Teorema de Pitágoras y Funciones trigonométricas

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1 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Teorema de Pitágoras y Funciones trigonométricas por Oliverio Ramírez Juárez La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de los triángulos. En esta lectura abordarás dos herramientas matemáticas que se utilizan para analizar situaciones y resolver problemas que conlleven triángulos rectángulos. Iniciarás con el teorema de Pitágoras, su definición, ejemplos de su uso y luego estudiarás las funciones trigonométricas. Con estas dos herramientas matemáticas, resolverás problemas de diferente índole Adelante! Ángulos De acuerdo con Swokowski, (00, p. 39), un ángulo es el conjunto de puntos determinados por dos rayos, o semirrectas l 1 y l, que tienen el mismo punto extremo La medida del ángulo es la amplitud (apertura) de la rotación desde la recta l 1 a la recta l Al punto extremo O se le llama vértice. Dependiendo de la rotación que se requiera para la construcción del ángulo, existen ángulos positivos o negativos; se consideran positivos si van en contra de las manecillas del reloj, y negativos si van en la misma dirección. 1

2 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Ángulo positivo Ángulo negativo Una unidad para medir ángulos es el grado sexagesimal. Silva y Lazo (003, p. 494) menciona que un grado sexagesimal equivale a una parte de una circunferencia dividida en 360 partes. El minuto a su vez, es la 60ª parte de un grado. Por último, el segundo es la 60ª parte de un minuto. Los grados, minutos y segundos se representa por los símbolos, ʼ, respectivamente. En física, un giro de 360 de un cuerpo sobre su propio eje, es conocido como revolución, esto es: 1 rev 360 Más adelante, aplicarás también este concepto. Las siguientes figuras muestran distintos valores de ángulos trazados sobre el plano cartesiano.

3 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 La siguiente tabla muestra una clasificación de los ángulos. Denominación del ángulo Agudo (, 90 ) Obtuso ( ) Complementario α + β 90 Suplementario α + β 10 Definición Descripción Ejemplos 0 Son ángulos cuyo valor es mayor a 0 y menor a , 10 Son ángulos cuyo valor es mayor a 90 y menor a 10 grados. Son ángulos cuya suma es 90. Son ángulos cuya suma es 10. Tabla 1. Clasificación de los ángulos 3, 4, , 145, y , 50 Además de la clasificación anterior, al ángulo de 10 se le conoce como ángulo llano, y al ángulo de 90 se le conoce como ángulo recto; del nombre de este ángulo proviene el nombre de triángulo rectángulo, que estudiarás más adelante en esta lectura. Otra unidad de medida de ángulos es el radián, un radián es un ángulo cuya abertura es igual al radio de una circunferencia. Los grados y radianes se pueden relacionar mediante la siguiente fórmula: 360 π radianes También es cierto que 10 π radianes. 3

4 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Para transformar grados a radianes o radianes a grados, se aplican estas relaciones y una regla de tres simple. Las siguientes relaciones también pueden ser de utilidad para llevar a cabo las conversiones. π 1 radianes 1 radián π En los siguientes ejemplos se lleva a cabo la conversión de ángulos de grados a radianes, utilizando estas fórmulas. Ejemplos: 1. Determina el número de radianes a los que equivale un ángulo recto. Un ángulo recto es igual a 90, luego puedes aplicar cualquiera de las dos expresiones y una regla de tres, y tienes: Usando regla de tres: x ( )( π radianes ) 90 π radianes 10 π Usando la relación 1 radianes. 10 π ( 90) 1 radianes 10 π 90 radianes. Cuántos grados equivalen a Solucion: Usando regla de tres: 3 π 4 radianes? 1 radián 10 Usando la relación π π 1 radianes 4 π π radianes

5 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 3 π radianes ( 10 ) x 135 π radianes 4 3. Javier, quien es el navegante de una embarcación pesquera, recibió la siguiente indicación: radianes De tu ubicación actual, dirígete 15 kilómetros con dirección y encontrarás un banco de peces enorme. Javier cuenta con una brújula para seguir el rumbo qué dirección debe tomar Javier, dada en grados, para encontrar el banco de peces? A continuación se muestra una figura que representa el problema, y los cálculos para la conversión. π 1 radián 10 Usando la relación π, queda: π 10 1 radianes π π 10 radianes.5 Figura 1 Por lo anterior, Javier debe dirigir su embarcación con una dirección de.5 en dirección NE Recuerdas este tipo de notación?, significa que el barco se debe dirigir en dirección Noreste. También de la definición de radián, se puede establecer la longitud de un arco circular. De acuerdo con Stewart y Renlin (003, p. 47), en un círculo de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un ángulo central de φ radianes, es: s rφ De esta fórmula, al despejar φ, queda: s φ r 5

6 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 El ángulo φ dado en radianes, también es conocido como desplazamiento angular y describe la cantidad de rotación de un cuerpo. 4. Encuentra la longitud de un arco circular, cuando el radio de la circunferencia es de centímetros subtendido por un ángulo de.5. La siguiente figura muestra un esbozo del problema. Antes de calcular la longitud arco buscada (señalada en color azul en la figura), es necesario convertir el ángulo φ dado en grados a radianes, tienes: 1 radianes Usando la relación 10. π π 1 radianes 10 π.5 radianes (.5) Ahora que has convertido el ángulo de φ. 5 a arco:! a radianes, aplica la fórmula de la longitud de s rφ π s ( ) s π Esto es, la longitud de arco es s π metros. 6

7 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre Determina el ángulo central φ en un círculo de radio de 1 metros, cuando es subtendido por un arco de longitud de 3 metros. Da la medida del ángulo en grados sexagesimales. Para determinar el ángulo φ, aplicas la fórmula φ s r, y tienes: 3 1 φ radianes 1 4 Como el ángulo lo piden en grados, conviertes esta cantidad y queda: Usando la relación 1 radián 10 π radianes 4 π radianes π π Que es el ángulo buscado. 6. Si la longitud de arco es de metros y el radio de la circunferencia es de 4 metros, calcula el desplazamiento angular en radianes, grados y revoluciones. Como φ s r, sustituyendo en esta ecuación, obtienes: φ m 4m 1 rad El número de grados, es: radianes π 1 90 radianes.64 π 7

8 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Para convertir de grados a revoluciones, es necesario aplicar la equivalencia 1rev 360 : 1rev φ (.64 ) 0.079rev 360 Por otro lado, a la razón de cambio del desplazamiento angular, con respecto al tiempo, se le conoce φ ω como velocidad angular y se expresa por la ecuación t. 7. Una llanta de automóvil de 15 pulgadas de diámetro, gira a una velocidad de 00 revoluciones por minuto cuál es la velocidad angular de la rueda en radianes por minuto? De la relación π rad 360 1rev, se observa que cada revolución (vuelta de la llanta) genera π radianes de desplazamiento angular, por lo que: 00 ω min ( π rad ) 4400π rad / min De este resultado, se observa que para la velocidad angular no es importante el diámetro de la rueda.. Una llanta de automóvil de 15 pulgadas de diámetro, gira a una velocidad de 00 revoluciones por minuto cuál es la velocidad lineal de un punto sobre la circunferencia de la llanta? La velocidad lineal es la distancia que recorre el punto por unidad de tiempo, en este caso, el minuto. La distancia recorrida es la longitud del arco generado por el desplazamiento angular, esto es: 15 s rφ π ( 4400 ) Por lo que la velocidad lineal, es: pulgadas vel. lineal 33000π pulgadas/minuto Esta velocidad lineal, expresada en kilómetros por hora, es aproximadamente igual a 15 km/hora.

9 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Triángulos rectángulos En distintas ramas de la ingeniería se aplican con frecuencia triángulos rectángulos los recuerdas? Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo igual a 90 grados (el ángulo de 90 también es llamado ángulo recto). La siguiente figura muestra distintos triángulos rectángulos. Los lados que forman el ángulo recto son conocidos como catetos, al tercer lado que forma el triángulo rectángulo se le llama hipotenusa Qué observas en cuanto a la longitud de la hipotenusa con respecto a la longitud de los catetos? Efectivamente la hipotenusa siempre es de mayor longitud que los catetos. El teorema de Pitágoras establece, de acuerdo con Sullivan (006, p. 30), lo siguiente: Si se considera la figura: Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. a c c hipotenusa a, b catetos 90 b 9

10 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la expresión matemática que representa la relación entre los lados de este triángulo es: c a + El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar el teorema de Pitágoras. Ejemplos: 1. Un agricultor, propietario de un terreno en forma de triángulo rectángulo, está interesado en conocer el perímetro del terreno, pues desea colocar una cerca que proteja sus hortalizas de unas cabras que pastan cerca del lugar. El agricultor sólo conoce la medida de dos lados del triángulo de su terreno cuál es la longitud del tercer lado del triángulo? En la siguiente figura se han identificado los lados conocidos del terreno. b A partir del análisis de la figura y de los datos conocidos, se observa que el lado desconocido del terreno corresponde con la hipotenusa del triángulo rectángulo. Si llamas c al lado desconocido y aplicas el teorema de Pitágoras, obtienes: c c c Observa que el resultado obtenido, representa la longitud de la hipotenusa al cuadrado, por lo que es necesario extraer la raíz cuadrada en ambos lados de la igual para determinar el valor de c, queda: c c 30.m

11 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Como resultado, obtienes que el lado más largo del terreno mide 30. metros de longitud.. La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 90 metros y uno de sus catetos 60 metros cuánto mide el otro cateto? Algunas ocasiones es recomendable dibujar el triángulo para entender mejor qué es lo que se está pidiendo: Si consideras a b como el cateto desconocido, despejando del teorema de Pitágoras, obtienes: Por lo que la longitud del cateto es de 67.0 metros. 3. Un plano cartesiano se utiliza para representar gráficamente puntos, líneas y espacios geométricos en general, mediante un sistema de coordenadas rectangulares. 11

12 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Si representamos, por el origen del plano, a un muelle de donde parte una embarcación y esta se mueve al punto en el plano (3, ) en donde se encuentra una pequeña isla en línea recta Qué distancia recorrerá la embarcación desde el muelle a la isla? Considera que cada división del plano cartesiano equivale a 10km. Para comprender con más detalle el problema, conviene trazar la trayectoria de la embarcación. Si observas la figura, la trayectoria y los datos del barco forman un triángulo rectángulo, por lo que la distancia recorrida por la embarcación corresponde con la hipotenusa del triángulo, de esta forma: dis tan cia dis tan cia Por lo anterior, la embarcación recorrió ( ) aproximadamente 36 kilómetros. 1

13 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Las Funciones trigonométricas de ángulos agudos El teorema de Pitágoras que acabas de recordar, relaciona los cuadrados de las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo. En cambio, las funciones trigonométricas de ángulos son relaciones entre las longitudes de dos de los lados de un triángulo rectángulo; analiza a qué se refieren. Función trigonométrica Seno Coseno Abreviació n sen cos Definición Cateto Opuesto senα Hipotenusa H Cateto Adyacente A cos α Hipotenusa H Tangente tan Cateto Opuesto tanα Cateto Adyacente O A Cotangente cot Cateto Adyacente cotα Cateto Opuesto Secante Cosecante sec csc Hipotenusa H secα Cateto Adyacente A Hipotenusa H cscα Cateto Opuesto Tabla. Funciones trigonométricas Por ejemplo, en la tabla se muestra que la función seno es el cociente de la longitud del cateto opuesto y la hipotenusa. 13

14 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Una diferencia importante de este triángulo con el triángulo utilizado para el teorema de Pitágoras, es la forma de nombrar a los catetos. Para el caso de las funciones trigonométricas, es importante definir qué cateto es el opuesto al ángulo que se toma de referencia y qué cateto se encuentra a un lado (adyacente) del ángulo de referencia. El siguiente ejemplo muestra cómo se utilizan las funciones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos. Ejemplos: 1. Para el triángulo rectángulo mostrado, determina el valor de las seis funciones trigonométricas para el ángulo alfa ( α ). Es importante que antes de empezar a determinar las funciones trigonométricas, identifiques qué cateto es el opuesto y qué cateto es el adyacente al ángulo de referencia, en este caso el ángulo alfa. En la siguiente tabla se muestra el mismo triángulo en donde se identifican los lados del triángulo y las funciones trigonométricas solicitadas. sen α H cos α H tan α cot α sec H α csc H α

15 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Observa cómo las funciones seno y cosecante son recíprocas, es decir, si multiplicas ambas, el resultado es 1. También es cierto que: 1 0 sen α csc α sen α csc Lo mismo sucede con el coseno y la secante. La última pareja la forman la tangente y la cotangente. Lo anterior implica que si se conocen las tres primeras funciones trigonométricas, las siguientes tres se pueden determinar a partir de éstas. Regresando al triángulo analizado cuáles serán las funciones trigonométricas para el ángulo beta ( ) β? α. Para el triángulo rectángulo mostrado, determina el valor de las seis funciones trigonométricas para el ángulo beta ( β ). Recuerda, lo primero es identificar los catetos opuesto y adyacente para el nuevo ángulo de referencia. En la siguiente tabla se muestra el mismo triángulo en donde se identifican los lados del triángulo y las funciones trigonométricas solicitadas. 15

16 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 sen β H cos β H tan β 1 1 cot β 3 3 sec H β csc H β En los ejemplos anteriores sólo se ha calculado un lado desconocido del triángulo, a partir del conocimiento de los otros dos lados. En los siguientes ejemplos, además de determinar la longitud de los lados del triángulo, también entran al juego los ángulos del triángulo. Para algunos cálculos, será necesario que tengas a la mano una calculadora que incluya las funciones trigonométricas. 3. Para el siguiente triángulo rectángulo, determina los ángulos agudos del triángulo y la hipotenusa. 16

17 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Usando el teorema de Pitágoras es posible calcular la hipotenusa del triángulo, esto es: H H H Ahora que ya conoces los tres lados del triángulo, usa las funciones trigonométricas para determinar los ángulos. Inicia con el ángulo alfa (α ). Si aplicas la función tangente, tienes: Ahora tendrás que utilizar la calculadora. + tan α 4 Para el manejo de ángulos, la calculadora tiene modos específicos. En este caso, es necesario que te asegures que se encuentre en el modo grados. En la plataforma, dentro de herramientas de trabajo, cuentas con una calculadora científica que puedes usar. Para calcular el valor del ángulo alfa (α ), introduce el valor 4 y pulsa la función atan (arco tangente), esta función te devuelve el valor del ángulo si introduces el valor de su tangente. 17

18 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Por lo que el valor del ángulo alfa es: α Observa que sólo se consideraron dos cifras decimales. Dependiendo del problema en cuestión, puede ser necesario considerar más decimales para conseguir mayor exactitud. Para determinar el ángulo beta ( β ) puedes utilizar nuevamente la tangente, pero es más sencillo si consideras que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 10, de acuerdo con Ramírez y Sienra (003, p. 19). Lo anterior implica que si α , entonces el valor de β es: α + β β β

19 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Usando la calculadora cómo se calculan las funciones trigonométricas como cotangente, secante y cosecante? Por ejemplo, si lo que se pide es encontrar el valor de sec 60, utilizas su función trigonométrica recíproca, es decir: 1 sec60 cos60 En la calculadora: 4. Para el triángulo mostrado en la siguiente figura, determina los datos faltantes. 19

20 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Los datos que faltan son el ángulo β (señalado en la figura), la hipotenusa y uno de los catetos del triángulo (señalado con x en la figura). Al contar sólo con uno de los lados del triángulo, no es posible utilizar de inicio el Teorema de Pitágoras. Aplica una función trigonométrica cuál sugieres?, observa. Si usas la función seno, tienes: sen 0 H Pero en este caso se desconoce el cateto opuesto al ángulo 0 y la hipotenusa, por lo tanto, no es posible usar esta función trigonométrica. Si usas la función coseno, tienes: 6 cos 0 H H De esta última relación, la única incógnita es la hipotenusa; despejando, queda: 6 H 6.35 cos0 Aplicando el teorema de Pitágoras, tienes: x x x H Este valor puede variar dependiendo de los decimales que consideres en la calculadora. Ya sólo falta determinar el ángulo beta ( β ), tienes: β En este ejemplo, debido a que la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo deben sumar 90 para que se cumpla que la suma de los ángulos interiores es 10, sólo se consideró que α + β 90. Estás de acuerdo con los resultados? Es conveniente que todos los cálculos los verifiques, de esta forma, aparte de practicar, tendrás la certeza de los mismos. 0

21 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Las funciones trigonométricas de ángulos especiales Para algunos ángulos especiales como 30, 45 o 60, se acostumbra determinar el valor de sus funciones trigonométricas, a partir de triángulos especiales. Para el caso de un ángulo de 60 (y de 30 dado que son complementarios) se construye un triángulo equilátero cuyos lados tienen una longitud de, luego se divide a la mitad y se analiza el triángulo rectángulo generado, como observas a continuación: Del triángulo rectángulo anterior, también es posible encontrar las funciones trigonométricas para un ángulo de 30. Para calcular las funciones trigonométricas de un ángulo de 45 grados, se construye un cuadrado de lado igual a 1, se divide a la mitad por la diagonal, y a partir del triángulo rectángulo generado, se calculan las funciones trigonométricas. 1

22 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Aplicaciones en los que aparecen triángulos rectángulos En algunos de los problemas que se analizan en los siguientes ejemplos, se utilizan los conceptos: ángulo de elevación y ángulo de depresión. Sullivan (199, p. 140) menciona que si el objeto que se observa se encuentra arriba de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal, se conoce como ángulo de elevación. De la misma forma, si el objeto se encuentra por debajo de la horizontal, el ángulo entre la línea de visión y la horizontal, se conoce como ángulo de depresión. Analiza la siguiente figura en donde el ángulo de elevación se ha señalado en rojo y el ángulo de depresión en azul. Ejemplo: En una sala de reuniones de una organización se va a instalar un proyector. Las especificaciones del fabricante recomiendan que la distancia desde el soporte al centro de la pantalla sea de 3.5 metros a qué distancia del muro se debe colocar el soporte del proyector?, cuál es el ángulo de depresión?

23 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 En la figura se observa que la distancia del muro a la que se debe colocar el soporte del proyector corresponde con un cateto del triángulo rectángulo, por lo que: d 3 1 d.m Aplicando la función seno para determinar el ángulo de depresión, queda: 1 φ asen Las funciones trigonométricas para cualquier ángulo Algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas involucran ángulos que no son agudos, por ello, es necesario extender la definición de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier valor. Considera las siguientes figuras: 3

24 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 En estas cuatro figuras se observan distintos valores del ángulo φ (medidos desde el lado positivo del eje x ), definidos por la posición del punto P ( x, y) en cada uno de los cuatro cuadrantes del plano cartesiano. Así, si φ es agudo, se encuentra en el primer cuadrante (I). De esta figura se observa que: y sen φ H r cos x φ H r tan y φ x csc sec cot H φ r y H r φ x x φ y En donde r x + y. En este cuadrante, los valores de x y y son positivos, sin embargo, si se consideran ángulos en los cuadrantes II, III, y IV, los valores de x y y pueden ser positivos o negativos. Por ello, para determinar las funciones trigonométricas de ángulos en cualquiera de estos tres cuadrantes, se deben considerar los signos de forma adecuada. Si analizas para el cuadrante II, obtienes: y sen φ r cos x φ r tan y φ x csc sec cot φ r y r φ x x φ y Ejemplo : 1. Determina las funciones trigonométricas para el ángulo φ cuando el punto (, ) terminal del ángulo. A partir de la siguiente figura, es posible lograr las seis funciones trigonométricas obtenidas. P es el punto 4

25 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 sen φ csc φ cos φ sec φ tan φ 1 cot φ 1 Las funciones se han colocado adecuadamente con sus recíprocas: seno cosecante; cosenosecante; tangente cotangente. Ahora que se han determinado las funciones trigonométricas del ángulo φ, cuál es su valor? Para determinar su valor, puedes utilizar cualquiera de las funciones trigonométricas; si aplicas la tangente y escribes en la calculadora -1, y se pulsa la tecla atan, obtienes el valor -45. Es decir, φ 45. La calculadora proporciona el valor del ángulo negativo, es decir, un ángulo medido en el sentido de las manecillas del reloj. Para encontrar el ángulo positivo, en este caso se resta este valor a 360, esto es: que es el valor del ángulo buscado. La siguiente figura muestra la equivalencia de estos ángulos. 5

26 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01. Determina las funciones trigonométricas para el ángulo φ, cuando el punto ( 3,) terminal del ángulo. P es el punto El ángulo φ se encuentra en el segundo cuadrante, por lo que su valor se encuentra entre 90 y 10. sen φ 13 3 cos φ 13 tan φ 3 csc sec cot φ φ 3 3 φ Para determinar el valor de φ, puedes utilizar cualquiera de las funciones trigonométricas; si aplicas la tangente y escribes en la calculadora -/3, y pulsas la tecla atan, obtienes el valor Al igual que en el ejemplo anterior, la calculadora proporciona el valor del ángulo negativo. En la siguiente figura se muestra que para determinar el ángulo positivo, es necesario restar el valor encontrado a 10. En este caso, para encontrar el valor del ángulo positivo, es necesario restar que es el valor del ángulo buscado. 6

27 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 En los ejemplos anteriores has encontrado el valor de las funciones trigonométricas a partir de un punto que determina un ángulo. También es posible determinar las funciones trigonométricas cuando se conoce una de ellas. Encuentra las funciones trigonométricas y el valor del ángulo φ, si su coseno es: cos! 3 4 x 3 cos φ Si consideras que el coseno es r 4, entonces x 3 y r 4. Con estos valores encuentras el valor de y despejándola de la relación r x + y, tienes: r r y y x x r r + y + y x x y Ahora puedes encontrar el resto de las funciones trigonométricas, y obtienes: sen φ 7 4 tanφ 7 3 cotφ secφ 3 cscφ 4 7 Al utilizar la función acos en la calculadora, se obtiene que φ Sin embargo, este no es el único ángulo cuyo coseno es ¾ por qué? El ángulo φ se encuentra en el primer cuadrante, pero un ángulo en el tercer cuadrante también cumple con la restricción de que su coseno sea positivo. 7

28 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 De la figura se observa que 4 cos φ 3, por lo que φ también es igual a φ φ 31.6 Esto se puede comprobar calculando el coseno de los dos ángulos directamente en la calculadora, en ambos casos se obtendrá 3/4, (o 0.75) Una forma de recordar el signo de las funciones trigonométricas, en concordancia con el cuadrante del plano cartesiano, es considerando la siguiente frase Tosen Tacos, que proviene de las primeras letras de las funciones que son positivas en cada cuadrante. En el primer cuadrante, todas las funciones son positivas. En el segundo cuadrante, el seno y su función recíproca, la cosecante, son positivas; el resto son negativas. En el tercer cuadrante, las únicas positivas son la tangente y la cotangente. En el cuarto cuadrante, sólo el coseno y la secante son positivos. Entonces, para un valor de las funciones trigonométricas existe más de un ángulo? Así es, además, si se consideran ángulos mayores a 360 encontrarás más ángulos que también cumplan con un mismo valor para una función trigonométrica. En las siguientes lecturas se retoma y se ahonda en este tema.

29 MB0003 _MAA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 01 Referencias Ramírez Galarza, I.; Sienra Loera, G. (003). Invitación a las geometrías no euclideanas. [Versión electrónica]. Recuperado el 3 de febrero de 010 del sitio Google libros: A1ngulo+la+suma+de+sus+%C3%A1ngulos+internos+es&lr&cd#vonepage&q&ffalse Silva, J. M.; Lazo, (1997). Fundamentos de matemáticas: álgebra, trigonometría, geometría analítica y cálculo. [Versión electrónica]. Recuperado el 1 de febrero de 010 del sitio Google libros: tos+de+matem%c3%a1ticas&lr&cd1#vonepage&q&ffalse Stewart, J.; Redlin, L. (007). Precálculo, matemáticas para el cálculo. [Versión electrónica] Recuperado el 3 de febrero de 010 del sitio Google libros: +y+depresion&cd#vonepage&q&ffalse Sullivan, J.; Hernández Garciadiego, (006). Álgebra y trigonometría. [Versión electrónica]. Recuperado el 16 de febrero de 010 del sitio Google libros: YnoUhxOoC&printsecfrontcover&sourcegbs_v_summary_r&cad0#vonepage&q&ffal se Sullivan, M. (199). Trigonometría y geometría analítica. [Versión electrónica]. Recuperado el 3 de febrero de 010 del sitio Google libros: summary_r&cad0#vonepage&q&ffalse Swokowski, E. W. & Cole, J. (00). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (H. Villagómez. Trad; 10a. ed). México: Thomson Learning. 9