Ejercicios típicos del primer parcial

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1 Ejercicios típicos del primer parcial El primer examen parcial tiene tres ejercicios teóricos y dos prácticos. Los límites entre los dos tipos de ejercicios son difusos. A continuación se proponen ejercicios para cada uno de los temas del primer examen parcial Conjuntos de puntos Para cada uno de los siguientes conjuntos.graficar.escribir la ecuación de las fronteras si es que existen.indicar si el conjunto es abierto, cerrado o no admite esa clasificación.indicar si es simplemente conexo (diferenciar convexo y no convexo), múltiplemente conexo o disconexo.identificar un punto interior, un punto exterior y un punto frontera a) S={ (x,y) є R 2 : x + y 1 } b) S={ (x,y) є R 2 : x - y > 1 ; x > 2 } c) S={ (x,y) є R 2 : x 2 + y 2 1 ; x 0 } d) S={ (x,y) є R 2 : y x 2 0 ; y 2 } e) S={ (x,y) є R 2 : y x 2 < 0 ; y > 2 } f) S={ (x,y) є R 2 : x.y > 1 } g) S={ (x,y) є R 2 : x 2 - y 2 > 1 } h) S={ (x,y) є R 2 : sen(x) > 1/2 } Definir un conjunto plano S tal que todo punto sea frontera * Definir un conjunto plano S tal que todo punto sea un punto aislado (significa que el punto pertenece al conjunto, pero existe un entorno reducido del mismo que no contiene puntos del conjunto) Funciones reales de variable vectorial. Defina el dominio de la función f(x,y) = (x 2 + y )/(x + y 2 ) y haga un bosquejo del mismo. Trace en el mismo gráfico las curvas de nivel que pasan por los puntos (1,-1) y (1,0) Defina el dominio de la función f(x,y) = (x 2 + y) 1/2 y haga un bosquejo del mismo. Trace en el mismo gráfico las curvas de nivel que pasan por los puntos (1,0) y (1,1) Defina el dominio de la función f(x,y) = (x 2 y + 16) 1/2 y haga un bosquejo del mismo. Trace en el mismo gráfico las curvas de nivel que pasan por los puntos (3,1) y (2,-3). * Defina el dominio de la función f(x,y) = (49 9x 2 4y 2 ) 1/2 Se trata de un conjunto abierto o cerrado? Trace la curva de nivel que pasa por el punto (1,-1) Defina el dominio de la función f(x,y) = sen(x+y). Trace tres de las curvas de nivel cero Definir y graficar el dominio de la función f(x,y) = (16 x 2 y 2 ) -1/2. ln(x 2 + y 2-1). Dada la función real f(x,y) = (y x) 1/2 1. Determinar y graficar su dominio 2. Hallar y graficar las curvas de nivel para los niveles 1, 2 y 4

2 Defina el dominio de la función f(x,y) = cos(x.y). Trace dos de las curvas de nivel cero Definir y graficar el dominio de la función f(x,y) = (1 + x 2 - y) 1/2. Trazar la curva de nivel que pasa por el punto (1, 0) Derivadas parciales Dada F(x,y) = ln (x 2 + xy + y 2 ), determinar Fx (-1,4) y Fy(-1,4). Dada f(x,y) = ln ( 4x 2 + 4y 2 ), determine todas las derivadas segundas. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en (1,-2, 1) a la curva intersección de la superficie z = (26 9x 2 4y 2 ) 1/2 con el plano x = 1. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en (2,3, 5 3) a la curva intersección de la superficie 2z - 5(16 x 2 ) 1/2 = 0 con el plano y = 3. * Una masa de gas que cumple la ecuación de los gases ideales: p.v = k.t, tiene inicialmente un volumen Vo = 22.4 lt cuando su presión es po = 1 atm y su temperatura To = 273 K. La masa de gas se somete a un proceso de compresión (aumento de la presión) a temperatura constante T = To. Indicar la razón de cambio del volumen con respecto a la presión cuando se alcanza la mitad del volumen original. Se espera como respuesta un número real y sus unidades. * Dada la función f(x,y,z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) -1/2 demostrar que fxx + fyy + fzz = 0 Una masa de gas que cumple la ecuación de los gases ideales: p.v = k.t, tiene inicialmente un volumen Vo = 5.6 lt cuando su presión es po = 4 atm y su temperatura To = 273 K. La masa de gas se somete a un proceso de expansión (aumento del volumen) a temperatura constante T = To. Indicar la razón de cambio de la presión con respecto al volumen cuando se alcanza el doble del volumen original. Se espera como respuesta un número real y sus unidades. Límites y continuidad Determinar, si existe, el límite de (x 2 + y 2 )/x cuando (x,y) tiende a (0,0). Determinar, si existe, el límite de 2x 2 y/(x 4 + y 2 ) cuando (x,y) tiende a (0,0). Determinar, si existe, el límite de 2x 2 y/(x 3 + y 3 ) cuando (x,y) tiende a (0,0). * Determinar, si existe, el límite de (x 2 + y)/y cuando (x,y) tiende a (0,0). Determinar, si existe, el límite de xy/(x 2 + y 2 ) cuando (x,y) tiende a (0,0). Determinar, si existe, el límite de (x + y)/xy cuando (x,y) tiende a (0,0). Determinar, si existe, el límite de (x 2 + y 2 )/xy cuando (x,y) tiende a (0,0). Demostrar que la función partida: f(x,y) = xy 2 /(x 2 + y 4 ) si (x,y) es distinto de (0,0) f(x,y) = 0 si (x,y) = (0,0) no es continua en (0,0). Determinar, si existe, el limite de [tan(x 2 + y 2 )] /(x 2 + y 2 ) cuando (x,y) tiende a (0,0). * Demostrar que no existe límite doble o simultáneo, para (x,y) tendiendo a (0,1), de F(x,y) = (x 2 + y 2 2y + 1) / (xy x)* Describa el mayor conjunto S donde sea correcto decir que f(x,y) = ln (1 x 2 y 2 ) es continua. Justificar la respuesta.

3 Describa el mayor conjunto S donde sea correcto decir que f(x,y) = (4 x 2 y 2 ) -1/2 es continua. Justificar la respuesta. Describa el mayor conjunto S donde sea correcto decir que f(x,y) = (4 x 2 y 2 ) 1/2 es diferenciable. Justificar la respuesta. Determinar, si existe, el límite de la función f(x,y) = x/(x + y 2 ) cuando (x,y) tiende a (0,0). Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta : Si F x (0,0) = F y (0,0), entonces F(x,y) es continua en el origen. Sea una superficie definida por la siguiente función partida: z = 1 x 2 y 2 (para x 2 + y 2 1 ) z = x 2 + y 2 1 (para x 2 + y 2 1 ) a. En qué puntos es continua? b. En qué puntos es diferenciable? Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si el límite de F(x,y) = L para (x,y) (0,0), entonces el límite de F(y,y) = L cuando y 0. Diferenciabilidad Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si existen y son distintas de cero las derivadas parciales de f(x,y) en (a,b), entonces f(x,y) es diferenciable en (a,b). Si h = h(x,y), g = g (x,y) y n es un número real, demostrar que grad (h n.g) = n.g.h n-1 grad(h) + h n.grad(g). Si h = h(x,y) demostrar que grad(h n ) = n.h n-1 grad(h). Decir si la función f (x,y) = ln (x + y) es diferenciable en (1,1). Justificar la respuesta Si a y b son constantes, h : h(x,y) y g = g(x,y), demostrar que grad(ah + bg) = a.grad(h) + b.grad(g). Decidir si la función f (x,y) = (x + y) 1/2 es diferenciable en todos los puntos de su dominio natural o existen algunos puntos del dominio donde no es diferenciable. Justificar la respuesta. Derivadas direccionales y gradiente Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si f(x,y) es diferenciable en (a,b) y siendo grad(f(a,b)) = 0, existe en (a,b) una derivada distinta de cero. Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si f(x,y) es diferenciable en (a,b) y grad(f(a,b)) es distinto de cero, entonces no existe en (a,b) una derivada direccional nula. * Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: El grad(f(x,y)) es un vector perpendicular a la superficie definida por z = f(x,y). Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si f(x,y) es diferenciable, la superficie definida por z = f(x,y) tiene un plano tangente perpendicular al eje z en (a,b) sólo si grad(f(a,b)) = 0 Hay alguna dirección para la cual la razón de cambio de f(x,y) = x 2-3xy + 4y 2 en el punto (1,2) sea igual a 16? Justificar la respuesta. Hay alguna dirección para la cual la razón de cambio de f(x,y) = (x 2 + y 2 + 1) -1 en el punto (-1,1) sea igual a 1? Justificar la respuesta. La función f(x,y) es diferenciable en Po = (4,5) y f(po) = 2. Si se avanza desde Po en dirección a P1 = (5,6), la pendiente de la superficie z= f(x,y) es 2; pero si se avanza desde Po en dirección a P2 = (6,6) la pendiente de la superficie es 5. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie en Po.

4 La función f(x,y) es diferenciable en Po = (2,3) y f(po) = 3. Si se avanza desde Po en dirección a P1 = (5,5), la pendiente de la superficie z= f(x,y) es 2; pero si se avanza desde Po en dirección a P2 = (5,1) la pendiente de la superficie es -1. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie en Po. La pendiente de la superficie z = f(x,y) en el punto (a,b) en la dirección del vector u = 2i + 3j vale 2, pero en la dirección del vector v = 3i + 2j vale -2. Indicar mediante un versor una dirección de cambio nulo en (a,b). La pendiente de la superficie z = f(x,y) en el punto (a,b) en la dirección del vector u = 2i + 3j vale 2, pero en la dirección del vector v = 3i + 2j vale -2. Indicar mediante un versor la dirección de máxima pendiente de la superficie en (a,b). la derivada direccional de f(x,y) en un punto P y en la dirección del versor u = 4i/5 + 3j/5 es D u f(p) = 2, pero también en la dirección del versor v = j es D v f(p) = 2. Determinar la derivada direccional en P, en la dirección del versor w = -3i/5 + 4j/5. Cuál es el máximo valor que la derivada direccional de f(x,y,z) = xyz puede alcanzar en el punto (1,1,1)? Cuál es el máximo valor que puede alcanzar la derivada direccional de f(x,y) = sen(x + y)? Hallar el mayor valor que puede alcanzar la derivada direccional de f(x,y) = cos(x). cos(y) en (π/4, π/4). Sea una superficie definida por z = (e x x) cos(y). Encuentre un vector perpendicular, en Po = ( 2, π/4), a la curva de nivel que pasa por ese punto. Encuentre la razón de cambio de f(x,y,z) = x 3 xy 2 z en el punto (1,1,0) y en la dirección indicada por el vector u = 2i -3j + 6k La función F(x,y) es diferenciable en el punto Po = (2,3), donde F (Po) = 4. Cuando se avanza desde Po en dirección al punto (5,5) la pendiente de la superficie dada por z = F(x,y) es 2; pero cuando se avanza desde Po en dirección al punto (5,1) la pendiente es -1. a. Encontrar el gradiente de F(x,y) en Po b. Indicar la máxima pendiente de la superficie en Po c. Indicar las direcciones de pendiente nula en Po d. Dar la ecuación del plano tangente en Po e. Dar las ecuaciones paramétricas de la recta normal en Po La derivada de f(x,y,z) en el punto Po es máxima en la dirección del vector u = i + j k y vale 2 3. Determine grad(f(po)). La derivada de f(x,y,z) en el punto Po es máxima en la dirección del vector u = i + j k y vale 2 3. Cuál es la derivada en la dirección del vector v = i + j? Regla de la Cadena Dada G(x,y) = x.y.f(x,y) y suponiendo que existen las derivadas Fx, Fy, Fxx, Fyy y Fxy = Fyx, determinar Gxx, Gxy, Gyx y Gyy. * Dada H(x,y) = [F(x,y) + G(x,y)] 2, donde F(x,y) y G(x,y) son funciones diferenciables que admiten segundas derivadas, determinar H xx en términos de F, G, F x, G x, F xx, y G xx * La ecuación F(x,y) = x 2 y 2 2xy 2 + y 2 2xy + 2y + 1 = 0 define a y como función implícita de x. Determinar dy/dx el el punto (2,1) * Dada la ecuación F(x,y,z) = z 2 + xz + 2xy = 0, que define a z como función implícita de x e y, determinar: z z y x y ( 1, 1,1) (1, 1,1) Si F(x, y) es diferenciable y tal que F(x, y) > 0 en todo su dominio, entonces G(x, y) = ln (F(x,y)) es también una función diferenciable. Escribir todas las derivadas segundas de G(x, y) en función de F(x, y) y de sus derivadas, asumiendo que estas existen. *

5 En un circuito eléctrico sencillo, con una batería que provee una tensión E y una resistencia de valor R, circula una corriente I tal que E = I.R. Conforme se descarga lentamente la batería por agotamiento y aumenta la resistencia debido al calentamiento, la corriente va disminuyendo. Encontrar la velocidad con que cambia la corriente cuando I = 0.02Amp, E disminuye a razón de 0.01V/min y R = 600Ω, está aumentando a razón de 0.5Ω/min. El radio de un cilindro metálico macizo va disminuyendo y la longitud aumenta a medida que el cilindro se somete a un esfuerzo de tracción. Dado que la densidad no cambia, el volumen permanece constante. Hacer un diagrama funcional y aplicar la regla de la cadena para determinar la razón de cambio de la superficie total del cilindro respecto del tiempo cuando la longitud es de 50cm y el radio, de 1cm, está disminuyendo a razón de 0.01cm/s. Dos carreteras rectilíneas se cruzan formando un ángulo de 30º. En un instante dado el auto A está a 800m del cruce y avanza hacia el mismo con una velocidad de 25m/s. En el mismo instante el auto B está en la otra carretera, a 400m del cruce y alejándose del mismo con la misma rapidez que el auto A. Las velocidades de los vehículos no son constantes. a. Considerando el triángulo formado por el punto de cruce de las carreteras y las posiciones de los autos, indique la tasa de cambio del área de dicho triángulo en el instante considerado b. Cómo varía la distancia entre ambos autos en el instante considerado? Un objeto se lanza desde el suelo y describe una trayectoria de tiro oblicuo. En un instante dado, cuando la distancia horizontal al punto de lanzamiento es de 16 m, el objeto se encuentra a 12 m de altura sobre el suelo. En ese instante las componentes horizontal y vertical de su velocidad son 8 m/s y -4 m/s respectivamente. Encontrar la razón de cambio respecto del tiempo, en ese instante, de la distancia entre el objeto y el punto de lanzamiento. Desde un depósito cae arena en forma regular a la tierra formando un cono circular de volumen creciente. Determinar la razón de cambio del volumen respecto del tiempo cuando la altura del cono es de 20 cm y aumenta a razón de 0.5 cm/s, mientras que el diámetro de la base es de 60 cm y aumenta a razón de 1,5 cm/s. Plano tangente y aproximaciones Demuestre que la ecuación del plano tangente a la superficie cuádrica Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D en el punto (xo,yo,zo) es Axo.x + Byo.y + Czo.z = D. Demuestre que el plano tangente a la superficie f(x,y,z) = x.y z 2 = 0 en el punto (xo,yo,zo) es x/xo + y/yo - 2z/zo = 0. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie x 2 + y 2 z 2-4 = 0 en el punto (2,1,-1). Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie 4x 2 + y 2 + 4z 2-16 = 0 en el punto (1, 2 2,-1). Determinar un punto en la superficie z = 2x 2 + 3y 2 donde el plano tangente sea paralelo al plano 8x 3y z = 0 Muestre que las superficies f(x,y,z) = x 2 y - z = 0 y g(x,y,z) = x 2 /4 + z - 5/4 = 0 se cortan en (1,1,1) y que tienen en ese punto planos tangentes perpendiculares. Determinar un punto en la superficie x 2 + 2y 2 + 3z 2-12 = 0 donde el plano tangente sea perpendicular a la recta de ecuaciones x = 1 + 2t; y = 3 + 8t; z = 2 6t. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en (1,2,2) a la curva que es intersección de las superficies f(x,y,z) = 9x 2 + 4y 2 + 4z 2-41 = 0 y g(x,y,z) = 2x 2 y 2 + 3z 2-10 = 0. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en (1,1,1) a la curva que es intersección de las superficies f(x,y,z) = x - z 2 = 0 y g(x,y,z) = y z 3 = 0. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la superficie z = 4x 2 + 2y 2 en (1,-1,6).

6 Sea un cono cerrado de base circular con altura igual a 2m y radio de la base igual a 0.5m. Dar una aproximación de la variación del volumen si la altura disminuye 1cm y el radio aumenta 0.5 cm. Sea un cilindro circular recto cerrado de 4m de longitud y 1m de radio de la base. Dar una aproximación de la variación del volumen si su longitud aumenta 2cm y el radio disminuye 0.5cm. Utilice diferenciales para estimar el volumen de cobre de un tanque cilíndrico sin tapa con radio interior de 50cm y altura interior de 2m, siendo el espesor de las paredes de cobre de 2mm. Para construir una resistencia R = 100 Ohm, se conectan en paralelo dos resistencias R1 y R2. Las reglas de combinación indican que 1/R = 1/R1 + 1/R2. la resistencia R1 mide 120 Ohm y R2 mide 600 Ohm. Sin embargo existe un error de medición para cada una de ellas menor o igual, en valor absoluto, al 1% de los valores medidos. Cuál es el máximo error porcentual ( relativo) de la combinación? En un experimento se utiliza un péndulo simple para determinar el campo gravitatorio local usando la expresión que relaciona el período del péndulo con su longitud y con la gravedad: T = 2π l/g. La longitud del péndulo es de 1.6m con un error, en valor absoluto, menor o igual a 2 mm. El período es de 2,5 s medido con un error, en valor absoluto, menor o igual a 0.1 s. Determinar el máximo error que se comete al calcular el valor de la gravedad. Para determinar el valor local de la aceleración de la gravedad se deja caer un objeto desde un balcón que está a una altura h sobre el nivel del suelo y se mide el tiempo que tarda en estrellarse. La gravedad está relacionada con la altura y el tiempo a través de la expresión h = g.t 2 /2. La altura del balcón es de 16 m medida con un error menor o igual a 5 cm. El tiempo, promedio de varios ensayos, es de 1.8 s y se estima un error, en valor absoluto, menor o igual a 0.2 s. Determinar el error máximo que se comete al calcular el valor de la gravedad. Para determinar la densidad de un mineral en relación a la densidad del agua, los geólogos suelen utilizar una balanza con la cual se determina, en una primera medición, el peso P de una muestra del mineral suspendida en el aire y luego, en una segunda medición, el peso Pa del mineral sumergido en agua. La densidad relativa está dada por la expresión ρr =ρ/ρa = P/(P Pa). Para una determinada muestra han medido P = 48 g y Pa = 32g, con un error en cada medición de ±1g. Usar diferenciales para calcular los valores extremos de ρr y expresar luego el resultado numérico de la medición en la forma ρr = ρr media ± ρr Máximos y mínimos Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si F(p) es diferenciable en po y grad (F(po)) = 0, entonces F(p) tiene un valor extremo en po. Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si f(x,y) tiene un plano tangente horizontal en (a,b), entonces f(a,b) es un extremo de f(x,y). Decir si el siguiente enunciado es verdadero o falso y justificar la respuesta: La función f(x,y) = (x 2 + y 4 ) 1/3 tiene un mínimo global en el origen de coordenadas. Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si F(x,y) es una función diferenciable que se limita a un conjunto cerrado y acotado S y alcanza su valor máximo en un punto (xo,yo) que no es frontera, entonces grad(f(xo,yo)) = 0. Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si F(x,y) es una función diferenciable que se limita a un conjunto cerrado y acotado S y alcanza su valor máximo en un punto (xo,yo) que es frontera, entonces grad(f(xo,yo)) = 0. Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: Si F(x,y) es una función diferenciable que se limita a un conjunto cerrado y acotado S, entonces el tipo de extremo que corresponde a cada punto crítico en S puede determinarse analizando el signo de D = F xx.f yy F xy 2.

7 Indicar las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un valor extremo local de z = f(x,y) en un punto (x 0,y 0 ) que no es frontera y donde la función es diferenciable. Demostrar que la función z = x 4 + y 4 tiene un mínimo absoluto en (0, 0). Demostrar que f(x,y) = (x 2 + y 2 ) 1/2 tiene un mínimo global en (0, 0) Sea F(x,y) una función diferenciable en el punto Po y sea, en ese punto, grad (F) = 0. Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando las respuestas: a. F(x,y) tiene necesariamente un valor extremo en Po b. El plano tangente a F(x,y) en Po es paralelo al plano xy Determinar los máximos y mínimos relativos de la función f(x,y) = x 3 + y 3 9xy + 27 y los puntos donde ocurren. Determinar los máximos y mínimos relativos de la función f(x,y) = x 2 y 6y 2 3x 2 y los puntos donde ocurren * Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen máximo, cuya superficie total tiene un área de 24π. cm 2 Determinar la mínima distancia entre el origen de coordenadas y la superficie cilíndrica x 2 + y 3/4 = 0 Una empresa fabrica dos tipos de bienes, A y B. Los costos de fabricación responden a la ecuación C(x,y) = 3x 2 + 8y 2 + 5xy + 12 donde x es la cantidad de unidades del producto A e y es la cantidad de unidades del producto B. Un contrato obliga a la empresa a entregar un lote de 48 unidades de estos productos sin importar las cantidades relativas. Informar para qué distribuciones de productos se producen los costos extremos y los valores que alcanzan. Encontrar los máximos y mínimos globales de la función z = x 2 y 2 en la región cuya frontera es el triángulo de vértices (-1,-1), (-1,2) y (2,-1) Encontrar los máximos y mínimos globales de la función f(x,y) = (x-2) 2 + (y-2) 2 S = {(x,y): x 2 + y 2 2} en el conjunto Determinar los máximos y mínimos relativos de la función f(x,y) = x 3 + y 3 3x - 12y + 20 y los puntos donde ocurren. Determinar los máximos y mínimos relativos de la función f(x,y) = x 3 y 2 9xy + 12 y los puntos donde ocurren. Determinar los extremos globales de la función f(x,y) = x 2 + y 2 en el segmento de recta que va del punto (1,-1) al punto (3,2) Determinar los extremos globales de la función f(x,y) = y 2 - x 2 en el segmento de recta que va del punto (1,-1) al punto (3,3) Encontrar el máximo global y el mínimo global de F(x,y) = e (x2 + y2) en el recinto determinado por (x 1/2) 2 + y 2 1, indicando además los puntos de ocurrencia. Encontrar la distancia máxima y la mínima entre el punto Po = (1,1,1) y la superficie definida por x 2 + y 2 + z 2 4 = 0 Determinar la mínima distancia del origen de coordenadas al plano x + y + z = 4. Determinar los extremos globales de la función f(x,y) = x 2 y 2 + xy sobre el segmento de recta que une los puntos (a, a) y (a, -a) con a 0. Determinar el área máxima de un rectángulo, con lados paralelos a los ejes x e y, que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto sobre la parábola y = 12 x 2 en el primer cuadrante.

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