Funciones de Varias Variables. Juan Manuel Rodríguez Prieto

Transcripción

1 Funciones de Varias Variables Juan Manuel Rodríguez Prieto

2 Consideremos el volumen de un cilindro circular recto El volumen del cilindro depende de: radio Altura Matemáticamente, se puede escribir como sigue: V ( r, h) 2 r h Decimos entonces que el volumen, es un función que depende de el radio y la altura

3 V ( r, h) 2 r h x 2 y y 2 4 x 6 8 1

4 V ( r, h) 2 r h A los valores que pueden tomar r y h, lo llamaremos dominio de la función. Qué valores pueden tomar r y h en la función de volumen del cilindro? A los valores que puede tomar V(r,h) los llamaremos rango de la función. Qué valores pueden tomar V?

5 Considere la siguiente función: w( x, y) y x 2 Qué valores pueden tomar x y y? Cual es el dominio de w? Debido a que la raíz cuadrada, puede tener como dominio solo valores positivos, se tiene que O que 2 y x y x 2

6 Considere la siguiente función: w( x, y) y x 2 Recordemos la gráfica de y x 2

7 Considere la siguiente función: w( x, y) y x Qué valores de la grafica satisfacen la desigualdad? 2 y x 2 el dominio es cualquier pareja de puntos que se encuentran sobre la parábola.

8 Considere la siguiente función: w( x, y) y x 2 El rango de la función w va a estar dado por:, )

9 Considere la siguiente función: w( x, y) 1 xy El dominio de la función w va a estar dado por: xy El rango de la función w va a estar dado por:,) (, )

10 Considere la siguiente función: sin(x y) w( x, y) sin( xy) El dominio de la función w va a estar dado por: todo el plano x y y El rango de la función w va a estar dado por: 1,1 -.5 y x.5 1

11 Considere la siguiente función: w( x, y) y 1 x y 2 2 y/(x 2 + y 2 + 1) y -5-5 x

12 Considere la siguiente función: w( x, y) x y 2 2 x 2 + y y x.5 1

13 Considere la siguiente función: w x y x y 2 2 (, ) sin( ) sin(x 2 + y 2 ) sin(x 2 + y 2 ) z y -1-1 x y x 2 4

14 Considere la siguiente función: w x y x y 2 2 (, ) cos( ) cos(x 2 + y 2 ) cos(x 2 + y 2 ) z y -1-1 x y x 2 4

15 Considere la siguiente función: w( x, y) sin( x)cos( y) cos(y) sin(x) y -2-2 x 2

16 Considere la siguiente función: w( x, y, z) x y z El dominio de la función w va a estar dado por: todo el espacio (cualquier valor de x y y z) El rango de la función w va a estar dado por:, )

17 Ecuación de un plano

18 Ecuación de un paraboloide

19 Paraboloide hiperbólico o silla de montar

20 Curvas de nivel

21 Curvas de nivel El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función 2 2 Trace las curvas de nivel x f ( x, y) 1 x y f ( x, y) f ( x, y) 51 f ( x, y) 75 y 2 2 Circulo de radio 1 y centro en el origen 1 x y 2 2 Circulo de radio 7 y centro en el origen 49 Las tres ecuaciones se reconocen como la ecuación de un circulo x y 2 2 Circulo de radio 5 y centro en el origen 25

22 Curvas de nivel El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función 2 2 Trace las curvas de nivel f ( x, y) 1 x y f ( x, y) f ( x, y) 51 f ( x, y) 75 SI f representa la temperatura y x y y dos puntos en el espacio, f(x,y)= representa todo el conjunto de puntos donde la temperatura es. De la misma manera f(x,y)=51, representa todos los puntos donde la temperatura es 51, sobre el circulo de radio 7 y centro en el origen la temperatura es 51.

23 Curvas de nivel El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función 2 2 f ( x, y) 1 x y Curvas de nivel altura radio

24 Curvas de nivel El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función 2 f ( r, h) r h Curvas de nivel 2.35e e e e+3 altura e radio

25 Curvas de nivel eje y eje x

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27 Curvas de nivel estatura peso

28

29 (2 x + 3 y)/(5 x - 2 y) y -5-5 x

30 (x 2 + y 2-64) 1/ z y x 1 2

31 x y y -5-5 x

32 (2 x)/(x 2 + y 2 + 3) y x 5 1

33 log(2 x + y - 1) y -5-1 x 5

34 sugeridos

35 Paraboloide elíptico

36 curvas de nivel Paraboloide elíptico

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39 Paraboloide

40 Curvas de nivel paraboloide

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45 Superficies de nivel

46 Sección z=

47

48 Sección x= Plano zy

49 Paraboloide Secciones Plano xy, z= Plano xz, y=

50 Paraboloide

51 Cilindro parabólico Sección: plano xz, y=

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