Según la figura los rayos OA y OB determinan un ángulo simbolizado AOB

Transcripción

1 UNIDAD : TRIGONOMETRÍA El termino Trigonometría procede del griego y significa medida de triángulos. Por lo tanto se considera la trigonometría como la rama de la matemática que estudia los elementos de los triángulos. Sin embargo la trigonometría posee otras importantes aplicaciones que no se refieren únicamente a los triángulos.. CONCEPTOS BASICOS.. Rayo Sea L una recta. Sean A y B dos puntos en L tal como se aprecia en la figura: Sea A. El conjunto AB x y x, y, : 0 0 L x x0 recibe el nombre de rayo y el punto A recibe el nombre de origen o punto inicial del rayo... Circulo Se denomina círculo con centro en O y radio r 0, al conjunto de puntos en el plano cuya distancia a O es r, tal como se aprecia en la figura:.. Angulo plano Se denomina ángulo plano a la unión de dos rayos con un mismo origen. Los rayos que forman un ángulo se llaman lados del ángulo y el origen de los rayos recibe el nombre de vértice del ángulo. Según la figura los rayos OA y OB determinan un ángulo simbolizado AOB W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 8

2 .. Angulo central Al ángulo AOB se denomina ángulo central de un círculo si su vértice es el centro del círculo, tal como se aprecia en la figura:.. Arco subtendido Consideremos un circulo C con centro en O y radio r, sea AOB un ángulo central de C, tal que A y B están sobre C. Se llama arco subtendido por el ángulo AOB al conjunto de puntos de C que están entre A y B, tal como se aprecia en la figura: arco subtendido Es recomendable designar a uno de los lados de un ángulo como el lado inicial del ángulo y al otro como lado final. Los ángulos que tienen su vértice en el origen del plano cartesiano y el rayo positivo del eje X como lado inicial, se dice que están en posición normal, como por ejemplo: W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 8

3 ..6 Rotación positiva y rotación negativa Un ángulo puede construirse por dos rayos con un origen común, uno de ellos fijo (lado inicial) y el otro rayo móvil (lado final) que rota alrededor de su origen. Si la rotación se ha realizado en el tido contrario a las manecillas del reloj, se dice que el ángulo tiene tido positivo, en caso contrario, se dice que el ángulo tiene tido negativo, tal como se aprecia en la figura: Ángulo. MEDIDA DE ÁNGULOS ABC con tido positivo. Ángulo ABC con tido negativo. Para medir ángulos existen dos sistemas de medición, cuyas unidades son el grado y el radian... Medida de ángulos en grados Se dice que la medida del ángulo central AOB de un círculo (con tido positivo) es un grado ( ) si subtiende un ángulo cuya medida es 60 de la circunferencia. Para indicar que el ángulo AOB mide un ángulo se usa la notación m AOB... Medida de ángulos en radianes Se dice que la medida del ángulo central igual a la longitud del arco AB. Ejemplo No. 76 Consideremos el ángulo central AOB del círculo de radio con centro en el origen y cuya medida es m AOB, tal como se muestra la figura. Tenemos que: m AOB 8 8 longitud radianes del AOB del círculo de radio con centro en el origen, en radianes es arco AB O B A W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 8

4 Si un ángulo ha sido construido por rotación positiva, entonces se le asigna una medida positiva y si ha sido construido por rotación negativa, entonces se le asigna una medida negativa... Conversión de grados a radianes y viceversa La medida R en radianes de un ángulo que mide G grados es: La medida G en grados de un ángulo que mide R radianes es: Ejemplo No radianes 0 radianes 80 Actividad No.. Exprese en radianes los siguientes ángulos medidos en grados: a. 0 c. b. 6 d. 0. Exprese en grados los siguientes ángulos medidos en radianes: a. c. 0 b. d.. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO Sea x y G R 80 G 80R P, un punto sobre el círculo trigonométrico y sea la medida del ángulo formado por la parte positiva del eje X y el rayo OP, tal como se muestra en la figura: P x, y W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 8

5 Se definen las funciones trigonométricas o y eno de la siguiente manera: o : Es decir: eno : Es decir: R R y y o R R x x eno Asumiremos la siguiente simbología y x.. Propiedades de las funciones o y eno... Imagen Como el punto x y o y eno, según lo anterior: P, pertenece al círculo trigonométrico, se tiene que las coordenadas x y y de P satisfacen las siguientes desigualdades: y x Es decir: Por lo tanto la imagen o rango de las funciones o y eno es I,... Signo de las funciones o y eno 0... Valores de las funciones o y eno para ángulos cuadrantales W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 86

6 ... Periodicidad de las funciones o y eno. Sea x y P, un punto en el círculo trigonométrico. Sea a medida del ángulo, cuyo lado inicial es el lado positivo del eje X y cuyo lado final es el rayo OP. Si se hace rotar el rayo OP una vuelta completa o n vueltas completas, entonces el rayo OP en su posición final corta al círculo trigonométrico en el mismo punto P x, y, por lo cual los valores de las funciones o y eno se repiten. Por lo tanto: En general: n n Por tal motivo se dice que las funciones o y eno son funciones periódicas y su periodo es.. Sea x y P, un punto del círculo trigonométrico y sea 0 la medida del ángulo formado por la parte positiva del eje X y el rayo OP, entonces:. Sea x y P, un punto del círculo trigonométrico y sea la medida del ángulo formado por la parte positiva del eje X y el rayo OP, entonces las coordenadas de P satisfacen la igualdad x y. Como x y y, entonces:.. Las funciones o y eno como razones trigonométricas. Un ángulo, cuya medida es 0, recibe el nombre de ángulo agudo.. Un ángulo, cuya medida es, recibe el nombre de ángulo obtuso.. La suma de las mediadas de los ángulos interiores de un triángulo es.. Un triángulo en el cual uno de sus ángulos internos es un ángulo recto recibe el nombre de triangulo rectángulo y se repreta: A m ABC B C W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 87

7 . Sea L una recta y sean A y B puntos sobre L, se denomina segmento de extremos A y B al conjunto de todos los puntos de L que están entre A y B incluyéndolos. Tal segmento se denota AB y se repreta: 6. Sea el triángulo ABC tal que m ABC, entonces: AB y BC reciben el nombre de catetos del triángulo ABC. AC recibe el nombre de hipotenusa del triángulo ABC. 7. Si el triángulo ABC es un triángulo rectángulo y es la medida de uno de sus ángulos interiores agudos, tal como se muestra en la figura, entonces: A a c B longitud del cateto opuesto al ángulo longitud de la hipotenusa longitud del cateto adyacente al ángulo longitud de la hipotenusa Considere el triángulo rectángulo de la figura A b Ejemplo No. 78 C cateto opuesto hipotenusa a c cateto adyacente hipotenusa b c a c B Determine Solución: b y Según el teorema de Pitágoras c a b 6 9. Luego: cateto opuesto hipotenusa a c C y cateto adyacente b hipotenusa c W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 88

8 .. Valores de las funciones o y eno para ángulos cuya medida es 0, y 60 De particular importancia son los valores de las funciones o y eno para ángulos cuya medida sean 0, y 60, dado que estas funciones para un ángulo agudo pueden expresarse como razones entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, tal como se aprecia en la figura: 0 Por lo tanto: Repretación gráfica de las funciones trigonométricas o y eno... Repretación gráfica de la función o Para construir la gráfica de la función o, tengamos en cuenta que : R, valores: x 0 6 y x 0 La gráfica de la función o en el intervalo 0, es: o y la siguiente tabla de Dado que la función o es una función periódica de periodo 0, se repite cada, obteniéndose:, la gráfica de la función o en el intervalo W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 89

9 ... Repretación gráfica de la función eno Para construir la gráfica de la función eno, tengamos en cuenta que : R, de valores: eno y la siguiente tabla 7 x y x 0 0 La gráfica de la función eno en el intervalo 0, es: 6 Dado que la función eno es una función periódica de periodo 0, se repite cada, obteniéndose:, la gráfica de la función eno en el intervalo Actividad No.. Dados los siguientes ángulos, represéntelos en un círculo trigonométrico y determine y. W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 90

10 a. c. b. d. 6. Considere el triangulo ABC tal que m ABC, con AB, AC 6 y m BAC. Determine y.. Considere las siguientes figura: Determine: a. d. b. y e. y c. 60 y 60. Reprete gráficamente la función f. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE Recordemos que: k 0 k 0 para todo k Z para todo k Z Sean A R : k, k Z y B R : k, k Z. Se define la función trigonométrica tangente de la siguiente manera: tangente : R A R Es decir: tangente Asumiremos la siguiente simbología tan tangente. Por lo tanto: tan W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 9

11 . Se define la función trigonométrica cotangente de la siguiente manera: cotangente : Es decir: R B R cotangente Asumiremos la siguiente simbología cot W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 9 cot cotangente. Por lo tanto:. Se define la función trigonométrica secante de la siguiente manera: secante : Es decir: secante R A R Asumiremos la siguiente simbología sec sec secante. Por lo tanto:. Se define la función trigonométrica ecante de la siguiente manera: ecante : Es decir: ecante R B R Asumiremos la siguiente simbología csc Ejemplo No. 79 Determine: a. tan c. sec b. cot d. csc Solución: csc ecante. Por lo tanto:

12 a. tan b. cot c. sec d. csc.. Periodicidad de las funciones tangente y cotangente Sean R y k Z, entonces: tan cot k tan k cot, con 0, con 0 Es decir las funciones trigonométricas tangente y cotangente son periódicas con periodo.. Periodicidad de las funciones secante y ecante Sean R y k Z, entonces: sec csc k sec k csc, con 0, con 0 Es decir las funciones trigonométricas secante y ecante son periódicas con periodo.. Signo de las funciones tangente, cotangente, secante y ecante tan cot sec csc 0.. Las funciones tangente, cotangente, secante y ecante como razones trigonométricas Consideremos el triángulo ABC tal que m ABC y sea la medida de uno de sus ángulos interiores agudos, tal como se muestra en la figura: W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 9

13 A a c B De esta manera: b tan C longituddel catetoopuestoalángulo longituddela hipotenusa longituddel cateto adyacentealángulo longituddela hipotenusa longitud del cateto opuesto al ángulo longitud del cateto adyacente al ángulo cateto opuesto cateto adyacente a b cot sec csc longituddel cateto adyacentealángulo longituddela hipotenusa longituddel catetoopuestoalángulo longituddela hipotenusa longituddel cateto adyacentealángulo longituddela hipotenusa longituddel catetoopuestoalángulo longituddela hipotenusa longitud del cateto adyacente al ángulo longitud del cateto opuesto al ángulo cateto adyacente cateto opuesto b a longitud de la hipotenusa longitud del cateto adyacente al ángulo hipotenusa cateto adyacente longitud de la hipotenusa longitud del cateto opuesto al ángulo hipotenusa cateto opuesto c a c b Ejemplo No. 80 Si 7 y 0, determine, tan, cot, sec y csc. Solución: a 7 W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 9

14 Sea a la medida del cateto opuesto al ángulo, por lo tanto según el teorema de Pitágoras: a 7 9 De esta manera: tan cot sec csc Actividad No.. Determine: a. tan 6 c. sec π b. cot d. csc. Si y 0, determine: a. d. sec b. tan e. csc c. cot. Determine el valor de A, si A. Determine el valor de A, si A. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 9 Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones. Sean R y R, entonces: Sean R y R, entonces: Sean R y R, entonces: Sea R, entonces: a a 9 a a a 6

15 Sea R, entonces: en Sean R y R, entonces: tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan Sea R, entonces: tan tan tan Sea R, entonces: tan Ejemplo No. 8 Determine: a. tan b. 0 Solución: tan tan0 tantan0 a. tan tan 0 b W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 96

16 Actividad No. 6 Pruebe las siguientes identidades: a. cot cot b. sec c. Autoevaluación No. d. tan e. csc cot f. tan cot csc Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.. es igual a: A. C. B. D.. es igual a: A. C. B. D.. 9 es igual a: A. 00 C. 700 B. 0 D. 80. Si tan, entonces: A. C. B. D.. Según el triángulo de la figura: A. tan 7 C. tan 7 B. tan D. tan W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 97

17 6. es igual a: A. tan C. B. D Si es un ángulo agudo tal que, entonces: A. C. B. D. 8. Si es un ángulo agudo tal que, entonces: A. tan C. tan B. tan D. tan 9. Un topógrafo está a pies de la base del monumento a Washinton. El topógrafo mide el ángulo de elevación a lo alto del monumento y obtiene 78.. La altura del monumento a Washinton es? A. pies C. 66 pies B. 6 pies D. 00 pies 0. Sea, un punto en el lado terminal de, entonces: A. tan C. tan B. tan D. tan. Si tan y 0, entonces: A. sec C. sec B. sec D. sec. Sea un ángulo en el segundo cuadrante, tal que, entonces: A. C. B. D.. Sea un ángulo en el segundo cuadrante, tal que, entonces: A. C. B. D.. Un reglamento de seguridad expresa que el máximo ángulo de elevación para una escalera de rescate es 7. La escalera más larga de un departamento de bomberos es 0 pies. La altura máxima segura de un rescate es? A. 0.6 pies C pies B. 0.6 pies D. 0. pies W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - E c u a c i o n e s e i n e c u a c i o n e s Página 98