MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Números Complejos. Departamento de Matemáticas. Introducción. Igualdad. Suma y resta.

Transcripción

1 MA3002

2 Los números complejos simbolizados por C son una generalización los números reales. Una generalización algebraica muy interesante: Toda ecuación polinomial c n z n + c n 1 z n c 1 z + c 0 = 0 con coeficientes complejos (aquí z representa la incógnita a spejar (zahl significa número en alemán), los coficientes c i representan números, posiblemente complejos, n es el grado la ecuación y c n 0) tiene todas sus raíces en los números complejos. Apesar que los números complejos se les llama imaginarios (término acuñado por Descartes en el siglo XVII) se puen utilizar con conveniencia representar situaciones muy reales en el área la Ingeniería; inclusive en el diseño y en la generación imágenes fractales.

3 Visiones s Veremos a los números complejos s dos puntos vista: Des el punto vista algebraico Des el punto vista geométrico Se suponen conocidas las propiedas los números reales

4 Visión algebraica Los números complejos se puen finir como pares ornados números reales z = (a, b). A esta notación par ornado se le conoce como la notación Cartesiana l número complejo. Los números (a, 0) se suelen intificar como los números reales. Los números (0, b) se suelen llamar como imaginarios puros. Se dice que a es la parte real z, y b es la parte imaginaria z. a = Re(z) b = Im(z)

5 entre números complejos Sean z 1 = (a 1, b 1 ) y z 2 = (a 2, b 2 ) dos números complejos. Diremos que z 1 es igual a z 2, representado como z 1 = z 2, si y sólo si a 1 = a 2 y b 1 = b 2. Ejemplo Determine los valores a y b que z 1 = (2 a + b, b 1) = z 2 = (a + 3 b + 1, a + 3 b). De la finición se requiere que 2 a + b = a + 3 b + 1 b 1 = a + 3 b alĺı que { a = 0 b = 1/2

6 Sean z 1 = (a 1, b 1 ) y z 2 = (a 2, b 2 ) dos números complejos. La suma z 1 y z 2, z 1 + z 2, es el número complejo z 1 + z 2 = (a 1 + a 2, b 2 + b 2 ) Ejemplo: Si z 1 = (3, 4) y z 2 = ( 2, 5), entonces z 1 + z 2 = (3 2, 4 + 5) = (1, 9) La resta z 2 a z 1, z 1 z 2 es el número complejo z 1 z 2 = (a 1 a 2, b 2 b 2 ) Ejemplo: Si z 1 = (3, 4) y z 2 = ( 2, 5), entonces z 1 z 2 = (3 ( 2), 4 (5)) = (5, 1)

7 Sean z 1 = (a 1, b 1 ) y z 2 = (a 2, b 2 ) dos números complejos. La mutiplicación z 1 con z 2 es el número complejo z 1 z 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + b 1 a 2 ) Ejemplo: Si z 1 = (3, 4) y z 2 = ( 2, 5), entonces z 1 z 2 = ((3)( 2) (4)(5), (3)(5) + (4)( 2)) = ( 26, 7) En particular: (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x, 0) (y, 0) = (x y, 0) (1, 0) (x, y) = (x, y) Así el sistema los números complejos es una extensión natural los números reales si pensamos que el número (x, 0) es el número real x. Don el número (1, 0) se comporta como la intidad multiplicativa.

8 Como (y, 0) (0, 1) = (0, y), entonces: (x, y) = (x, 0) + (y, 0) (0, 1) Si notamos a (0, 1) como el símbolo i y a los números la forma (a, 0) como simplemente a, entonces pomos reescribir al número complejo z = (x, y) en la forma z = (x, y) = x + y i A esta notación se le conoce como notación Binómica o Algebraica. También tendremos: i i = (0, 1) (0, 1) = (0 (1)(1), (0)(1)+(0)(1)) = ( 1, 0) = 1 De manera que el álgebra números complejos se reduce al algebra simple usando que i 2 = 1.

9 Ejemplo Clasifique los siguiente números: (a) i (b) i (c) 5 i (d) 8 (e) i (f ) π (g) 4 (h) i acuerdo a la mejor categoría don se puen colocar: 1 Número real 2 Imaginario puro 3 Número complejo

10 Ejemplo Clasifique los siguiente números: (a) i (b) i (c) 5 i (d) 8 (e) i (f ) π (g) 4 (h) i acuerdo a la mejor categoría don se puen colocar: 1 Número real (d),(f ) 2 Imaginario puro (c),(g) 3 Número complejo (a),(b),(e),(h)

11 Ejemplo Realice el producto z 1 = 2 4 i con z 2 = i usando la nueva notación: z 1 z 2 = (2 4 i) ( i) = (2)( 2) + (2)(2 i) + ( 4 i)( 2) + ( 4 i)(2 i) = i + 8 i 8 i 2 = i 8( 1) = i

12 multiplicativos Consire el número complejo z = a + b i y supongamos que se cumple que a 2 + b 2 0. Definamos el número complejo Así z 2 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i ( ) z 1 z 2 = (a + b i) a b i a 2 +b 2 a 2 +b 2 a = 2 b2 i 2 = a2 +b 2 a 2 +a 2 a 2 +a 2 a 2 +a 2 = 1 Es cir, que todo número complejo z = a + b i, diferente 0 = (0,0), posee un inverso multiplicativo.

13 Ejemplo Realice las siguientes operaciones con números complejos (4 + 3 i) + 3(2 7 i) (2 7 i) ( i) (5 3 i) 2

14 Ejemplo Realice las siguientes operaciones con números complejos (4 + 3 i) + 3(2 7 i) = (3 21) i (2 7 i) ( i) (5 3 i) 2 = (2)( 2) + (2)(3)i + ( 7)( 2)i + ( 7)(3)i 2 = 4 21i 2 + (( 7)( 2) + (2)(3))i = (14 + 6)i = i = (5) (5) ( 3 i) + ( 3) 2 (i) 2 = i + (9)( 1) = i = i

15 Propiedas l álgebra los números complejos: La suma es asociativa: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 La suma es conmutativa: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 El elemento 0 = (0, 0) = i es el neutro la suma: 0 + z 1 = z = z 1 Cada complejo tiene su inverso aditivo: Si z 1 = a + b i entonces z 1 + ( a b i) = (a + b i) + ( a b i) = (a a) + (b b) i = i = 0 La multiplicación es asociativa: z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 La multiplicación es conmutativa: z 1 z 2 = z 2 z 1 La multiplicación se distribuye sobre la suma: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 Existencia intidas: (0, 0) + z 1 = z 1 y (1, 0) z 1 = z 1

16 La existencia l inversos multiplicativos nos capacita cir que z 1 z 2 = 0 z 1 = 0 ó z 2 = 0 La división por un numero complejo diferente cero pue ser calculada como: z 1 /z 2 = z 1 z 2 = (a 1, b 1 ) ( a2 = ( a2 2+b2 2 a2 2+b2 2 a1 a 2 +b 1 b 2, b a2 2 1 a 2 a 1 b 2 +b2 2 a2 2+b2 2, b 2 ) )

17 Note que hacer (x + y i) (a + b i) = (x a y b) + (x b + y a) i se requieren 4 multiplicaciones y 2 sumas/restas: es cir, 6 operaciones un producto. obtener (x + y i) 1 = x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 i se requieren 2 multiplicaciones, 1 suma y 2 divisiones: es cir, 5 operaciones un inverso multiplicativo. calcular a + b i x + y i = a x + b y x 2 + y 2 + b x a y x 2 + y 2 se requieren 6 productos, 3 sumas/restas y 2 divisiones; es cir, 11 operaciones aritméticas una división. i

18 Consire el número complejo z = x + y i. Se fine el módulo z como: z = x 2 + y 2 En términos geométricos, el módulo z es la distancia s el punto z = (x, y) al origen. El conjugado z es el número complejo: z = x y i Ejemplo: Dado z = 2 3 i obtenga su conjugado z, su módulo z y el módulo su conjugado. z = Re(z) Im(z) i = (2) ( 3) i = i z = (2) 2 + ( 3) 2 = = 13 z = (2) 2 + (3) 2 = = 13

19 Propiedas l módulo y l conjugado: z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 ( ) z1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z z = z 2 z 1 ± z 2 z 1 + z 2 z 1 ± z 2 z 1 z 2 Re z = z+z 2 y Im z = z z 2 i

20 El plano complejo Es común representar a los números complejos gráficamente en un plano llamado el plano complejo o también conocido como Plano Gauss. Esto es idéntico a una representación cartesiana tradicional cuya diferencia es que al eje y se le llama el eje imaginario y al eje x se le llama el eje real: Eje imaginario y z z = x + y i Eje real x z = x y i

21 Ejemplo Relacione los siguientes números complejos con sus correspondientes representaciones el el plano complejo: (a) i (b) 2 i (c) 2 + i (d) 2 i (e) 2 D N I C K o H L A F B M E

22 Ejemplo Relacione los siguientes números complejos con sus correspondientes representaciones el el plano complejo: (a) i H (b) 2 i A (c) 2 + i C (d) 2 i N (e) 2 K D N I C K o H L A F B M E

23 Sabiendo que i 2 = 1 pomos simplificar potencias enteras i. Por ejemplo, i 3 = i 2 i = 1 i = i i 4 = i 2 i 2 = ( 1) ( 1) = +1 = 1 i 5 = i 4 i = 1 i = i i 6 = i 4 i 2 = 1 ( 1) = 1 i 7 = i 4 i 3 = 1 ( i) = i Si se quiere ser más eficiente, una estrategia es utilizar la división entre 4. Por ejemplo, i 21 = i = i 4 5 i 1 = ( i 4) 5 i = (1)5 i = i i 51 = i = i 4 12 i 3 = ( i 4) 12 ( i) = (1) 12 ( i) = i Para potencias negativas el truco es que 1 = i 2 = ( i) i. Por tanto, i 1 = i. Es cir, el inverso multiplicativo i es -i.

24 Si usted conoce la función mod (El residuo la división entera): Entonces i n = i r don r = n mod 4 a) Como 13 mod 4 = 1, q = (13 1)/4 = 3, así i 13 = i = i 4 3 i 1 = ( i 4) 3 i = 1 i = i b) Como 20 mod 4 = 0, q = (20 0)/4 = 5, así i 20 = ( i 4) 5 i 0 = 1 c) Como 23 mod 4 = 3, q = (23 3)/4 = 5, así i 23 = ( i 4) 5 i 3 = i d) Como 7 mod 4 = 1, q = ( 7 1)/4 = 2, así i 7 = ( i 4) 2 i 1 = i e) Como 17 mod 4 = 3, q = ( 17 3)/4 = 5, así i 17 = ( i 4) 5 i 3 = i