ANGULOS. Es La abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Las semirrectas se llaman lados.

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Belén Segura Olivera
hace 6 años
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1 ANGULOS Es La abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Las semirrectas se llaman lados. UNIDADES DE MEDIDA Y CONVERSIONES Los ángulos se miden en grados sexagesimales o radianes de acuerdo al sistema. SISTEMA SEXAGESIMAL: Este sistema de medir ángulos es el que se emplea normalmente: la circunferencia se divide en 360 partes llamadas grados, el grado en 60 partes llamadas minutos y el minuto en 60 partes que reciben el nombre de segundos. 1º=60 1 = 60 A continuación se dan 3 números en sistema sexagesimal: 1). 45º 2) 21º 36 3) 137º Se establecen las siguientes condiciones de conversión a) Para convertir de una unidad mayor a una menor se multiplica por 60 ó 3600, según sea el caso. b) Para convertir de una unidad menor a una mayor se divide entre 60 ó 3600, según sea el caso.

2 EJEMPLOS. 1.- Convierte 19º a grados. Los minutos se dividen entre 60 y los segundos entre º47 23" 19º º º 19º º º º Por consiguiente 19º equivale a º 2.- Convierte 32º a minutos. Los grados se multiplican por 60 y los segundos se dividen entre º " Por consiguiente 32º equivale a convierte º a grados minutos y segundos. La parte decimal de º se multiplica por 60 para convertir a minutos º º 45 º

3 La parte decimal de los minutos se multiplica por 60 para obtener los segundos 45 º º " 45 º " Por consiguiente º equivale a 45º EJERCICIOS. Convierte los siguientes ángulos a grados º º º º º º Convierte los siguientes ángulos a su equivalente en grados, minutos y segundos º º º º º º SISTEMA CICLICO O CIRCULAR Este sistema utiliza como unidad fundamental al radián. El radián es el ángulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio del círculo. Se llama valor natural o circular de un ángulo. Un radian (1 rad) equivale a 57.29º y π rad. Equivalen a 180º CONVERSION DE GRADOS A RADIANES Y DE RADIANES A GRADOS Sea S un ángulo en sistema sexagesimal y R en el sistema cíclico, (radianes) entonces para convertir Grados a radianes Se multiplica el numero de grados por el factor y se simplifica, esto es Radianes a grados Se multiplica el número de radianes por el factor y se simplifica, esto es ( ) s ( )

4 EJEMPLO. 1. Convierte 150º a radianes Se multiplica 150 por el factor 150º = 150º ( ) = Por consiguiente, 150º es equivalente a 2. Convierte a grados rad. Se multiplica por el factor ( ) y se simplifica al máximo, obteniendo: ( ) ( ) Finalmente rad equivalen a 315º 3.- Convierte 12º a radianes. Se convierte a grados el ángulo 12º = 12+ ( ) ( ) 12º º º = 12.26º La conversión a grados se multiplica por el factor ( ) y se simplifica a su mínima expresión: ( ) Por lo tanto 12º equivale a 4.- Expresa un ángulo que mide 3 rad. En grados, minutos y segundos

5 Para convertir de radianes a grados se multiplica por el factor , π se le da el valor de ( ) La parte decimal se convierte en minutos = 171+ (.8873)(60 )= 171º El nuevo decimal se convierte en segundos, entonces: º= 171º 53 + (.238)(60 )=171º Tenemos que 3 rad es equivalente a 171º EJERCICIOS. Transforma a radianes los siguientes ángulos: º º º º º º º º 5. 72º º º º º º 0 45 Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos rad

6 rad rad 19. 7π rad rad rad CLASIFICACION DE ANGULOS DE ACUERDO CON SU MEDIDA. La magnitud de un ángulo depende de su abertura comprendida entre los lados y no de la longitud de éstos. De acuerdo con su magnitud, se clasifican en: Convexos Son los que miden mas de 0º y menos de 180º, a su vez se clasifican en: Agudo. Es aquel que mide más de 0º y menos de 90º AOB B O A Recto. Es aquel cuya magnitud es igual a 90º E CDE D C Obtuso. Es aquel que mide más de 90º y menos de 180º FGH H G F

7 Llano o de lados colineales. Es el que mide 180º IJK K J I Cóncavo o entrante Es aquel que mide más de 180º y menos de 360º LMN N M L Perigonal o de vuelta completa Es el que mide 360º P Q R Complementarios Son los pares de ángulos cuya suma es igual a un ángulo recto (90º) Suplementarios Son los pares de ángulos cuya suma es igual a dos ángulos rectos o un llano (180º) Conjugados Son los ángulos cuya suma es igual a cuatro ángulos rectos o un perigonal (360º)

8 EJEMPLOS. 1. Determina el complemento del ángulo de 38º 40 Por definición 2 ángulos son complementarios si suman 90º, entonces: 38º 40 + x = 90º pero 90º= 89º 60 Despejando o transponiendo términos para x, tenemos X= 89º 60-38º 40 X = 51º 20 Por consiguiente, el complemento de 38º 40 es 51º Determina el ángulo que es el triple de su complemento. Sea x el complemento, entonces 3x es el ángulo, al aplicar la definición de ángulos complementarios Ángulo + complemento = 90º 3x + x = 90º 4x = 90º x = x = 22.5º Por lo tanto, el ángulo es de 67.5º que es igual a 67º Encuentra el valor de los siguientes ángulos que están dentro de un ángulo llano y son suplementarios. Ángulo AOB = x - 10º (x 10º) + 3x + (2x 20º) = 180º Angulo BOC = 3x 6x 30º = 180º

9 Angulo COD = 2x 20º 6x = 210º x = 35º Entonces los ángulos: AOB = x 10º = 35º - 10º = 25º BOC = 3x = 3(35º) = 105º COD = 2x 20º = 2(35) 20º = 70º - 20º = 50º EJERCICIOS. Indica si los pares de ángulos siguientes son complementarios, suplementarios o conjugados º y 143º 6. 34º 48 y 55º º y 148º 7. 22º y 158º º y 225º 8. 10º y 80º 4. 21º y 339º º y 90º º y 228º º y 1º Determina el valor de los siguientes ángulos complementarios. 11. AOB = 2x - 20º y BOC= x - 10º 12. AOB =3x; BOC =2x y COD= x Determina el valor de los siguientes ángulos suplementarios. 13. AOB = x+15º y BOD = 4x-10º 14. AOB =3X - 10º; BOC= 2X - 5º y COD = x + 45º 15. AOB = ; BOC = y COD = 16. AOB= ; BOC = 2x + 15º; COD = y DOE =

10 Determina el valor de los siguientes ángulos conjugados. 17. AOB = 7x + 16º y BOA = 4x + 14º 18. AOB = 12x + 10º y BOA = x + 25º Los ángulos se encuentran en todo aquello que tenga intersecciones de líneas, bordes, planos, etcétera. La esquina de una cuadra, el cruce de los cables de luz, al abrir un libro, la esquina de un cuarto, la abertura formada por las manecillas de un reloj, la unión de una viga y una columna, son algunos ejemplos de ángulos, estos tienen aplicación en la aviación, la navegación y la topografía entre otros. ANGULO VERTICAL. Sirve para definir el grado de inclinación del alineamiento sobre un terreno. Si se toma como referencia la línea horizontal, al ángulo vertical se le conoce como pendiente de una línea, el cual es positivo (de elevación) o negativo (de depresión). Visual α ϴ Visual Línea horizontal α es un ángulo de elevación ϴ es un ángulo de depresión ANGULO HORIZONTAL. Lo forman dos líneas rectas situadas en un plano horizontal. El valor del ángulo horizontal se utiliza para definir la dirección de un alineamiento a partir de una línea que se toma como referencia, y por lo regular son los puntos cardinales: norte (N), sur (S), este (E), oeste (O), noreste (NE), sureste (SE), noroeste (NO) y suroeste N NO NE O E SO SE S

11 ANGULO EN POSICION STANDART Si el ángulo gira en sentido contrario a las manecillas del reloj es de signo positivo dicho ángulo Como por ejemplo el ángulo A de la ilustración. Y Lado final A X El ángulo en posición standart tiene su lado inicial sobre el eje x positivo y el lado final puede ser en cualquier parte del plano cartesiano. Lado inicial EJEMPLO. 1. Un barco sale de un puerto con dirección O40º 50 N, mientras que una segunda embarcación sale del mismo muelle con dirección E24º 30 N Qué ángulo forman las direcciones de ambos buques? Al establecer las direcciones de los dos barcos, se observa que el ángulo que forma llamémoslo ángulo A es: Por tanto el ángulo que forman mide 114º 40 A=180º - (40º º 30 ) pero 180º = 179º 60 A=180º - 65º 20 A=114 º Cuál es el ángulo agudo formado por el horario y el minutero si el reloj marca las 18:20 hrs.? En un reloj de manecillas cuando el minutero recorre una vuelta (360º), el horario solo avanza 30º, esto significa que el horario avanza la doceava parte de lo que recorre el minutero por vuelta, a partir de las 12:00 hrs, luego a las 18:20 hrs el minutero avanzó 120º y está ubicado en

12 el numero 4 mientras que el horario avanzó ( ) = 10º y está entre las 6 y las 7 horas. Por lo tanto, el ángulo agudo es de 70º EJERCICIOS. 1. Un barco sale de un puerto con dirección norte y una segunda embarcación sale del mismo muelle con dirección sureste. Determina el ángulo que forman las direcciones de los buques. 2. Dos aviones parten de una ciudad con direcciones S32ºE y E57ºN, Cuál es el ángulo que forman sus direcciones? 3. El ángulo que forman las direcciones de 2 personas es 125º. Determina los ángulos α y β si la primera persona tiene dirección OαN, la segunda EβN y α equivale a los cinco sextos de β. 4. Desde un punto P se observan dos edificios, el primero de ellos tiene una dirección N8º 39 O. Si el ángulo que forman las direcciones de estos edificios es de 144º 39, determina la dirección del segundo edificio si se encuentra en el plano oeste sur. 5. Cuál es el ángulo agudo formado por las manecillas del reloj cuando marcan las 14:15 hrs.? 6. Determina el número de grados formado por las manecillas del reloj a las 10:10 hrs.? 7. Encuentra el número de grados en el ángulo mayor formado por las manecillas del reloj a las 5 8. A qué hora entre las 12:00 y las 13:00 hrs las manecillas del reloj formarán un ángulo de 165º? 9. Cuántos radianes girará el minutero de un reloj en un día completo? 10. A qué hora entre las 3 y las 4 hrs, las manecillas del reloj formarán un ángulo de 130º?

13 SOLUCION A EJERCICIOS rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad rad 3240

14 rad rad Suplementario 2. Complementario 3. Conjugado 4. Conjugado 5. Conjugado 6. Complementario 7. Suplementario 8. Complementario 9. Conjugado 10. Suplementario 11. COB=30, BOA= AOB= 45, BOC = 30 y COD = AOB = 50, DOB = AOB = 65, BOC = 45 y COD = AOB = 30, COD = AOB = COD = 45, BOC = 55, DOE = AOB = 134, BOA = AOB = 50, BOA = α = 25, β = O63 18 S y S26 42 O :30 HRS 9. 48π rad 10. 3:40 hrs.

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