Universidad de Antioquia - Depto. de Matematicas

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1 Índice Álgebra y Trigonometría (CNM-108) Clase 6 Trigonometría analítica Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 008. Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU. 1. Identidades trigonométricas Introducción Ejemplos Ecuaciones trigonométricas 7.1. Introducción Ejemplos Fórmulas de suma y resta Fórmula de la resta para el coseno Fórmula de la suma para el coseno Cofunciones Fórmulas para la suma y resta del seno y la tangente Ángulos múltiples Fórmulas de ángulo doble Ejemplos Fórmulas de ángulos medios Ejemplos Fórmulas de ángulos medios (continuación) Ejemplos Fórmulas de ángulos medios (final)

2 5. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto Fórmulas de producto a suma Ejemplos Otras fórmulas Fórmulas de suma a producto Ejemplos Funciones inversas Relaciones entre una función f y su inversa f Definición de la función seno inversa Ejemplos Gráfica de la función seno inversa Ejemplo Definición de la función coseno inversa Ejemplos Gráfica de la función coseno inversa Ejemplo Definición de la función tangente inversa Gráfica de la función tangente inversa Ejemplo

3 1. Identidades trigonométricas 1.1. Introducción Definición 1.1 (Identidad trigonométrica). Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas invlucradas). Ejemplo de una identidad trigonométrica: La igualdad (1) se cumple para todo x R. La siguiente NO es una identidad trigonométrica: cos x + sen x 1 (1) tan x 1 () La igualdad () no es válida para todo x en el dominio de la función: tan Para demostrar (verificar) una identidad trigonométrica p? q: Transformamos uno de los lados de la igualdad (cualquiera de los dos) en el otro, en general se comienza con el más complejo p q p q Se transforman (de manera reversible) ambos lados de la igualdad en una misma expresión Identidades fundamentales: p? q.. r r 3 p q

4 tan x senx cosx cotx cosx senx 1.. Ejemplos Ejemplo 1.1. Verifique la identidad sec x 1 cosx csc x 1 senx sen x+cos x 1 1+tan x sec x 1+cot x csc x csc θ senθ cotθ cosθ (3) Empezamos desarrollando el lado izquierdo de la identidad: cscθ sen θ 1 senθ sen θ 1 sen θ senθ cos θ senθ cosθ cosθ sen θ cosθ senθ cosθ cotθ cosθ Ejemplo 1.. Verifique la identidad ( sen α secα + csc α cos α + cosα ) (cosα + sen α) (4) senα Empezamos desarrollando el lado derecho (más complejo): 4

5 ( sen α cosα + cosα ) (cosα + sen α) senα Ejemplo 1.3. Verifique la identidad ( ) sen α + cos α (cos α + sen α) cosα senα ( ) 1 (cos α + senα) cosαsenα cosα cosαsen α + senα sen α cosα 1 senα + 1 cosα cscα + sec α sen t csct + cott (5) 1 cost Empezamos desarrollando el lado izquierdo de la identidad: sen t 1 cost Ejemplo 1.4. Verifique la identidad sen t 1 cost 1 + cost 1 + cost sen t (1 + cost) 1 cos t sen t (1 + cost) sen t 1 + cost sent 1 sen t + cost csct + cott sen t (sect + tant) 1 + sent 1 sent 5 (6)

6 Desarrollando el lado izquierdo: (sec t + tant) sec t + sec ttan t + tan t!!! 1 1 sen t + + sen t cos t cos t cos t cos t Desarrollando el lado derecho: 1 + sen t 1 sen t 1 cos t + sen t cos t + sen t cos t 1 + sen t 1 sen t 1 + sen t 1 + sen t 1 + sent + sen t 1 sen t! 1 + sen t + sen t cos t 1 + sen t + sen t cos t Ejemplo 1.5. Exprese a x en términos de una función trigonométrica de θ sin radicales, sustituyendo x a cosθ, 0 < θ < y a > 0. (7) a x p a (a cos θ) x a cos θ a a cos θ p a (1 cos θ) factorizamos a sen θ sen θ + cos θ 1 p (a senθ) a sen θ a sen θ c c a sen θ por (7) 6

7 . Ecuaciones trigonométricas.1. Introducción Definición.1 (Ecuación trigonométrica). Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida sólo para determinados valores desconocidos de los ángulos. Ejemplo de una ecuación trigonométrica: sen x 1 (8) La igualdad (8) no es una identidad, sólo se cumple para 3.. Ejemplos x ±, ±3, ±5,... Ejemplo.1. Halle las soluciones de la ecuación cosθ 1 si 1. θ [0, ). θ es cualquier número real. 1. θ [0, ) 7 3 θ R 3 θ R 3

8 cosθ 1 θ R θ 3 3 θ θ R θ cos(θ + ) cosθ 3 + n θ n Ejemplo.. Halle las soluciones de la ecuación tan α 1 α R cosα 1 α R 4 y θ R 4 x α 4 + n Ejemplo.3. Halle las soluciones de la ecuación sen x 0 si 1. x es cualquier número real y exprese a θ en grados y radianes. x [0, ) y x [0, 360 ) 8

9 1. x R sen }{{} x θ 0 sen θ 0 hacemos θ x θ n x n θ x x n Las soluciones en grados y radianes respectivamente están dadas por x 90 n y x n con n 0, ±1, ±,... (9). Para las soluciones en x [0, ) y x [0, 360 ) consideraremos (9) para varios valores de n n x 90 n x n 1 90 ( 1) 90 ( 1) 0 90 (0) 0 (0) (1) 90 (1) 90 () 45 () 3 90 (3) 70 (3) (4) 360 (4) 5 90 (5) 450 (5) 5 Las soluciones en grados y radianes respectivamente están dadas por 0, 90, 45, 70 y 0, Ejemplo.4. Halle las soluciones de la ecuación sen x + 4 senx sen x + 4 senx + 3 0,, 3 (sen x + 1)(sen x + 3) 0 factorizamos 9

10 Luego sen x ó senx senx 1 ó senx 3 x 3 + n ó x? Las ecuación senx 3 no tiene solución. La solución está dada por x 3 + n con n 0, ±1, ±,... Ejemplo.5. Resuelva para 0 x 360 Luego cosx + sen x 1 cosx + sen x 1 cosx + (1 cos x) 1 identidad trig. cosx + cos x 1 cos x + cosx cos x cosx 1 0 ( cosx + 1)(cosx 1) 0 factorizamos cosx ó cosx 1 0 cosx 1 ó cosx 1 x 10, 40 ó x 0, 360 Ejemplo.6. Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, ) de la ecuación tan xsen x sen x tan xsen x tan xsen x sen x 0 sen x sen x(tan x 1) 0 factorizamos senx(tan x 1)(tanx + 1) 0 factorizamos 10

11 Luego sen x 0 ó tanx 1 0 ó tanx x 0, ó tanx 1 ó tanx 1 x 0, ó x 4, 5 4 ó x 3 4, 7 4 Ejemplo.7. Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, ) de la ecuación sen x cosx sen x cos x tan }{{} x θ 1 dividiendo por cos x tan θ 1 hacemos θ x Como 0 x < 0 θ < 4, θ 4, 5 4, 9 4, 13 4 x 4, 5 4, 9 4, 13 4 x 8, 5 8, 9 8,

12 3. Fórmulas de suma y resta 3.1. Fórmula de la resta para el coseno Proposición 3.1. Demostración u v v u cos(u v) cosucosv + sen u senv (10) y x Q(v 1, v ) u v P(u 1, u ) u 1 cos u v 1 cos v w 1 cos(u v) u sen u v sen v w sen(u v) d(a, R) d(q,p) p (w1 1) + (w 0) p (u 1 v 1) + (u v ) A(1, 0) x y R(w 1, w ) u v w 1 w w u 1 u 1v 1 + v 1 + u u v + v (w w) w (u u 1 ) u 1v 1 + (v 1 + v) u v w 1 u 1v 1 u v w 1 u 1v 1 u v w 1 u 1v 1 + u v cos(u v) cos u cos v + sen u sen v 3.. Fórmula de la suma para el coseno Proposición 3... cos(u + v) cosucosv sen u senv (11) 1

13 Demostración cos(u + v) cos(u ( v)) cos u cos( v) + sen u sen( v) cos u cos v + sen u sen( v) coseno es par cos u cos v sen u sen v seno es impar Ejemplo 3.1. Calcule el valor exacto de cos 5 5 teniendo en cuenta que cos 5 1 cos 4 +! Cofunciones Proposición cos! u senu. tan u! cot u 3. sec cos! u csc u Demostración cos 4 cos 6 sen 4 sen 6 Sólo demostraremos algunas de las fórmulas! u cos cos u + sen cos (u) cos sen u! cos u 5. cot 6. csc ` 3 1 4! u tanu! u sec u senu (0) cos u + (1) sen u sen u!! u 13 sen u!

14 tan u! sen u! cos! cos u u sen u cot u 3.4. Fórmulas para la suma y resta del seno y la tangente Proposición sen (u ± v) sen u cosv ± cosusenv tan u ± tan v. tan (u ± v) 1 tan u tanv Demostración Sólo demostraremos algunas de las fórmulas [ ] sen(u + v) cos (u + v) [( ) ] cos u v ( ) ( ) cos u cosv + sen u sen v senu cosv + cosusenv Para la tangente tenemos 14

15 tan(u + v) sen(u + v) cos(u + v) senu cosv + cosusenv cosucosv senu senv senu cosv + cosusenv cosucosv cosucosv senu senv cosucosv senu cosu cosv cosv + cosu cosu sen v cosv cosu cosu cosv cosv sen u cosu sen v cosv tan u + tanv 1 tan u tanv 15 dividimos por cosu cosv

16 4. Fórmulas para ángulos múltiples 4.1. Fórmulas de ángulo doble Proposición sen u senu cosu. cosu cos u sen u 3. cosu 1 sen u Demostración Como consecuencia de las fórmulas anteriores, 4. cosu cos u 1 5. tan u tanu 1 tan u senu sen(u + u) sen u cosu + cosusenu senu cosu cosu cos(u + u) cosucosu senu senu cos u sen u cosu cos u sen u (1 sen u) sen u 1 sen u cosu cos u sen u cos u (1 cos u) cos u 1 tanu tan(u + u) 4.. Ejemplos tan u + tanu 1 tanu tanu tanu 1 tan u Ejemplo 4.1. Si θ es un ángulo agudo tal que cosθ 3 5, determine los valores exactos de sen θ, cosθ y tan θ 0 < θ < 90 y cosθ θ 3

17 senθ senθ cosθ ( ) ( ) 3 4 cosθ cos θ sen θ tan θ sen θ cosθ 4 7 Ejemplo 4.. Exprese sen 3x en términos de sen x y cosx sen 3x sen(x + x) sen xcosx + cosxsen x sen x(cos x sen x) + cosx( sen xcosx) sen xcos x sen 3 x + senxcos x 3 senxcos x sen 3 x Si se desea expresar la respuesta sólo en términos de senx, sen 3x 3 senxcos x sen 3 x 3 senx(1 sen x) sen 3 x 3 senx 3 sen 3 x sen 3 x 3 senx 4 sen 3 x 4.3. Fórmulas de ángulos medios Proposición sen u 1 cosu. cos u 1 + cosu Demostración tan u 1 cosu 1 + cosu

18 cosu 1 sen u sen u 1 cosu sen u 1 cosu tan u 4.4. Ejemplos sen u cos u 1 cosu 1 + cosu cosu cos u 1 cos u 1 + cosu cos u 1 + cosu 1 cosu 1 + cosu Ejemplo 4.3. Exprese cos 4 x en términos de coseno con exponente 1 cos 4 x ( cos x ) ( ) 1 + cos(x) fórmula ángulo medio 1 (1 + cos4x) 4 1 ( 1 + cos4x + cos 4x ) 4 1 ( 1 + cos4x cos(4x) ) fórmula ángulo medio 4 1 ( 1 + cos4x cos8x ) cos4x cos8x 4.5. Fórmulas de ángulos medios (continuación) Proposición sen v ± 1 cosv. cos v ± 1 + cosv tan v ± 1 cosv 1 + cosv

19 Demostración sen }{{} u v/ sen v sen v sen v 4.6. Ejemplos 1 cosu ( 1 cos v ) 1 cosv 1 cosv ± cos }{{} u Ejemplo 4.4. Halle el valor exacto de cos.5 cos.5 cos cos45 ± 1 + cos / v/ cos v cos v cos v 1 + cosu ( 1 + cos v ) 1 + cosv 1 + cosv ± fórmula ángulo medio.5 está en el primer cuadrante

20 4.7. Fórmulas de ángulos medios (final) Proposición tan v sen v 1 + cosv Demostración tan v tan v sen v cos v senv 1 + cosv sen v cos v. tan v 1 cosv senv cos v cos v sen v cos v cos v sen v 1 + cosv 1 cosv 1 cosv sen v(1 cosv) 1 cos v 0 sen v 1 + cosv sen v(1 cosv) 1 cos v 1 cosv sen v

21 5. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto 5.1. Fórmulas de producto a suma Proposición sen u cosv 1 [sen(u + v) + sen(u v)]. cosusenv 1 [sen(u + v) sen(u v)] 3. cosucosv 1 [cos(u + v) + cos(u v)] 4. sen u senv 1 [cos(u v) cos(u + v)] Demostración 5.. Ejemplos sen(u + v) sen u cos v + cos u sen v + sen(u v) sen u cos v cos u sen v sen(u + v) + sen(u v) sen u cos v cos(u v) cos u cos v + sen u sen v cos(u + v) cos u cos v sen u sen v cos(u v) cos(u + v) sen u sen v Ejemplo 5.1. Exprese como una suma 1. sen 9θ cos3θ. cos6xcos( 4x) 1. Aplicando la ecuación (1) con u 9θ y v 3θ, sen 9θ cos3θ 1 [sen(9θ + 3θ) + sen(9θ 3θ)] 1 (sen1θ + sen 6θ) 1

22 . Aplicando la ecuación (3) con u 6x y v 4x, cos6xcos( 4x) 5.3. Otras fórmulas 1 [cos(6x + ( 4x)) + cos(6x ( 4x))] 1 (cosx + cos10x) La fórmula de suma a producto (1) la podemos expresar como sen(u + v) + sen(u v) senu cosv (1) }{{}}{{} Expresemos a u y v en términos de a y b u + v a a + u v b u a + b u a + b La fórmula (13) queda b u + v a u v b v sen a + sen b sen a + b cos a b 5.4. Fórmulas de suma a producto Proposición sen a + senb sen a + b. sen a senb cos a + b cos a b sen a b a b v a b (13)

23 3. cosa + cosb cos a + b 4. cosa cosb sen a + b 5.5. Ejemplos Ejemplo 5.. Verifique la identidad sen θ + sen 3θ cosθ + cos3θ cos a b sen a b senθ + sen 3θ tan θ cosθ + cos3θ sen θ + 3θ cos θ 3θ cos θ + 3θ cos θ 3θ senθ cos( θ) cosθ cos( θ) sen θ cos θ tan θ Ejemplo 5.3. Halle las soluciones de la ecuación sen 5t + 3t sen 5t + sen3t 0 5t 3t cos 0 sen 5t + sen 3t 0 sen4t cost 0 Las soluciones son t n 4 con n 0, ±1, ±,... 3 sen 4t 0 ó cost 0 4t n ó t + n t n 4 ó t (n + 1)

24 6. Funciones trigonométricas inversas 6.1. Relaciones entre una función f y su inversa f 1 A x f f 1 B yf(x) y f(x) x f 1 (y) donde x A y B Diminio de f 1 B imagen de f Imagen de f 1 A dominio de f f 1 (f(x)) x para todo x A 6.. Definición de la función seno inversa La función seno no es biunívoca f ( f 1 (x) ) x para todo x B G(f) {(x, f(x)) x A} G ( f 1) { ( x, f 1 (x) ) x B} (a, b) G(f) (b, a) G ( f 1) G(f) y G ( f 1) son simétricas respecto a la recta y x b a 3 y f (a, b) sen 7 ««5 sen sen a (b, a) b y x f 1 x

25 Restringimos el dominio de la función seno Definición 6.1. La función seno inversa, denotada por sen 1, se define como para Observaciones 3 y sen 1 (x) x sen(y) 1 x 1 y y El dominio de sen 1 es [ 1, 1] y su imagen es [, sen 1 : [ 1, 1] Notación: y sen 1 (x) y arcsenx [, ] para verificar que y sen 1 x es necesario probar que 6.3. Ejemplos 1 `1 sen? sen y x y y «1 sen 1 y sen y 1 5 ] y y y 6

26 sen 1 ` 1? sen 1 1 «y sen y 1 arcsen 3? «3 3 arcsen y sen y sen 1 1? sen 1 0? y y y y sen 1 1 y sen y 1 y y sen 1 0 y sen y 0 y y 6.4. Gráfica de la función seno inversa y 6 y 3 y y 0 (a, b) está en la gráfica de sen 1 si, y sólo si, (b, a) está en la gráfica de sen Propiedades de sen sen ( sen 1 (x) ) x, 1 x 1 sen 1 (sen(x)) x, x 6.5. Ejemplo Ejemplo 6.1. Halle el valor exacto de 6

27 1. sen(sen 1 3 ). sen 1 (sen 5 4 ) 3. sen 1 (tan 3 4 ) [ 4 /, ] 1 ( 3 1 sen sen 1 ) 3 3 ( sen 1 sen 5 ) ( ) sen ( sen 1 tan 3 ) sen 1 ( 1) Definición de la función coseno inversa La función coseno no es biunívoca cos «7 cos cos Restringimos el dominio de la función coseno

28 Definición 6.. La función coseno inversa, denotada por sen 1, se define como y cos 1 (x) x cos(y) para Observaciones 1 x 1 y 0 y El dominio de cos 1 es [ 1, 1] y su imagen es [0, ] sen 1 : [ 1, 1] Notación: y cos 1 (x) y arccos x [ 0, ] para verificar que y cos 1 x es necesario probar que 6.7. Ejemplos cosy x y 0 y cos ` 1 1? «cos 1 1 y cos y 1 cos 1 ` 1? arccos cos 1 1 «y cos y 1 arccos 3 cos 1 1? cos 1 0?? «3 3 y cos y y 0 y y 3 y 0 y y 3 y 0 y y 5 6 cos 1 1 y cos y 1 y 0 y y 0 cos 1 0 y cos y 0 y 0 y y 8

29 6.8. Gráfica de la función coseno inversa (a, b) está en la gráfica de cos 1 si, y sólo si, (b, a) está en la gráfica de cos 1 1 Propiedades de cos 1 cos ( cos 1 (x) ) x, 1 x 1 cos 1 (cos(x)) x, 0 x 6.9. Ejemplo Ejemplo 6.. Halle el valor exacto de 1. cos(cos 1 1 ). cos 1 (cos3,1415) 3. sen ( cos ( )) ( 1 cos cos 1 1 ) ,1415 cos 1 (cos3,1415) 3, ( sen (cos 1 )) 5 ( Por qué?) 3 3 9

30 6.10. Definición de la función tangente inversa La función tangente no es biunívoca tan 3 ««5 tan tan Restringimos el dominio de la función tangente 3 Definición 6.3. La función tangente inversa, denotada por tan 1, se define como y tan 1 (x) x tan(y) para Observaciones < y < y 3 x R El dominio de tan 1 es R y su imagen es (, tan 1 : R Notación: y tan 1 (x) y arctanx ) (, ) para verificar que y tan 1 x es necesario probar que tan y x y < y < 30

31 6.11. Gráfica de la función tangente inversa (a, b) está en la gráfica de tan 1 si, y sólo si, (b, a) está en la gráfica de tan Propiedades de tan 1 tan ( tan 1 x ) x, 1 1 x R tan 1 (tanx) x, < x < 6.1. Ejemplo Ejemplo 6.3. Halle el valor exacto de 1. tan(tan 1,717). arctan(tan) 3. sec ( tan ( )) ( /, ) tan(tan 1,717),717 arctan(tan) arctan0 0 ( ( )) 13 sec tan ( Por qué?)