ellos. En el primer caso siempre hay solución única, pero en el segundo se hay que tener cuidado ya que se puede presentar ambigüedad, ya que puede no tener solución, tener una o dos soluciones dependiendo del 13

14 problema. Ley de los cosenos En el triángulo de la figura anterior se cumple que: a = b + c bc cos  b = a + c ac cos ˆB c = a + b ab cos Ĉ Observación: La ley de los cosenos es aplicable cuando en el triángulo se conocen los tres lados del triángulo o cuando se conocen lados y el ángulo que formado por ellos. Ejemplo Dos vehículos pasan al mismo tiempo junto a un edificio, en sentidos contrarios, cuando la distancia entre ellos es de 100 metros, notan que los ángulos de elevación desde su posición hasta la cima del edificio son de 30 y 50. Determinar la altura (H del edificio. Solución: Al trazar la figura se tiene Ahora por suma de ángulos se tiene que el ángulo Ĉ mide 100, ahora aplicando ley de senos se tiene que sen30 a = sen50 b De la última igualdad se tiene que b = 100sen50 sen100. = sen Por último tenemos que sen30 = H, despejando H y reemplazando se tiene b H = bsen30 = 100sen50 sen30 sen100 = 38, 89. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Bernardo hay 16 metros, y entre Bernardo y Camilo, 0 metros. El ángulo formado en la esquina de Bernardo es de 50. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo. Solución: Como nos están dando lados y el ángulo formado por ellos, debemos usar ley de cosenos, así si A es Alberto, B es Bernardo y C es Camilo, se tiene que b = (0(16 cos(50 = 450, 31 luego b = 1, metros es la distancia entre Alberto y Camilo. 14

15 3. Dados los lados a = 3, b = 10 y el ángulo ˆB = 80 determinar, si es posible, el triángulo que se forma. Solución: Aplicando ley de senos se tiene que: senâ 10 = sen80 3 = senĉ c de la primera igualdad se tiene senâ = 10sen80 = 3, 8 ecuación que no tiene solución, es decir, 3 dicho triángulo no existe, este es uno de los casos de los triángulos ambiguos mencionados en la teoría. 4. Reto: Investigar sobre la ley de tangentes, qué es?, cuándo se aplica? Bibliografía Las notas anteriores junto con las gráficas fueron tomadas de los siguientes textos: 1. Álgebra, trigonometría y geometría analítica; 3ra edición; Zill Dennis, Dewar Jacqueline; 01.. Precálculo, matemáticas para el cálculo; 5ta edición; Stewart James, Redlin Lothar, Watson Saleem;