Elementos geométricos

Transcripción

1 Elementos geométricos Por Sandra Elvia Pérez Márquez Conceptos básicos De acuerdo con Fuenlabrada (2007, p. 3): La geometría es la ciencia que estudia las propiedades de las formas o figuras. A la geometría también se le conoce como geometría plana o geometría euclidiana, esta última denominada así en honor a Euclides, un matemático y geómetra griego que desarrolló las bases de la geometría plana. Esta disciplina utiliza conceptos generados gracias a la observación, actividad que permite generar, posteriormente, un razonamiento lógico. Una proposición lógica es una expresión que puede ser falsa o verdadera, pero no ambas. Ligadas a éstas existen las proposiciones matemáticas, las cuales se pueden dividir en: a. Axioma: es una proposición evidente que no requiere demostración b. Postulado: es una proposición cuya verdad se admite sin demostraciones, aunque no sea tan evidente como el axioma. c. Definición: es una proposición la cual requiere de una descripción d. Teorema: es una proposición que requiere de una demostración. e. Corolario: es una proposición que es consecuencia de otra y su demostración requiere de algún tipo de razonamiento. A continuación te presento algunos elementos básicos de la geometría como son: el punto, la recta y el plano; los cuales se pueden relacionar unos con otros para establecer algunos postulados. 1

2 Figura 1. Punto. Figura 2. Línea Recta. Figura 3. Plano. Indica un lugar de referencia. Generalmente se denominan con una letra mayúscula. No tiene límites, es decir no tiene un inicio o un fin. Para indicar que no tiene fin generalmente se le pone una flecha. Tabla 1. Punto, recta y plano. Postulados que relacionan al punto, la línea y el plano 1. Toda recta tiene por lo menos dos puntos distintos. Figura 4. Postulado que relaciona al punto, la línea y el plano Dos puntos distintos en el espacio tienen una recta que los contiene. Figura 5. Postulado que relaciona al punto, la línea y el plano Todo plano contiene por lo menos tres puntos distintos que no están sobre la misma línea. 4. Tres puntos distintos que no están en la misma línea están contenidos en un plano. Figura 6. Postulado que relaciona al punto, la línea y el plano Ningún plano contiene todos los puntos del espacio. Figura 7. Postulado que relaciona al punto, la línea y el plano 4. 2

3 Estos postulados permiten establecer relaciones entre el punto, la recta, el plano y el espacio, para posteriormente desarrollar nuevos conceptos. Ángulos Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas llamados lados, los cuales tienen un punto en común llamado vértice. Formas diferentes de denominar un ángulo Con las tres letras mayúsculas que se colocan en los lados y el vértice. Ángulo AOB Con una letra entre los dos lados que forman el ángulo. Ángulo A Con una letra mayúscula colocada en el vértice del ángulo. Ángulo A Figura 8. Denominar un ángulo 1. Figura 9. Denominar un ángulo 2. Tabla 2. Formas diferentes de denominar un ángulo. Figura 10. Denominar un ángulo 3. La medida de un ángulo es la abertura que existe entre los dos lados que lo forman; las medidas se dan principalmente en dos sistemas: a. Sistema sexagesimal Se basa en la división de una circunferencia en 360 partes iguales llamadas grados. Cada grado está dividido en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Se puede expresar como sigue: 360 grados 1 grado = 60 minutos = 3600 segundos 1 minuto = 60 segundos = 60 = = 60 Tabla 3. Sistema sexagesimal. 3

4 b. Sistema cíclico Se basa en la división de la circunferencia en varias partes denominadas radianes. El ángulo de un radián se obtiene cuando la abertura es igual al radio de la circunferencia. La longitud del arco AB es la distancia que existe entre el punto A y el punto B. Figura 11. Sistema cíclico. El radio 0A es la distancia que hay del centro de la circunferencia al punto A. Como AB = OA, la razón (división) entre AB y OA será un radián Tomando como base esta definición se puede establecer la siguiente fórmula que relaciona la longitud de arco con el radio. La relación que existe entre los grados sexagesimales y los radianes es la siguiente: o Con esta relación y una regla de tres simple se pueden convertir los radianes a grados o los grados a radianes. 4

5 A continuación te presento algunos ejemplos. Ejemplo 1 Convertir 60 a radianes Para resolver esta conversión puedes utilizar cualquiera de las dos relaciones. Utiliza, por ejemplo, 180 =π radianes Aplicando la regla de tres simple, escribe la equivalencia en el primer renglón, y en el segundo el dato conocido, debajo de la unidad que le corresponde, y una x en el dato que se quiere conocer. 180 π radianes 60 x Recuerda que para hacer la operación, se multiplica en cruz y se divide entre el dato que sobra: 180º π radianes 60º x Así, la operación será: (60 )( π ) π x = = radianes = radianes Por lo tanto, 60 = radianes Clasificación de ángulos Existen varias clasificaciones de los ángulos. A continuación te muestro algunas. a. Por el sentido Positivos: cuando el lado final gira en sentido contrario del reloj. Negativos: cuando el lado final gira en sentido del reloj. Figura 12. Ángulos positivos. Figura 13. Ángulos negativos. Tabla 3. Clasificación de ángulos por el sentido. 5

6 b. Por la medida de sus ángulos Ángulo agudo La abertura de los lados está entre 0 y 90. Ángulo recto Figura 14. Ángulo agudo. La abertura de los lados es 90 (se escribe un cuadro entre los lados). Ángulo obtuso Figura 15. Ángulo recto. La abertura de los lados es mayor a 90 y menor a 180. Ángulo colineal o llano Figura 16. Ángulo obtuso. La abertura de los lados es de 180. Ángulo entrante Figura 17. Ángulo colineal o llano. La abertura de los lados es mayor a 180 y menor a 360. Ángulo perígono Figura 18. Ángulo entrante. La abertura de los lados es de 360. Figura 19. Ángulo perígono. Tabla 4. Clasificación de ángulos por su medida. 6

7 c. Por la suma de sus ángulos Ángulos complementarios Son dos ángulos contiguos (uno junto al otro), los cuales suman 90. A + B = 90 Ángulos suplementarios Son dos ángulos contiguos (uno junto al otro), los cuales al suman 180. A + B = 180 Ángulos conjugados Son dos ángulos contiguos (uno junto al otro), los cuales al suman 360. A + B = 360 Figura 20. Ángulos complementarios. Figura 21. Ángulos suplementarios. Figura 22. Ángulos conjugados. Tabla 5. Clasificación de ángulos por su suma. d. Por la posición que ocupan en dos rectas paralelas y lo atraviesa una recta transversal inclinada Figura 23. Ángulos por posición. 7

8 Ángulos alternos internos c = f Figura 24. Ángulos alternos internos 1. d = e Figura 25. Ángulos alternos internos 2. Ángulos alternos externos a = h Figura 26. Ángulos alternos externos 1. b = g Figura 27. Ángulos alternos externos 2. Ángulos alternos internos c = f Figura 28. Ángulos alternos internos 3. d = e Figura 29. Ángulos alternos internos 4. 8

9 Ángulos opuestos por el vértice c = b Figura 30. Ángulos opuestos por el vértice 1. a = d Figura 31. Ángulos opuestos por el vértice 2. g = f Figura 32. Ángulos opuestos por el vértice 3. Ángulos correspondientes e = h Figura 33. Ángulos opuestos por el vértice 4. a = e Figura 34. Ángulos correspondientes 1. d = h Figura 35. Ángulos correspondientes 2. b = f Figura 36. Ángulos correspondientes 3. c = g Figura 37. Ángulos correspondientes 4. 9

10 Ángulos colaterales internos c + e= 180º Figura 38. Ángulos colaterales internos 1. d + f =180º Figura 39. Ángulos colaterales internos 2. Ángulos colaterales externos a + g = 180º Figura 40. Ángulos colaterales externos 1. b + h = 180º Figura 41. Ángulos colaterales externos 2. Ángulos adyacentes a + b = 180º e + f = 180º Figura 42. Ángulos adyacentes 1. c + d = 180º g + h = 180º Figura 43. Ángulos adyacentes 2.

11 b + d = 180º f + h = 180º Figura 44. Ángulos adyacentes 3. c + a = 180º g + e = 180º Figura 45. Ángulos adyacentes 4. Tabla 6. Clasificación de ángulos por su posición. Ahora es tiempo de que revises algunos ejemplos de problemas o situaciones que se pueden presentar y resolver mediante la aplicación de la geometría plana. Toma en cuenta que para resolver estos problemas se recomienda: Leer el problema con detenimiento para saber qué se pide en él. Identi6icar el concepto o 6igura geométrica con la que tiene relación. Distinguir qué fórmula o postulado aplicar. Veri6icar el resultado e interpretar la solución. Realizar las operaciones sin cometer errores en los cálculos. Figura 46. Recomendaciones para resolver problemas.

12 Problemas de ángulos Ayudando a Laura Laura es arquitecto y se encuentra diseñando el proyecto de una casa que le solicitaron unos clientes. Parte de los dibujos que ha desarrollado, se muestran en la figura 47. Ella midió el ángulo A y encontró que es igual a 35º, pero desconoce cuál es el valor de los ángulos B y C. Puedes ayudarle calculando los ángulos B y C? Figura 47. Problema ayudando a Laura. Solución Comienza por asignar las variables D y E a los ángulos internos del triángulo que se forma en el dibujo para poder identificarlos más fácilmente. Figura 48. Asignación de variables D y E. Observa que el ángulo D es recto, es decir, mide 90. Como la suma de los ángulos internos de un triángulo deben sumar 180, puedes determinar el valor del ángulo E como sigue: Si A + D + E = 180 y A = 35 y D = 90 Sustituyendo los valores de A y D, se puede despejar el valor de C E = 180 Haciendo operaciones: E = 180 Despejando E: E = = 55

13 Por lo tanto, el valor de E es 55. Ahora bien, como el ángulo E y el ángulo C son opuestos por el vértice, se dice que E = C Figura 49. Los ángulos C y E son opuestos por el vértice y los ángulos C y B son suplementarios. Por lo tanto, el valor de C = 55 Si observas bien, te darás cuenta de que los ángulos 180. C y B son suplementarios, es decir, suman De esta forma C + B = 180 Sustituyendo el valor de C = B = 180 Despejando el valor de B B = = 125 Los valores de los ángulos que está buscando Laura son:

14 La tienda de Laura Además de ser arquitecto, Laura tiene una tienda de piezas de ornato en donde vende muchos artículos como jarrones, velas, macetas y portarretratos. Debido a que dicho negocio se encuentra en una zona de la ciudad donde últimamente se han presentado robos, ella acudió a una tienda de electrónica y encontró dos modelos de sensores que detectan el movimiento y emiten un sonido cuando un cliente entra al establecimiento. Laura desea que el sensor cubra el mayor ángulo posible pero se encontró con el problema de que los ángulos de los dos sensores están dados en radianes y ella está acostumbrada a utilizar los grados sexagesimales para dimensionarlos. Qué sensor debe comprar Laura si el A cubre un ángulo de 7 radianes y el B cubre un ángulo de 0.22 radianes? Ayúdala a decidir. π Solución Para que Laura pueda tomar una decisión, necesita conocer el ángulo que cubre cada sensor por lo que se requiere hacer la conversión de radianes a grados sexagesimales. Recuerda que 180 = π radianes. π Comienza con 7 radianes Aplicando la regla de tres, escribe la equivalencia en el primer renglón, y en el segundo el dato conocido debajo de la unidad que le corresponde y una x en el dato que se quiere conocer. 180 π radianes x π 7 radianes Recuerda que para hacer la operación, se multiplican en cruz los datos conocidos y se divide entre el tercer dato conocido.

15 180 π radianes x π 7 radianes Así, la operación será: π (180 ) = 7 x = π Para el ángulo de 0.22 radianes se realiza el mismo procedimiento. Para hacer la operación se multiplica en cruz y se divide el resultado entre el tercer dato conocido. 180 π radianes x 0.22 radianes Así, la operación será: ( 0.22) (180 ) x = = π Como Laura prefiere el sensor que cubra el mayor ángulo posible, es muy probable que compre el sensor A, ya que cubre radianes, lo cual equivale a

16 Karla y su fuente Karla, quien es prima de Laura, le pidió ayuda para instalar una fuente como la que se muestra en la figura 50. Si el círculo de la fuente tiene un radio de 1.8 metros y Karla desea que los escalones tengan una longitud de 90 centímetros, qué valor tiene el ángulo A? Figura 50. La fuente de Karla Solución Por definición: Un ángulo de un radian se obtiene cuando la abertura es igual al radio de la circunferencia. La longitud del arco AB (marcado en verde) es la distancia que existe entre el punto A y el punto B. Figura 51. Puntos en una circunferencia. El radio 0A es la distancia que hay del centro de la circunferencia al punto A. Como AB = OA, la razón (división) entre AB y OA será un radián.

17 Utilizando estos conocimientos previos, puedes encontrar la abertura del ángulo formado si tomas como la longitud de arco los 90 cm del escalón y el radio de 1.8 metros. Como para poder realizar cualquier operación se debe trabajar con las mismas unidades, es importante convertir los 1.8 metros a centímetros. Para ello, puedes hacer una regla de tres, considerando que 1 metro es igual a 100 centímetros. 1 m 100 cm 1.8 m x La operación será: ( 1.8m)( 100cm) x = = 180cm 1m Una vez que cambiaste los datos a las mismas unidades, realiza la operación para encontrar el ángulo. ángulo en longitud de radianes = radio arco 90cm = = cm radianes Luego los conviertes a grados sexagesimales utilizando una regla de tres simple: 180 π radianes x 0.5 radianes

18 La operación es: ( 180 )( 0.5 radianes ) x = = π radianes Por lo tanto, el ángulo A que está buscando Karla es de o. Referencia Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill. Bibliografía Clemens, S., O Daffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría. (Addison- Wesley Iberoamericana, Manuel López Mateos, Trad.). México: Pearson. Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría (Hugo Villagómez, Trad., 3ª. ed.). México: Thomson. Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y trigonometría (Hugo Villagómez y Jorge Humberto Romo, Trads., 3ª. ed.). México: Thomson.