MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS
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- Carlos Ayala Olivares
- hace 7 años
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1 MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS
2 Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s. Si además, f(c) f(x) para toda x en en el domino de f, entonces c es un máximo absoluto.
3 Extremos relativos f tiene un mínimo relativo en el valor c si hay un intervalo (r, s) que contiene c, en el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s. Si además, f(c) f(x) para toda x en en el domino de f, entonces c es un mínimo absoluto. Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
4 Ejemplo: Para f(x)=3x 4-4x 3 con dominio (-1, ) y cuya grafica se muestra, determine: máximo relativo ninguno minimo absoluto ninguno
5 Identificar puntos extremos relativos Si f es continua en su dominio y diferenciable en cada punto de su dominio, entonces sus extremos relativos ocurren en los puntos críticos: a) valores de x en el dominio con f'(x) = 0. Para determinar puntos críticos, haga que f'(x) = 0 y despeje para x. b) valores de x en el dominio donde f'(x) no está definida, pero f(x) sí está definida.
6 Ejemplo: Para con dominio (-1, ), identifique los puntos críticos. Luego, clasificarlos como máximos relativos, mínimos relativos, máximos absolutos, mínimos absolutos, o ninguno. Solución: Determinar la derivada, y resolver f '(x) = 0 para x. (Ojo: Debe obtener tres soluciones.) d dx 2x2 x 4 = 4x 4x 3 4x 4x 3 = 0 4x(1 x 2 ) = 0 4x = 0 1 x 2 = 0 x = 0 (1 + x)(1 x) = 0 x = 1 x = 1
7 Ejemplo: Para f x = x 4 4x con dominio (-1, ), identifique los puntos críticos. Luego, clasificarlos como máximos relativos, mínimos relativos, máximos absolutos, mínimos absolutos, o ninguno. Solución: Determinar la derivada, y resolver f '(x) = 0 para x. (Ojo: Debe obtener tres soluciones.) 0 d dx x4 4x = 4x 3 12x 2 4x 3 12x 2 = 0 4x 2 (x 3) = 0 4x 2 = 0 x 3 = 0 x = 0 x = 3 3
8 Ejemplo: Se muestra la gráfica de f x = (x 1) 2 3 3(1 x) con dominio (0, ). Determine los valores de x donde hay puntos críticos Solución: a)determinar la derivada, y resolver f '(x) = 0 para x. f x = (x 1) 2 3 3(1 x) f x = 2 3 x ( 1) f (x) = x = 0 3 x = 3 3 x = 9 x = 3 x = x = x x = punto crítico b)determinar donde f '(x) no existe, pero f(x) sí está definida. Note que para 2 f (x) = x 1 f '(1) no existe pero f(1)=0 (sí está definido). Por lo tanto, x=1 es un punto crítico también.
9 Funciones crecientes y decrecientes Se dice que y = f(x) es una función creciente sobre un intervalo de x si f(x) crece al incrementarse x. (La gráfica sube, se izquierda a derecha.) Se dice que y = f(x) es una función decreciente sobre un intervalo de x si f(x) decrece al incrementarse x. (La gráfica baja, se izquierda a derecha.) Si f(x) es una función creciente que es diferenciable, entonces f (x) > 0. Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable, entonces f (x) < 0. Si f (x) > 0 para toda x en algún intervalo, entonces f es una función creciente sobre tal intervalo. Si f x < 0 para toda x en algún intervalo, entonces f es una función decreciente sobre tal intervalo.
10 Funciones crecientes y decrecientes Determine los valores de x para los cuales f(x) crece o decrece: f x = x 3 3x Solución: 1) determinar la derivada de x f x = 3x 2 3 f (x) = 3 x 2 1 2) determinar para cuales valores f (x) es negativo o positivo 3 x 2 1 > 0 (x 2 1) > 0 (x 1)(x + 1) > 0
11 Funciones crecientes y decrecientes Determine los valores de x para los cuales f(x) crece o decrece: f x = x 3 3x (continuación)
12 Aplicaciones Ejemplo 1: Dado la función de costo C x y la relación de demanda p = 100 x determine los intervalos en los cuales la función de ingreso es creciente. R x = xp = x 100 x = 100 x x 2 R x = 100 2x 100 2x > 0 2x x < 50 > 100 La función de ingreso es creciente cuando x < 50. = x
13 Extremos locales y la derivada Los extremos locales de una función ocurren solamente en los puntos críticos (puntos donde la derivada es cero o no existe. Pero no todos los puntos críticos corresponden a mínimos o máximos locales.
14 Condiciones para que existan extremos locales Usar la primera derivada para demostrar que f x tiene un mínimo o un máximo en c. 1) f (x) cambia de signo alrededor de c. Si f (x) cambia de negativo a positivo entonces c corresponde a un mínimo local Si f (x) cambia de positivo a negativo entonces c corresponde a un máximo local Si f (x) NO cambia cambia de signo, c no corresponde a un extremo local
15 Ejemplo Use la primera derivada para determinar si x = 1 es un mínimo local de f x = x 4 2x 2 Solución: 1) Determinar f (x). f x = 4x 3 4x 2) Resolver f x = 0 4x 3 4x = 0 4x x 2 1 = 0 4x = 0 x 2 1 = 0 x = 0 x = 1, x = -1 punto crítico 3) Determinar si hay cambio de signo en f (x) alrededor de x=1. f 0.5 = 4(0.5) 3 4(0.5) f 2 = -1.5 = 4(2) 3 4(2) = 24 Como f x, cambia de negativo a positivo alrededor de x=1, es un mínimo local
16 Condiciones para que existan extremos locales Usar la segunda derivada para demostrar que f x tiene un máximo o mínimo local 2) Si c es un punto crítico de f x y f c > 0, entonces f x tiene un mínimo en c. Si c es un punto crítico de f x y f c < 0, entonces f x tiene un máximo en c. Nota: f x es la segunda derivada de f x con respecto a x; o sea la derivada de la derivada.
17 Ejemplo Use la segunda derivada para determinar si x = -1 es un mínimo local de f x = x 4 2x 2 Solución: 1) Determinar f (x). f x = 4x 3 4x 2) Resolver f x = 0 4x 3 4x = 0 4x x 2 1 = 0 4x = 0 x 2 1 = 0 x = 0 x = 1, x = -1 punto crítico 3) Determinar f (x) f x = 12x 2 4 f 1 = 12( 1) 2 4 = 8 Como f x, es positiva, f(x) tiene un mínimo.
![Ejemplo Use la primera derivada para determinar si f x = xe 2x tiene un valor extremo en [-1,0]. Si existe, determine el valor y clasifícalo. Solución: 1) Determinar f (x).](/docs-images/54/35200937/images/18-0.png "f x = x e 2x + x(e 2x ) (2x) f x = e 2x + 2xe 2x 2) Resolver f x = 0 e 2x + 2xe 2x = 0 e 2x (1 + 2x) = 0 e 2x = 0 1 + 2x = 0 x = NO existe 2x = -1 punto crítico x = 1 2 3) Determinar si hay cambio de")
18 Ejemplo Use la primera derivada para determinar si f x = xe 2x tiene un valor extremo en [-1,0]. Si existe, determine el valor y clasifícalo. Solución: 1) Determinar f (x). f x = x e 2x + x(e 2x ) (2x) f x = e 2x + 2xe 2x 2) Resolver f x = 0 e 2x + 2xe 2x = 0 e 2x (1 + 2x) = 0 e 2x = x = 0 x = NO existe 2x = -1 punto crítico x = 1 2 3) Determinar si hay cambio de signo en f (x) alrededor de x = 1. 2 f 1 = e 2( 1) e 2 1 = e 2 2e f 0 = e 2(0) e 2 0 = 1 Como f x, cambia de negativo a positivo alrededor de x= 1, es un 2 mínimo, mínimo absoluto.
19 Concavidad f c > 0 f c < 0
20 Concavidad Punto de inflexión: punto donde la gráfica cambia de concavidad. Condiciones para que exista un punto de inflexión. c es un punto de inflexión si se cumple que: 1. f x = 0 2. f (x) cambia de signo alrededor de c.
21 Ejemplos. Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. 1. Solución: f (x) cambia de signo alrededor de 0.
22 Ejemplos. Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. 1. Solución: f (x) cambia de signo alrededor de -2.
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