Guía de trabajo matemáticas

Transcripción

1 Guía de trabajo matemáticas 3 año medio 016 Primer semestre Profesor: Gino Mangili Cuadra DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

2 Compendio Matemática 3 año medio Nombre: Curso: Números Complejos Reseña histórica: Los números complejos fueron descubiertos mu temprano en el área de las matemáticas, pero fueron ignorados por su carácter etraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Desde los matemáticos griegos quienes conocían la forma de solucionar ecuaciones cuadráticas consideraban el tipo de problemas = 1 como irresolubles, aún así el interés por los números complejos surge con la intención de resolver ecuaciones cubicas, no cuadráticas (Stewart, 001). El primero en publicar estudios relacionados con la resolución de ecuaciones cubicas fue el italiano Girolamo Cardano en su libro Ars Magna el año 1545, eponiendo métodos que le había revelado en secreto Tartaglia (Rivera, 009). Aún así Cardano se defendió argumentando que este método fue descubierto antes por el matemático Scipione Ferro, en donde eponía que la solución de la ecuación cúbica de la forma 3 + a = b es: 3 = b + a3 7 + b b a3 7 + b 4 A través de este método de resolución Cardano comienza a resolver ecuaciones cúbicas, percatándose de que en algunos casos funcionaba de forma correcta, no así en otros, encontrando por ejemplo una ecuación cúbica cua solución era el número 4, ( 3 15 = 4) al emplear la resolución obtenía: 3 = Lo cual en ese entonces era imposible de resolver, a que se consideraba irresoluble trabajar con raíces negativas, le comunicó esta situación a Tartaglia no obteniendo una solución satisfactoria. Bombelli interesado en el libro que había publicado Cardano, pero encontrando algunos desarrollos confusos, opero la raíz negativa como una raíz positiva en el libro L Algebra publicado en 157, desarrollando el argumento raíz cúbica de la siguiente manera (Stewart, 001): + 11 = ( + 1) 3

3 Deduciendo así que: = + 1 Del mismo modo: 3 11 = 1 Pudiendo reescribir la solución de la ecuación cúbica como: = ( + 1) + ( 1) = 4 Llevando a plantear la inquietud en la época de cómo era posible llegar a una solución entera manipulando cantidades que se creían en un principio imposible, dando un primer paso a la aceptación de los números imaginarios. Unidad Imaginaria Se le denomina unidad imaginaria al numero 1 se designa por la letra i Número complejo 1 = i El conjunto de todos los números complejos es denominado por la letra C cada número complejo por la letra z, donde el conjunto está definido de la forma C = {z = a + bi a, b R} El número complejo a + bi está en su forma binómica, mientras que si es epresado de la forma (a, b) está siendo epresado como un par ordenado Al número a se le llama parte real de un numero complejo Al número b se le llama parte imaginaria de un número complejo Por lo tanto si a = 0 implica que el número será un número real puro, en cambio si b = 0 implica que el número será un número imaginario puro Si dos números complejos tienen igual parte real e igual parte imaginaria implica que esos dos números complejos son iguales. Conjugado: Si z = a + bi es un número C, se llama conjugado del número complejo z al complejo z = a bi

4 Opuesto: Si z = a + bi es un número C, se llama opuesto del número complejo z al complejo z = a bi Módulo: Si z = a + bi es un número C, se llama módulo del número complejo z al complejo z = a + b Gráfica de un número C Los números complejos son representados en el plano de Argand donde a se representa en el eje real () b se representa en el eje imaginario (). Potencias del número i i 0 = 1 i 1 = 1 i = 1 i 3 = 1 i 4 = 1 Suma, resta multiplicación de números C Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Resta: (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Multiplicación: (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Ejercicios: 1) Eprese con la unidad imaginaria cada raíz negativa: a) 49 b) 64 c) 18 d) 4

5 e) 0 f) 8 ) Realice las siguientes operaciones sabiendo que z 1 = 3 + i, z = 4 + 3i, z 3 = 3 i, z 4 = 5 4i a) z 1 + z 3 b) z 4 z 1 + z c) z 1 (z z 13 ) d) z 3 z e) z 3 (z 3 z 3 + z 3 ) z 3 f) z 1 z 1 g) z + z 4 z 3 h) z 4 (z z 1 ) z ( z 3 z ) i) z 1 j) z 3 k) z 4 z 3) Desarrolle las siguientes epresiones a) b) 7 ( 5 81) c) 8i + 3i 5i d) 9i 5i 6i + 8i e) (3i (5i i (8i + i i) + i) i)

6 f) i 4 + i 40 i g) (7i) h) ( i) 3 i) ( 3i) 4 + i 76 ( i) j) i 3 i 4 i 6 k) (3i 10 ) + i 53 ( 4i 10 ) 4) Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. (1 + i) pertenece al conjunto de los números imaginarios II. El cuadrado de un número complejo es un número real III. Un número imaginario elevado a cualquier potencia siempre es un número imaginario. 5) El conjugado del número 3 i = 6) Si z = 1 + i z 1 = (0, 1), entonces el valor de z 1 z es: 7) Si z = 1 + i, entonces Cuál es el valor de z z (3z ) z 3 8) Al multiplicar los números complejos z 1 = 3i z = 3 i se obtiene un número complejo z 3. Determine en que cuadrantes del plano complejo esta z 3 9) Determine el número complejo z que es solución de la ecuación ( 3i) z = 3 4i

7 10) Dados los siguientes números complejos z 1 = (1 +, 3 4 ) z = (1, 1 4 ). Determine el módulo de la suma de z 1 z 11) Desarrolle ( 7i + ) 1) z z es siempre: I. Un número real II. Un número imaginario puro III. Igual a z IV. (1,0) V. Depende del valor de z 13) Determine si los siguientes números complejos son resultado de la ecuación z = 15 8i I. (4, 1) II. ( 4,1) III. ( 4, 1) 14) Determine el valor de 3i 0 + 5i (i i 3 4i 6 ) 15) Determine el opuesto de (33,0) 16) De la siguiente operación de números complejos ( i) (3 i)( i)se obtiene como resultado:

8 17) Determine el valor de 1 i 0 18) Determine cuál de las siguientes afirmaciones son falas I. i i = 1 II. i i = 0 III. i 36 + i 8 = IV. (i i 54 ) = 1 19) Si z = 3 i, determie el valor de z 0) Al reducir al máimo la epresión ,89 8 0,49 luego elevar al cuadrado se obtiene: I. II. III. IV. V. 1) Si n pertenece a IN, entonces determine cual es el valor de la epresión i 4n+3 ) Si n pertenece a IN, entonces determine cual es el valor de la epresión i 16n+1 3) Determine cuál de los siguientes números complejos que cumple la siguiente característica su cuadrado es la mitad de su conjugado i i i i i 4 4

9 Ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la forma general Donde a 0 a, b c son números reales. a + b + c = 0 La ecuación de segundo grado a b c 0 se dice que está completa cuando todos los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se obtienen aplicando la fórmula: = b ± b 4ac a Donde al valor del radicando de b 4ac permite saber el número de soluciones sin necesidad de hallarlas. D b 4 ac se llama discriminante. si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -) D b 4 ac si D es cero, tiene una solución (ambas soluciones son iguales) si D es negativo, no tiene soluciones (soluciones imaginarias) Si en la ecuación a b c 0 alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es una ecuación incompleta se pueden resolver directamente: a) si b c 0 entonces la ecuación queda a 0 la solución es 0 b) si b 0 entonces la ecuación queda a c 0 ; a = c; = c a ; = ( c a ) c) si c 0 entonces la ecuación queda b 0 ; ( + b) = 0, por lo tanto un valor de será 0 el otro valor se conocerá del despeje de la ecuación + b = 0 Ejercicios: 1) Determine los coeficientes de las siguientes ecuaciones cuadráticas: I = 0 II = 0 III. + = 0 IV. 3 1 = 0

10 V. = VI. + 1 = VII. 0 = VIII. 3 = 1 IX. 5 = X. = 0 ) Determine las soluciones de la ecuación ( + 7)( 3) = 0 3) Determine las soluciones de ( + 13) = 30 4) Si la base de un triángulo mide su altura mide entonces Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene igual área? 5) Factorice la ecuación 5 4 = 0 6) Determine cuál (o cuales) de las siguientes ecuaciones tiene una solución iguala 0 I. = II = 0 III. 5 = IV. 3 = 0

11 7) El producto de dos pares consecutivos es 64 determine la sume de dichos números 8) Determine las soluciones de la ecuación ( + 5)( 5) (5 )(5 + ) = 0 9) Determine el producto de las raíces de la ecuación + = 1 10) Determine como debe ser el discriminante de la ecuación a + b + c = 0 para que sus soluciones sean imaginarias. 11) Determine las soluciones de la ecuación (16t 9) = 9 1) Sean a b las soluciones de la ecuación cuadrática (k + 1) + k = 0 entonces determine cuál es la epresión de a + b en función de k 13) Determine las soluciones de la ecuación = 5

12 14) Si una ecuación es de la forma 4a = b se puede afirmar I. Tiene soluciones, donde una de ellas es el opuesto de la otra II. Tiene soluciones iguales III. Tiene dos soluciones distintas, donde una de ellas es 0 IV. Tiene una solución V. Tiene una solución IR 15) Las soluciones de la ecuación = 3( ) 16) Si una solución de una ecuación cuadrática es 1 implica que la otra solución será: 17) Cuál es el menor valor para la epresión + 3, cuando satisface la igualdad + 13 = ) Si 3a +9 3 a = 10 determine los valores de a que satisfacen la ecuación.

13 19) Si 3 es una raíz de la ecuación + p = 0, entonces Cuál es el valor de p? 0) Respecto de la ecuación = 0 determine cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas I. La suma de sus raíces es 10 II. El producto de sus raíces es -4 III. Ambas raíces son positivas Función Cuadrática Se le denomina función cuadrática a una función de la forma a + b + c = 0 con a 0 a, b, c IR. Esta función al ser graficada en el plano cartesiano toma la forma de una parábola, la cual es simétrica respecto a una recta paralela al eje, a esta recta se le denomina eje de simetría Concavidad Es la abertura que tiene la parábola, la orientación de esta depende totalmente del coeficiente a Si a > 0 la concavidad de la parábola estará orientada hacia arriba S a < 0 la concavidad de la parábola estará orientada hacia abajo Intersección con el eje El punto de intersección de la parábola con el eje depende eclusivamente del coeficiente c de la función cuadrática c c Raíces de una función (soluciones) Estos son los valores de 1 X 1 X

14 Discriminante El valor del radicando de b 4ac permite saber el número de soluciones sin necesidad de hallarlas. D b 4 ac se llama discriminante. sid > 0, tiene dos soluciones reales(dos intersecciones con el eje ) D b 4 ac si D= 0, tiene una solución (una intersección con el eje ) si D< 0, no tiene soluciones(no tiene intersecciones con el eje ) Eje de simetría Es la recta paralela al eje que divide a la parábola en dos partes iguales, esta intersecta el vértice de la parábola. se calcula mediante la formula = b a Vértice de una parábola Es el punto máimo o mínimo que puede tener una parábola si a > 0 tiene un mínimo Si a < 0 tiene un máimo Este se calcula mediante la formula v = ( b, f ( b a a ))

15 Resumen Ejercicios 1) Determine que gráficos son representados por la función f() = a + b + c con a > 0 c > 0. ) Determine el vértice de las siguientes funciones I. f() = 3

16 II. f() = 3 1 III. f() = 9 IV. f() = 5 V. f() = ) Del gráfico de la función f() = 3( ) + 5, se puede afirmar I. Su vértice se encuentra en el punto (,5) II. Su concavidad es hacia arriba III. Corta al eje en dos puntos IV. Corta al eje en el punto (0,5) V. Su eje de simetría se ubica en el punto del eje de las abscisas 4) Para que la función cuadrática f() = m n p, pase por el origen, se debe cumplir que I. n = 0 II. m = n III. m = p IV. n = p V. p = 0 5) Determine cuál es el mínimo de la función f() = ) Si f() = + 1, entonces f( + ) es igual a 7) Si f() = +, entonces f( 1) es igual a 8) Si f() = + a a +, entonces f(a) es igual a 9) Si f() es una función tal que f( 1) = (a + 1) + 1, entonces f(a) es igual a 10) Determine el vértice de la parábola Si f() =

17 11) Dada la siguiente función f() = 5 1, calcule I. f( 1) II. f(0) III. f(1) + f() IV. f( ) f( 1) f(0) 1) Si el punto (1,0) pertenece al gráfico de la función f() = m + 1, determine el valor de m 13) De la función f() = a, Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Si a > 4 la parábola intersecta en dos puntos al eje II. Si a = 4 la parábola intersecta en un solo punto al eje III. Si a < 4 la parábola no intersecta al eje 14) Si f() = + 4 3q, q < 0cual de las siguientes afirmaciones son correctas q I. Su concavidad es hacia arriba, intersecta al eje en un punto menor que 0, sus intersecciones con el eje son q 3q II. Su concavidad es hacia arriba, intersecta al eje en un punto menor que 0, sus intersecciones con el eje son q q III. Su concavidad es hacia arriba, intersecta al eje en un punto maor que 0, sus intersecciones con el eje son q 3q IV. Su concavidad es hacia abajo, intersecta al eje en un punto menor que 0, sus intersecciones con el eje son q 3q 15) Determine las gráficas de las afirmaciones de el ítem 14), además destaque cual es la gráfica correcta.

18 16) Determine las intersecciones en el eje de la función f() = ) Determine los valores de m n para que la función f() = m 3 + n intercepte al eje en el punto (0, 4) e intercepte al eje en el punto (4,0) 18) Determine los valores de a, b c de la función f() = 3( ) ( ) + 1 en la forma f() = a + b + c 19) Si f( + 1) = + 1 q() = { f( 1) + f( + 1); si f(); si > 0 f() + f( ); si < 0 entonces determine q( 1) + q() q(0)