Angulo es la abertura que se produce al intersectar dos rectas (Fig.1)

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Susana Paz Miguélez
hace 7 años
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1 1.- Definición Angulo es la abertura que se produce al intersectar dos rectas (Fig.1) D o A B Fig.1 Un ángulo está formado por dos rayos que tienen un origen común. A ese punto común le llamamos vértice. Un ángulo se define a través de tres puntos. La letra central siempre determina el vértice del ángulo.(fig.2) B O A = ΑΟΒ Fig Sistemas de medida uando hablamos de distancia, podemos expresarla de las siguientes formas : 3 mts. = 300 cms. = 0,03 kms. En los tres casos nos estamos refiriendo a la misma distancia pero expresada en diferentes unidades. on los ángulos puede ocurrir lo mismo, es decir, medir un mismo ángulo a través de diferentes unidades. Los sistemas usados son el sexagesimal, el centesimal y el circular. 2.1 Sistema Sexagesimal. En este sistema se divide una circunferencia en 360 partes y cada parte es un grado sexagesimal. (Fig.3)

- Sistemas de medida uando hablamos de distancia, podemos expresarla de las siguientes formas : 3 mts. = 300 cms. = 0,03 kms.

2 Fig Subunidades del Sistema Sexagesimal ada grado consta de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. 1º = 60' 1' = 60'' 2.3 Sistema entesimal. En este sistema se divide una circunferencia en 400 partes iguales y cada parte es un grado centesimal (Fig.4). 2.4 Subunidades del Sistema entesimal Fig.4 ada grado consta de 100 minutos y cada minuto de 100 segundos. g m 1 = 100 m s 1 = Sistema ircular En este sistema se divide la circunferencia en 2 π partes iguales ( π = 3,14... ) y cada parte de ella le llamaremos radian.(fig.5)

4 Subunidades del Sistema entesimal Fig.4 ada grado consta de 100 minutos y cada minuto de 100 segundos. g m 1 = 100 m s 1 = 100 2.

3 Fig.5 Podemos establecer el siguiente cuadro comparativo entre los Sistemas : Sistema Sexagesimal Sistema entesimal Sistema ircular 360 º 400 g 2πrad 180 º 200 g πrad. 90 º 100 g π/2rad. Esto significa que si tenemos la medida de un ángulo en cualquiera de los sistemas, podemos transformarlo a cualquiera de los otros dos. A cuántos radianes equivalen 270 º? 180 º > π π = x 270 º > x 180º 270º x = 3 π rad. 2 A cuántos grados centesimales corresponden 3π/2 rad.? > π x > 3π 2 x = 300 g omúnmente se utiliza el Sistema Sexagesimal, por tanto desde ahora en adelante trabajaremos con él a menos que se advierta expresamente lo contrario.

A cuántos radianes equivalen 270 º? 180 º -------> π π = x 270 º -------> x 180º 270º x = 3 π rad. 2 A cuántos grados centesimales corresponden 3π/2 rad.

4 3.- Aritmética angular 3.1 Suma. Se deben sumar unidades correspondientes entre si: 28º 39' 43'' +32º 50' 25'' 60º 80' 68'' Deberemos ahora convertir las sub unidades ya que 80' son más que un grado y 68" son más que un minuto. Entonces, 60º 80' 68'' = 60º 60' + 20' 60" + 8 " = 61º 21' 8 " 90º + 14º 13' 12'' 104º 13' 12" 3.2 Resta : Al igual que en la suma se deben restar unidades correspondientes entre si 34º 15' 38" - 12º 13' 20'' 22º 2' 18'' 73º 17' - 52º 20' 10'' Deberemos transformar las sub unidades porque 20' no pueden ser restados a 17'.Entonces, 73º 17' = 72º 77' = 72º 76' 60'' De esta manera, la operación queda 72º 76' 60'' - 52º 20' 10'' 20º 56' 50'' 90º - 45º 30' 20'' 44º 29' 40''

más que un minuto. Entonces, 60º 80' 68'' = 60º 60' + 20' 60" + 8 " = 61º 21' 8 " 90º + 14º 13' 12'' 104º 13' 12" 3.

5 4.- lasificación de los ángulos 4.1 Angulo agudo. Es aquél que mide menos de 90º(Fig.6) Fig Angulo recto Es aquél que mide 90º.(Fig.7) 4.3 Angulo obtuso Fig.7 Es aquél que mide mas de 90º y menos de 180º.(Fig.8) Fig Angulo extendido Es aquél que mide 180º.(Fig.9) A o B Fig Angulo concavo Es aquél que mide más de 0º y menos de 180º. (Fig 10) Fig.10

7 Es aquél que mide mas de 90º y menos de 180º.(Fig.8) Fig.8 4.

6 4.6 Angulo convexo Es aquél que mide más de 180º y menos de 360º.(Fig 11) 4.7 Angulo completo Fig.11 Es aquél que mide 360º (Fig.12) 5. Ángulos suplementarios Fig.12 Dos ángulos y se dice que son suplementarios si su suma es un angulo extendido. + = 180º Entonces, el suplemento de cualquier ángulo es : 180º - (Fig.13) 180 Fig.13 uánto vale el suplemento de un ángulo de 45º? Si = 45º y se define como suplemento de ' = 180 -, entonces 180º - 45º = 135º el suplemento del ángulo es 135º 6. Ángulos complementarios Dos ángulos y se dice que son complementarios si su suma es un ángulo recto.

+ = 180º Entonces, el suplemento de cualquier ángulo es : 180º - (Fig.13) 180 Fig.13 uánto vale el suplemento de un ángulo de 45º?

7 + = 90º Entonces, el complemento de cualquier ángulo es : 90 - (Fig.14) 90 Fig.14 uánto vale el complemento de un ángulo de 30º? Si = 30º y definimos el complemento como ' = 90 -, entonces el complemento de un ángulo de 30º es 60º. 7. Ángulos adyacentes Dos ángulos y se dice que son adyacentes si tienen un lado común y el segundo lado sobre la misma recta.(fig.15) A O B Fig.15 Los angulos adyacentes son suplementarios 8. Ángulos consecutivos Dos ángulos y se dice que son consecutivos si tienen un lado en común. (Fig.16) E D A O B Fig Ángulos opuestos por el vértice Son aquellos que se forman al prolongar los rayos de un ángulo desde el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. En la figura a y b

Ángulos adyacentes Dos ángulos y se dice que son adyacentes si tienen un lado común y el segundo lado sobre la misma recta.(fig.15) A O B Fig.

8 D o son opuestos por el vértice.(fig.17) A B Fig Formación de ángulos. Al intersectar dos rectas tenemos ángulos adyacentes y ángulos opuestos por el vértice.(fig.18) γ γ Ángulos adyacentes son: con ; con γ γ con δ ; δ con Fig.18 Además, + = 180º ; + γ = 180º γ + δ = 180º ; δ + = 180º Ángulos opuestos por el vértice son: Además, con γ ; con δ = γ ; = δ 11. Ángulos entre paralelas Si intersectamos dos paralelas con una transversal tendremos :(Fig.19) L1 // L 2 y S: transversal s γ δ L1 γ δ L2 Fig.19 Ángulos correspondientes son aquéllos que están al mismo lado de la transversal y la paralela.

18) γ γ Ángulos adyacentes son: con ; con γ γ con δ ; δ con Fig.

9 con ' con ' γ con γ' δ con δ' Además, los ángulos correspondientes son iguales entre si, = ' = ' γ = γ' δ = δ' Ángulos alternos son aquéllos que se encuentran a diferentes lados de la transversal. Ahora bien, ángulos alternos internos son aquellos que se encuentran a diferentes lados de la transversal y al interior de las paralelas. γ = γ' δ = δ' γ = ' δ = ' Ángulos alternos externos son aquéllos que se encuentran a diferentes lados de la transversal pero hacia afuera de las paralelas. con δ' con γ' = δ' = δ' Una manera más simple de recordar esto es numerando los ángulos formados entre las paralelas y la transversal, de tal modo que: Ángulos impares son iguales y Ángulos pares son iguales (Fig.20) L1 // L2 S : tranversal

γ = γ' δ = δ' γ = ' δ = ' Ángulos alternos externos son aquéllos que se encuentran a diferentes lados de la transversal pero hacia afuera de las paralelas.

10 s L L2 Fig Bisectriz de un ángulo Es la semirrecta que divide el vértice de un ángulo en dos ángulos iguales.(fig.21) /2 /2 B OA = O A Fig.21. b OB D 50 OD = DOB = 65º A O B

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