MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA

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1 MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA CURSO 4 TRIGONOMETRIA Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO CARTA DIDÁCTICA SABADO : 5/JUNIO/011 Objetivos específicos: 1. Determinar la igualdad de las cofunciones de ángulos agudos complementarios.. Deducir otras identidades aplicando las identidades trigonométricas fundamentales. 3. Encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas de = 45, = 30 y = Elaborar estrategias específicas de resolución de problemas que involucran propiedades de las funciones trigonométricas. Metodología: ver carta didáctica del sábado 18 de junio. Actividades: 1.1 (8:00-8:15) Establecer el teorema de ángulos complementarios. Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto. Por tanto, para un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios. Llamemos a estos ángulos α y β, tal como se muestra en la figura siguiente, con a, b y c los lados del triángulo.

2 Observe que el lado a es opuesto al ángulo α y adyacente al ángulo β. De manera similar, el lado b es opuesto al ángulo β y adyacente al ángulo α. Por tanto, se obtienen las identidades siguientes: sen β = b c = cos α, cos β = a c = sen α, tanβ = b a = cotα cscβ = c b = secα, secβ = c a = cscα, cotβ = a b = tanα Debido a estas relaciones, las funciones seno y coseno, tangente y cotangente, secante y cosecante reciben el nombre de cofunciones una de la otra. En resumen, las identidades anteriores expresan que las cofunciones de ángulos complementarios son iguales. De otra manera, si θ es un ángulo agudo medido en grados o radianes, su complementario respectivo es 90 θ o θ. Así, Entonces, se tienen las siguientes identidades θ en Grados sen θ = cos (90 θ) cos θ = sen (90 θ) θ en Radianes sen θ = cos ( θ) cos θ = sen ( θ)

3 tan θ = cot (90 θ) csc θ = sec (90 θ) sec θ = csc (90 θ) cot θ = tan (90 θ) tan θ = cot ( θ) csc θ = sec ( θ) sec θ = csc ( θ) cot θ = tan ( θ) Más adelante se verá que estos resultados son válidos para cualquier ángulo θ. 1. (8:15-8:45) Ejercicios Encuentre el valor exacto de las expresiones siguientes: a) sen 38 - cos 5, b) cos 35 sen 55 + cos 55 sen 35, c) sec 35 csc 55 - tan 35 cot 55, d) 1 cos 0 cos 70 y e) 1 + tan 5 csc 85. Dado tanθ = 4, encuentre el valor exacto de: a) sec θ, b) cotθ, c) cot ( θ), d) csc θ, Encuentre un ángulo agudo θ que satisfaga cada una de las ecuaciones siguientes: a) senθ = cos(θ + 30 ) y b) tanθ = cot (θ + 45 ) 1.3 (8:45-9:50) Problemas (8:45-9:00) Suponga que el ángulo θ es un ángulo central de una circunferencia de radio 1, tal como se muestra en la figura siguiente.

4 Demuestre que: < OAC = θ senθ = CD y cosθ = OD tan θ = θ θ 1.3. (9:00-9:15) En la siguiente figura la circunferencia de radio a es tangente a la de radio b. El rayo OA contiene un diámetro de cada circunferencia y el rayo OB es tangente a cada circunferencia.

5 Demuestre que cosθ =. Sugerencia: Primero demuestre que senθ = (9:15-9:35) En la figura siguiente OA=1. Demuestre que (OAC) = senα cosα (OCB) = OB senβ cosβ (OCB) = OB sen(α + β) OB = α β sen(α + β) = senα cosβ + cosα senβ (9:35-9:50) Si cosα = tanβ y cosβ = tanα, donde α y β son ángulos agudos, demuestre que senα = senβ =. 1.4 (9:50-10:0) RECESO 1.5 (10:0-10:40) Encontrar los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de = 45. Considere el triángulo rectángulo siguiente, en donde uno de los ángulos es de = 45.

6 Se deduce que el otro ángulo agudo también es = 45 y, por tanto, el triángulo es isósceles. Y como los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo solo dependen del ángulo y no del tamaño del triángulo, podemos tomar el triángulo tal que a = b = 1. Entonces, por el Teorema de Pitágoras, se obtiene c = a + b = =, es decir, c =. Como resultado se obtiene el triángulo siguiente: De aquí se obtiene: sen π 4 = sen45 = b c = 1 = y cos π 4 = cos45 = a c = 1 = Si se utilizan las identidades fundamentales, se tiene

7 tan π sen45 = tan45 = 4 cos45 = = 1, cot π 4 = cot45 = 1 tan45 = 1 1 = 1, sec π 4 = sec45 = 1 cos45 =, csc π 4 = csc45 = 1 sen45 = 1.6 (10:40-11:00) Encontrar los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de = 30 y = 60. Se toma un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos es de = 30. Entonces el otro ángulo agudo es = 60. Podemos tomar la hipotenusa de longitud c=. El problema es determinar a y b. Para ello colocamos al lado derecho de este triángulo otro triangulo congruente con él, tal como se muestra en la figura siguiente Observe que ahora se tiene un triángulo equilátero y, por tanto, a=1. Por el Teorema de Pitágoras, b = 3. Como resultado se obtiene el triángulo siguiente

8 sen π 6 = sen30 = a c = 1 y cos π 6 = cos30 = b c = 3 tan π 6 = tan30 = sen30 cos30 = 1 = 3 3 3, cot π 6 = cot30 = 1 tan30 = 3, sec π 6 = sec30 = 1 cos30 = 3 3, csc π 6 = csc30 = sen π 3 = sen60 = b c = 3 y cos π 3 = cos60 = a c = 1 tan π 3 sen60 = tan60 = cos60 = 3, cot π 3 = cot60 = 1 tan60 = 3 3, sec π 3 = sec60 = 1 cos60 =, csc π 3 = csc60 = (11:00-11:30) Deducción de identidades. En los siguientes ejercicios, transformar el primer miembro en el segundo: θ 1 = tan θ θ θ = θθ

9 θ θ = tan θ 1.8 (11:30-1:00) Examen corto No. 1 Tarea. 1. Encuentre el valor exacto de las expresiones siguientes: a) sen cos 30, b) cos 45 sen 45 + cos 30 sen 30, c) sec + csc, d) 1 cos 30 cos 60 y e) 1 + tan 30 csc 45.. Dado cscθ = 4, encuentre el valor exacto de: a) cot θ, b) tanθ, c) sec ( θ), d) sec θ, 3. En los siguientes ejercicios, transformar el primer miembro en el segundo: α α senα + cosα = α α cos α sen α = cos α 1 cos α sen α = 1 sen α α + α + α = α α α α α (tanα senα) + (1 cosα) = (1 secα) Recursos. Material del curso Carta didáctica