Diez ejemplos de clasificación de puntos críticos cuando el hessiano es nulo.
|
|
- Carolina Blázquez Vázquez
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Diez ejemplos de clasificación de puntos críticos cuando el hsiano nulo. 1. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 2 y 3 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 2xy 3, 3x 2 y 2), y los puntos críticos son (0, y 0 ), y 0 ; (x 0, 0), x 0. Es decir, los puntos críticos de te campo calar corrponden a cada punto de los ej coordenados x e y. H(x, y) = 24x 2 y 4, y H (x 0, 0) = H (0, y 0 ) = 0, por lo que el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter de ningún punto crítico del campo calar f. Signo de f en su dominio tangente en los puntos críticos Observemos que sobre los ej coordenados x o y, el campo calar se anula; además rulta f(x, y) 0 en los cuadrant I y II, mientras que f(x, y) 0 en los cuadrant III y IV. Por lo tanto, cada punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en un punto crítico. 2. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 3 + xy 2 = x ( x 2 + y 2) definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 3x 2 + y 2, 2xy ), y el único punto crítico de f (0, 0). H(x, y) = 12x 2 4y 2, y H(0, 0) = 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter del punto crítico del campo calar f. 1
2 Signo de f en su dominio Observemos que en los cuadrant I y IV, f(x, y) 0, mientras que en los cuadrant II y III f(x, y) 0. Luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. 3. Consideramos el campo calar f(x, y) = y 3 (x + 1) 2 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 2(1 + x), 3y 2), y el único punto crítico de f ( 1, 0). H(x, y) = 12y, y H( 1, 0) = 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter del punto crítico del campo calar f. Observemos que sobre la curva de ecuación y 3 (x + 1) 2 = 0, f(x, y) = 0, mientras que por encima de a curva f(x, y) > 0 y por debajo de la curva f(x, y) < 0. Luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. Signo de f en su dominio tangente en el punto crítico 4. Consideramos el campo calar f(x, y) = xy 4 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( y 4, 4xy 3), y los punto críticos de f son (x 0, 0), x 0. Es decir, los puntos críticos corrponden a cada punto del eje x. H(x, y) = 16y 6, y H (x 0, 0) = 0, x 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter de los puntos críticos del campo calar f. 2
3 Signo de f en su dominio tangente en los puntos críticos tangente en los puntos críticos Observemos que para x > 0 f(x, y) > 0, mientras que para x < 0 f(x, y) < 0. Luego el punto crítico (0, 0) tiene que ser un punto silla; los puntos críticos con primera coordenada positiva tienen que ser mínimos (ya que para cualquier entorno de radio arbitrario, f mantiene signo constante (positivo)); los puntos críticos con primera coordenada negativa tienen que ser máximos (ya que para cualquier entorno de radio arbitrario, f mantiene signo constante (negativo)). 5. Consideramos el campo calar f(x, y) = (x 2) 2 (y +4) 4 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 2( 2 + x), 4(4 + y) 3), y el único punto crítico de f (2, 4). H(x, y) = 24(y + 4) 2, y H (2, 4) = 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter del punto crítico del campo calar f. Signo de f en su dominio Observemos que sobre la curva de ecuación (x 2) 2 (y +4) 4 = 0, f(x, y) = 0, mientras que en la parte convexa f(x, y) > 0 y en la parte cóncava f(x, y) < 0. Luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. 6. Consideramos el campo calar f(x, y) = (y x 2 )(y 3x 2 ) definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 12x 3 8xy, 4x 2 + 2y ), y el único punto crítico de f (0, 0). H(x, y) = 8(x 2 2y), 3
4 y H (0, 0) = 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter del punto crítico del campo calar f. Signo de f en su dominio Observemos que sobre las curvas y = x 2 y y = 3x 2 f(x, y) = 0; entre las curvas f(x, y) < 0 y f(x, y) > 0 para cualquier otra región del plano. Luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. 7. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 4 +y 4 2(x y) 2 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 4( x + x 3 + y), 4(x y + y 3 ) ), y los puntos críticos de f son (0, 0), ( 2, 2 ), ( 2, 2 ). H(x, y) = 48y x 2 ( 1 + 3y 2 ). Es fácil comprobar, a través del criterio de las derivadas segundas, que sobre los puntos críticos ( 2, 2 ) y ( 2, 2 ), el campo calar f prenta un mínimo relativo. Sin embargo, sobre (0, 0) el criterio no decide porque H (0, 0) = 0. Signo de f sobre dos trayectorias Gráfica de f y de los planos Gráfica de f y de los planos tangente en los puntos críticos tangente en los puntos críticos Observemos que sobre la recta y = x, f(x, x) = 2x 4 0, mientras que sobre la recta y = x f(x, x) = 2x 4 8x 2 que para x < 1 asume valor negativos. Luego en cualquier entorno con centro en el origen existen imágen de f positivas y otras negativas; luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. 4
5 8. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 6 y 6 x 2 = x 2 ( x 4 y 6) definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 6x 5 2xy 6, 6x 2 y 5), y los puntos críticos de f son (0, y 0 ), y 0. Es decir los puntos críticos corrponden a los puntos del eje y. H(x, y) = 12x 2 y 4 (75x 4 + 7y 6 ), y H (0, y 0 ) = 0, y. Es decir, el criterio no decide sobre ningún punto crítico de f. Signo de f en su dominio Observemos que sobre la curva x 4 y 6 = 0 f(x, y) = 0, mientras que en la parte convexa f(x, y) > 0 mientras que en la parte cóncava f(x, y) < 0. Luego, sobre el punto (0, 0), el campo calar f no mantiene signo constante y por lo tanto, se trata de un punto silla. Para el rto de los puntos, f mantiene signo constante negativo y por lo tanto en cada punto crítico hay un máximo relativo. 9. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 2 (x 3y) + y 3 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 3x(x 2y), 3x 2 + 3y 2), y el único punto crítico de f (0, 0). H(x, y) = 36(x 2 xy + y 2 ), y H (0, 0) = 0. Es decir, el criterio no decide sobre ningún punto crítico de f. Observemos que sobre la recta y = x/3 f(x, y) = y 3, que rulta un valor positivo para y > 0 y negativo para y < 0. Luego, sobre el punto (0, 0), el campo calar f no mantiene signo constante y por lo tanto, se trata de un punto silla. 5
6 Gráfica de f tangente en el punto crítico 10. Consideramos el campo calar f(x, y) = e (x y)2 definido sobre R 2. Su gradiente ( ) f(x, y) = 2e (x y)2 (x y), 2e (x y)2 (x y), y los puntos críticos son de la forma (x 0, x 0 ), x 0. H(x, y) 0, y el criterio no decide sobre ningún punto crítico de f. tangente en los puntos críticos tangente en los puntos críticos Observemos que f(x, y) > 1 sobre su dominio y por lo tanto mantiene la gráfica de f se mantendrá por encima de su plano tangente sobre cualquier entorno con centro en el punto crítico (f(x, y) f (x 0, x 0 ) tiene signo constante (positivo) sobre entorno con centro en un punto crítico, para todo x 0 ); luego cada punto crítico corrponde a un mínimo relativo de f. 6
Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones
Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA. 1. Derivabilidad y monotonía. creciente para x en cierto intervalo f es < 0
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. Derivabilidad y monotonía Tenemos también el resultado: f (x) > 0 creciente para x en cierto intervalo f es Lo cual es claro, pues: Si la
Más detallesel blog de mate de aida CS II: Representación de funciones y optimización.
Pág.1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. En la figura se observa la recta tangente a una función creciente. La recta tangente es siempre creciente también para cualquier punto, por lo que su pendiente será positiva
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Dada una función f : D R R y un intervalo I D
Más detalles(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six
Más detallesEcuación de la recta tangente
Ecuación de la recta tangente Pendiente de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. Recta tangente a una curva en un punto
Más detallesCálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
Más detallesExpliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos.
Introducción: Ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivada. Veremos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica
Más detallesUna función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x
Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan
Más detallesTEMA 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
TEMA 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Monotonía: Crecimiento y decrecemento Sea f:d R R una función Definiciones: Diremos que f es creciente en x = a si existe un entorno de a para el que se cumple: f(a)
Más detallesProgramación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones
Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones Ejemplos de los problemas que se aplica la programación NO Lineal: Problema de transporte con descuentos por cantidad : El precio unitario de
Más detallesCapítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados
Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
Más detallesNo es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.
FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesDerivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página
Derivadas 6 ACTIVIDADES 1. Página 140 Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página 140 3. Página 141 4. Página 141 5. Página 142 211 Derivadas 6. Página 142 Las derivadas laterales no existen, por
Más detallesClase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange
Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange C.J. Vanegas 7 de abril de 008 1. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Estamos interesados en maximizar o minimizar una función
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA Supongamos que tenemos una función. Consideramos la recta que corta a la gráfica en los puntos A y B. Esta recta se llama secante
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesFUNDAMENTOS DE CONVEXIDAD (Parte 2)
19 de Mayo de 2016 FUNDAMENTOS DE CONVEXIDAD (Parte 2) Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Programación No Lineal José Luis Quintero 1 Puntos
Más detallesMay 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN
May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p
Más detallesEJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.
FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVAVILIDAD 1- Sea : definida por a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de
Más detalles5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales.
5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales. 5.1 Funciones reales de varias variables reales. Curvas de nivel. Continuidad. 5.1.1 Introducción al Análisis Matemático. El
Más detallesAplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente
Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto
Más detallesDERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto
Más detallesREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x
1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.
Más detallesCBC. Matemática (51) universoexacto.com 1
CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta
Más detallesTEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA 7 DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS CCSSI º Bac TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición : Se llama
Más detallesDerivadas e integrales
Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................
Más detallesCONCAVIDAD. Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Cómo la graficaríamos?
CAPÍTULO 14 CONCAVIDAD Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Intervalo Signo de f F (-00,3) + Creciente (3,8) - Decreciente (8, + ) + Creciente Cómo la graficaríamos?
Más detallesÁreas entre curvas. Ejercicios resueltos
Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio
Más detalles5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de
Hallar el dominio de las siguientes funciones: x 3 a) x +ln(x ) b) ln x + 6 x + c) x x d) ln x x + e) cos x + ln(x 5π) + 8π x Graficar la función sen(x π ). Hallar para que valores de x es 3 Hallar las
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO MATEMÁTICAS II INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. 008 MODELO OPCIÓN A. Ejercicio. [ 5 puntos] Dadas las funciones f : [0,+ ) R y g : [0, + ) R definidas por y calcula el área del
Más detallesCálculo de las raíces reales de. Ecuaciones Algebraicas y Trascendentes. con la TI Voyage 200
Fermí Vilà TI Voyage 200 1 Cálculo de las raíces reales de Ecuaciones Algebraicas y Trascendentes con la TI Voyage 200 Fermí Vilà Fermí Vilà TI Voyage 200 2 Método de las Cuerdas o Regla de las Partes
Más detallesGuía de algunas Aplicaciones de la Derivada
Guía de algunas Aplicaciones de la Derivada 1.1. Definiciones Básicas. Recordemos que : 1. Recta Tangente y Normal La ecuación de la recta tangente a la curva y = en el punto P = (x 0, y 0 ) es de la forma:
Más detallesMATE1207 Primer parcial - Tema A MATE-1207
MATE7 Primer parcial - Tema A MATE7. Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta
Más detalles1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución:
RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I Departamento de Matemáticas 1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función
Más detallesentonces las derivadas laterales existen y son iguales. y vale lo mismo. Si existen las derivadas laterales y son iguales, entonces existe f (a)
DERIVADAS. TEMA 2. BLOQUE 1 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la función y = f ( en el punto de abscisa x = a al límite f ( f ( a f ( a = lím x a x a Si existe f (a entonces
Más detallesMATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS
MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s. Si además,
Más detallesSuperficies paramétricas
SESIÓN 7 7.1 Introducción En este curso ya se han estudiando superficies S que corresponden a gráficos de funciones de dos variables con dos tipos de representaciones: Representación explícita de S, cuando
Más detallesACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto
Más detallesCalculadora ClassPad
Calculadora ClassPad Tema: Ejercicios varios sobre Análisis de funciones y optimización. Nivel: 1º y º de Bachiller Comentario: La siguiente actividad que propongo es para la evaluación de los conceptos
Más detalles1. Curvas Regulares y Simples
1. Regulares y Simples en R n. Vamos a estudiar algunas aplicaciones del calculo diferencial e integral a funciones que están definidas sobre los puntos de una curva del plano o del espacio, como por ejemplo
Más detallesLa variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.
Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen
CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar
Más detallesEXAMEN DE SEPTIEMBRE, MATEMÁTICAS I. 1. (2.5 ptos) Sean f y g funciones con derivadas primeras y segundas continuas de las que se sabe que
EXAMEN DE SEPTIEMBRE, MATEMÁTICAS I DEBE CONTESTAR ÚNICAMENTE A 4 DE LOS SIGUIENTES 5 EJERCICIOS 1. (.5 ptos) Sean f y g funciones con derivadas primeras y segundas continuas de las que se sabe que Sea
Más detalles-1 y 2 son mínimos relativos, pero sólo 2 podría ser un mínimo (absoluto). 0 es un máximo relativo, pero no es un máximo (absoluto)
Máximos y mínimos relativos Dada una funci ón f definida sobre un intervalo I, un punto aœ I es un máximo relativo de f si existe un ε > 0 tal que para cualquier x que verifique x - a < ε (es decir, x
Más detalles2 t, y t = 2 sin 2t, z t = 3e 3t. ( 2 sin 2t) + z. t = 0. = f u (2, 3)u s (1, 0) + f v (2, 3)v s (1, 0) = ( 1)( 2) + (10)(5) = 52
TALLER : Regla de la cadena, derivadas direccionales y vector gradiente Cálculo en varias variables Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín Escuela de matemáticas 1. Use la regla de la cadena
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detallesUNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO MULTIVARIABLE Primer Parcial
Primer Parcial Identifica los criterios de convergencia para determinar si una serie es convergente o no. 1,2 Representa una función mediante una serie de potencias estableciendo el intervalo de convergencia.
Más detallesGráficas de funciones
Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
Más detallesMATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS
MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s. Si además,
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3
Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA
Matemáticas º Bachillerato APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA CRECIMIENTO DECRECIMIENTO, CONCAVIDAD CONVEXIDAD Sea y = f() una función continua cuya gráfica es la de la figura. DEFINICIÓN
Más detallesFUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Ejercicios de Repaso 2 de mayo de 2011 Ejercicio Halla el dominio de las siguientes funciones. (a) 7 x 2 5 (b) 1 x 3 +1 (c) x 1 x 4 3x 2 4 (d) x3 6x 2 +4x+8 x 3 x 2 9x+9 (g) 1 3 x (j) ln(x) 1 (e) x2 4
Más detallesDerivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.
Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en
Más detallesIntegración doble Integrales dobles sobre regiones no rectangulares
Nuestra intención es extender la definición de integral doble, de funciones continuas, sobre regiones más generales que el rectángulo. Para ello definiremos dos tipos de regiones en el plano, que llamaremos
Más detallesANÁLISIS I MATEMÁTICA 1 ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009
ANÁLISIS I MATEMÁTICA ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009 Derivadas parciales de orden superior - Polinomio de Taylor - Convexidad y Extremos Derivadas de orden superior. Calcular las derivadas
Más detallesEcuación de la recta. Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca. Calculo Vectorial INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA. UNIDAD CULHUACÁN. Ecuación de la recta Calculo Vectorial Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca Antes de iniciar
Más detallesDerivada de una función en un punto. Función derivada. Diferencial de una función en un punto. dy = f (x) dx. Derivada de la función inversa
Derivada de una función en un punto Las tres expresiones son equivalentes. En definitiva, la derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor
Más detallesCONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR
INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende
Más detalles= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x
Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas
Más detallesDERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES
CAPITULO IV CALCULO II 4.1 DEFINICIÓN DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras
Más detallesColegio Vedruna. Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. MAT4º ESO opción A. Prof.: Federico Arregui. Ejemplos resueltos
CASOS ESTUDIADOS: 1. Inecuaciones con una sola incógnita. 1.1. De primer grado. 1.. De segundo grado.. Inecuaciones con dos incógnitas..1. De primer grado... De segundo grado. 3. Sistemas de inecuaciones.
Más detalles8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 309 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV Consideremos el sistema autónomo dx = F (x, y) dt (8.32) dt = G(x, y), y supongamos que tiene
Más detallesAplicaciones de la derivada 7
Aplicaciones de la derivada 7 ACTIVIDADES 1. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es 12. b) La pendiente de la recta tangente es 3. 2. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es. b)
Más detallesANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015
ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno
Más detalles1. Usando la definición correspondiente demostrar que la función. z = f(x, y) = 3x xy 2
1. Usando la definición correspondiente demostrar que la función es diferenciable en todo R 2. z = f(x, y = 3x xy 2 Se debe verificar que para todo (a, b en R 2, existen funciones, de = x y k = y, ɛ 1
Más detallesIES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas
Más detallesTEMA 0: REPASO DE FUNCIONES
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento
Más detallesLa representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Función Cuadrática A la función polinómica de segundo grado +bx+c, siendo a, b, c números reales y, se la denomina función cuadrática. Los términos de la función reciben los siguientes nombres: La representación
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesLas Funciones Trigonométricas. Sección 5.3 Funciones Trigonométricas de números reales
5 Las Funciones Trigonométricas Sección 5.3 Funciones Trigonométricas de números reales Qué hemos visto? Si el lado inicial de un ángulo,, coincide con la parte del eje de x que se encuentra en el primer
Más detallesSenos (truco): (Coseno truco = pero el cero ponerlo del 90 a la izquierda y /2.
SENOS, COSENOS Y TANGENTES (REPASO): Grados Radianes Seno Coseno Tangente 0 0 0 1 0 30 pi / 6 un medio Raíz de 3 / 2 raíz de 3 / 3 45 pi / 4 raíz de 2 / 2 Raíz de 2 / 2 1 60 pi /3 raíz de 3 / 2 Un medio
Más detallesApuntes de dibujo de curvas
Apuntes de dibujo de curvas El objetivo de estas notas es dar unas nociones básicas sobre dibujo de curvas definidas por medio de ecuaciones cartesianas explícitas o paramétricas y polares: 1. Curvas en
Más detallesRepresentación gráfica de funciones
Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica
Más detallesACLARACIONES SOBRE EL EXAMEN
1 (1 punto) Desarrolle el siguiente tema de teoría: Teorema de Taylor y aplicación. 2 (1.2 puntos) Considere los números complejos z = 1 + i y w = 3(cos( π) + i sen( π )). Calcule 3 3 a) z + w b) z 4 c)
Más detalles1. Halle el dominio de la función f(x) = ln(25 x2 ) x 2 7x + 12 ; es decir, el conjunto más grande posible donde la función está definida.
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas resueltos, 0-3 y 03-4 (segunda parte) Preparado por los profesores de la asignatura: Pablo Fernández, Dragan Vukotić (coordinadores), Luis Guijarro,
Más detallesEL PROBLEMA GENERAL DE OPTIMIZACION
EL PROBLEMA GENERAL DE OPTIMIZACION Terminología Tipos de soluciones Resultados teóricos sobre existencia y unicidad de soluciones Método gráfico de resolución Problemas de optimización Este tipo de problemas
Más detallesIntegral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)
Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb
Más detallesCAPÍTULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n.
April 15, 2009 En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n. 1. Introducción Definición 1.1. Dada una aplicación f : D R, definimos la derivada parcial segunda de f como D ij f = 2 f = ( ) x
Más detalles1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:
1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el
Más detalles1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos.
1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos. 1. Se considera el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma del cuadrado de las distancias a los puntos P 1 = (, 0) y P = (, 0)
Más detallesPRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad
PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?
Más detallesÓPTICA GEOMÉTRICA 1. Conceptos básicos. 2. Espejos planos. 3. Espejos esféricos. 4. Dioptrios. 5. Lentes delgadas. 6. La visión.
ÓPTICA GEOMÉTRICA 1. Conceptos básicos. 2. Espejos planos. 3. Espejos esféricos. 4. Dioptrios. 5. Lentes delgadas. 6. La visión. Física 2º bachillerato Óptica geométrica 1 ÓPTICA GEOMÉTRICA La óptica geométrica
Más detalles1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:
1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =
Más detalles10. Óptica geométrica (I)
10. Óptica geométrica (I) Elementos de óptica geométrica Centro de curvatura: centro de la superficie esférica a la que pertenece el dioptrio esférico Radio de curvatura: radio de la superficie esférica
Más detallesy = f(x). Dominio de definición de una función f. Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) existe. Lo representamos por Dom(f).
4. DERIVADAS Funciones y límites Funciones Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto
Más detallesUNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES En la Sección anterior se abordó contenidos relacionados con las funciones y gráficas, continuamos aprendiendo más sobre funciones; en la presente unidad abordaremos
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detallesCálculo Integral Enero 2015
Cálculo Integral Enero 015 Laboratorio # 1 Antiderivadas I.- Halle las siguientes integrales indefinidas. 10) ) 6) 1 1 1 1 16) 1 8) 9) 18) II.- Calcule 1.. 1 Cálculo Integral Enero 015 Laboratorio # Aplicaciones
Más detalles1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3
Más detallesDiferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática III Guía Nº3 Primer Semestre 015 Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones Problemas Propuestos 1. Sea f : R R
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
Más detallesFormulas Matemáticas
B A C a TRIGONOMETRÍA Radian Grados sen a cos a tag a 0 2π 0 0 1 0 π/6 30º 1 / 2 3 / 2 3 / 3 π/4 45º 2 / 2 2 / 2 1 π/3 60º 3 / 2 1 / 2 3 π/2 90º 1 0 π 180º 0-1 0 3π/2 270º -1 0 sen a = B / C cos a = A
Más detallesRESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5
RESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5 LIMITES Definición. Sea :, lim,,, Significa que cuando, esta cerca de, entonces, esta cerca de L. De otra forma se dice que, pertenece a una bola centrada en, por otro lado,
Más detalles