Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Transcripción

1 Ecuaciones de Cauchy-Riemann Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos de la vecindad (entorno), entonces f(z) es analítica

2 Ecuaciones de Cauchy-Riemann Teorema Sea definida en un entorno de Si las derivadas parciales con respecto a r y existen Las derivadas parciales son continuas en Se satisfacen las Ecs. de C-R (versión polar). Entonces f(z) es diferenciable en y

3 Ecuaciones de Cauchy-Riemann Teorema Si f(z) es analítica en un dominio D y f '(z) es nula en ese dominio, entonces f(z) es constante en D.

4 Funciones armónicas Una función real se dice que es armónica en un dominio D, si sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en D y si en cada punto del dominio se satisface la ecuación de Laplace

5 Funciones armónicas Teorema Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio D, entonces cada una de las funciones u(x,y) y v(x,y) es una función armónica. Comentario: si conocemos u(x,y) podemos construir su función armónica conjugada v(x,y) utilizando las Ecs. de Cauchy-Riemann. De esta forma podemos encontrar la función analítica f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

6 Funciones armónicas

7 Veamos algunas funciones analíticas que se reducen al caso de funciones elementales del Cálculo cuando z=x+i0 Función exponencial Función logaritmo Exponentes complejos Funciones trigonométricas Funciones hiperbólicas Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Polinomios

8 Función exponencial Esta función es muy importante, pues, entre otras cosas, de ella se definen otras funciones. Con tenemos: De aquí que: es decir, la función es multivaluada

9 Por ejemplo: a) si y sólo si k:entero b) si y sólo si Es decir que período es una función periódica con

10 De modo que dividimos el plano complejo en diferentes bandas o regiones

11 Comentario: notemos que la función tomar el valor negativo -1: Entonces puede e Finalmente, hemos obtenido anteriormente que

12 Funciones trigonométricas Hemos visto que por lo que De aquí se define o generaliza las funciones seno y coseno a ángulos complejos como

13 con derivadas

14 Algunas propiedades si y sólo si si y sólo si

15 Similarmente se definen las funciones con derivadas

16 Función logaritmo Una motivación para introducir la función la función logaritmo proviene de la solución de la ecuación: Se define la función log z con como O bien donde Arg(z) es el arg(z) en el intervalo

17 El argumento principal salta en cuando z cruza el corte ramal (branch cut/corte ramal) en el eje real negativo De esta forma tenemos ramas univaluadas de la función log z

18 Se dice que la rama de una función multivaluada f es una función univaluada y analítica F en cierto dominio, tal que en ese dominio F(z) es uno de los valores de f(z). Por ejemplo: con y se le conoce como la rama principal. El corte ramal es una curva o recta que delimita una rama

19 Se define el valor principal de la función log z como Fuera del eje real negativo, la función Log z es analítica y se tiene que

20 Comentario: Notemos que Pero

21 En ocasiones es conveniente definir otras ramas de la función log z como

22 Superficie de Riemann Hojas de Riemann Re(log z) Im(log z)

23 Comentario: La función Arg z es armónica, excepto en el corte ramal La función ln z es armónica, excepto en el origen Entonces tenemos dos funciones armónicas que satisfacen la ec. de Laplace

24 Ejemplos en problemas físicos: Capacitor coaxial infinito Dos planos infinitos formando cierto ángulo en un extremo (cuña) Es conveniente utilizar coordenadas polares

25 O bien,

26 Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Estas funciones también se pueden escribir en términos de la función logaritmo.

27 Seno inverso Sea w el inverso de la función seno, i.e, con De aquí se puede encontrar que Recuerde que la raíz es una función bivaluada. Además, como log(z) es multivaluada también lo es.

28 Similarmente tenemos: Coseno inverso Tangente inversa

29 Además, tienen como derivadas

30 Las funciones hiperbólicas se definen como:

31 Funciones hiperbólicas inversas:

32 Potencias complejas o exponentes complejos Haciendo uso de la función logaritmo podemos definir potencias complejas. Si y la función Para un número complejo, se define por medio de la relación: ( ( la relación anterior es cierta ) y ) sabemos que

33 Se puede definir el valor principal (V.P.) de la función como V.P.

34 Superficie de Riemann Raíz cuadrada Raíz cuadrada Belt

35 Aplicación: Circuito RLC (a) (b)

36 Aplicación: Circuito RLC Para el circuito (a): De la ley de Ohm con

37 Aplicación: Circuito RLC Es más conveniente/fácil utilizar un voltaje complejo Esto se puede hacer gracias a las ecuaciones lineales que relacionan al voltaje y corriente:

38 Aplicación: Circuito RLC En resumen, si la respuesta matemática a un voltaje complejo V(t) es I(t), entonces la respuesta real/física al voltaje Re[V(t)] será Re[I(t)]

39 Aplicación: Circuito RLC Para el circuito (b) en estado estacionario: con tenemos que con tenemos que De aquí se definen las impedancias (resistencias puramente imaginarias)

40 Aplicación: Circuito RLC Utilizando el resultado anterior [obtenido para (a)]: Tomando la parte real tenemos finalmente

41 Aplicación: Circuito RLC Se podría hacer uso nuevamente de las ventajas del voltaje complejo para una interpretación del resultado: Definiendo y Entonces es decir De modo que el voltaje y la corriente difieren en amplitud ( ) y están desfasados por una fase

42 Aplicación: circuito RLC Equivalentemente, un circuito está descrito por una ecuación diferencial (leyes de Kirchhoff). Por ejemplo, para un circuito RLC

43 Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial : carga Notemos que tenemos una ec. diferencial lineal La ec. diferencial se resuelve suponiendo que y Sustituyendo Q y V encontramos:

44 Aplicación: circuito RLC Por lo tanto, De aquí que la corriente I, dada por con viene dada por

45 Aplicación: circuito RLC Por lo tanto, o bien, introduciendo la impedancia Z: Finalmente, considerando la parte real

46 Integración Compleja Hemos visto que la noción de derivada vista en cálculo diferencial (variables reales) se ve modificada debido al caracter bidimensional del plano complejo, e.g., una función puede aproximarse a un límite desde un número infinito de direcciones. Este caracter bidimensional afecta también a la teoría de integración. Ahora necesitamos considerar integrales a lo largo de curvas en el plano (no únicamente sobre segmentos del eje x) Uno de los resultados principales que veremos es el teorema de Cauchy

47 Integración compleja Primero veamos el caso más simple: Integrales de funciones de una variable real. Supongamos que una función compleja w depende únicamente de una variable real t: Para este caso, las reglas del Cálculo Integral se extienden a este tipo de funciones. En particular, el teorema fundamental del cálculo.