Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos

Transcripción

1 . alcule la integral indicada: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados sobre Integrales de ontorno en Variable ompleja, problemas resueltos 2+3 i 3 2 i ( 3 3 i + ( i) z + 3 z 2 ) dz Reporte el módulo del resultado. En este caso la función a ser integrada: f(z) = 3 3 i + ( i) z + 3 z 2 es entera (es decir, es analítica en todo el plano complejo) al ser una función polinomial. En la siguiente pantalla se ilustra el cálculo directo de la integral usando el comando de integración. 2. alcule la integral indicada: 3 i 3 i e 3 i z z dz Reporte el módulo del resultado. La función que se integra f(z) = e 3 i z z Por tanto, para calcular la integral basta encontrarle una primitiva; es decir, una función cuya derivada sea f(z). Si integramos por las técnicas tradicionales tenemos que una primitiva es: Por tanto, g(z) = ( 3 3 i) z + ( i) 2 z2 + z 3 I = 2+3 i 3 2 i f(z) dz = g(2 + 3 i) g(3 2 i) es una función entera; es decir, es analítica en todo el plano complejo. Por consiguiente, para calcular la integral debemos calcular una primitiva F (z) y evaluarla en los límites de integración: 3 i 3 i f(z) dz = F (3 i) F ( 3 i) Este tipo de primitivas y de evaluaciones es lo que hace la calculadora: Procedemos como en el problema anterior: La siguiente gráfica ilustra su solución en la calculadora TI; primeramente se limpian las variables a trabajar, después se define el integrando, seguido se determina una primitiva del integrando, y por último se obtiene el módulo de la diferencia de la sustitución de la primitiva en los límites de integración.

2 Ma3002, Resultados sobre Integrales de ontorno en Variable ompleja, problemas resueltos 2 3. alcule la integral 3 i + z 4 2 i + z dz donde es el círculo z =. Reporte el módulo del resultado. La expresión a integrar se escribe f = 3 i + z 4 2 i + z = p q Siendo f racional, los polos de f ocurrirán en los ceros de q: q = 0 z = z o = i 4. alcule la integral e i z 3 + i + z dz donde es el círculo z = 0. Reporte el módulo del resultado. El integrando se escribe como f = e i z 3 + i + z = f f 2 Donde f = e i z es entera y f 2 = 3 + i + z. Por tanto, los únicos polos de f son los ceros del denominador f 2 : f 2 = 0 z o = 3 i Por otro lado, el círculo donde se integra tiene centro en z = z = 0 y radio. Puesto que la distancia de z o a z es: d(z o, z ) = z o z = z o 0 = z o < el polo se encuentra dentro de la curva de integración. Para calcular la integral requeriremos la fórmula de auchy: 3 i + z f dz = dz = 2 π i [ 3 i + z] z z z=zo o Así f dz = 2 π i ( 3 i + (4 + 3 i)) Los cálculos se ilustran en la siguiente figura: omo la curva de integración es un círculo con centro en z = 0 y radio r = 0 y la distancia de z o a z es d(z o, z ) = z z o = 3 i = Entonces, el polo se encuentra dentro de ; por tanto, para calcular la integral debemos usar la fórmula de auchy: e i z z ( 3 i) dz = 2 π i [e i,z ] z= 3 i Los cálculos se ilustran en la siguiente figura. Los cálculos se ilustran en la siguiente figura:

3 Ma3002, Resultados sobre Integrales de ontorno en Variable ompleja, problemas resueltos 3 5. alcule la integral 4 i + z ( i + z) (3 + i + z) dz donde es el círculo z = 3. Reporte el módulo del resultado. Los polos de la expresión se obtienen de los ceros del denominador: lo cual da los valores: ( i + z) (3 + i + z) = 0 uando salen más de una raíz conviene manejarlos como una tabla. Para ello el comando exp list puede servir. Observe cómo es utilizado en la figura. z = 3 i y z 2 = 2 2 i omo la curva de integración es un círculo con centro en z o = con radio r = 2, vemos si están en el interior de : d(z, z o ) = z z o = z 3.62 > 3 d(z 2, z o ) = z 2 z o = z < 3 oncluimos que sólo z 2 está en el interior de. El resultado de este comando es una matriz a una columna y para disponer de sus elementos habrá que seleccionar por renglón y columna. Por ejemplo, para calcular los módulos de los polos se procede como en la figura siguiente. Para hacer el último cálculo, debemos quitar del denominador el factor z z 2 y el resultado debemos reunirlo con el numerador. Evaluar la expresión resultante en z = z 2 y multiplicar por 2 π i. Estos últimos cálculos se ilustran en la siguiente figura. Entonces reescribimos el integrando original como 4 i+z 4 i + z ( i + z) (3 + i + z) = 3+i+z z (2 2 i) = f f 2 Así f es analítica en y su interior. Podemos entonces calcular la integral usando la fórmula de auchy: o 4 i+z [ ] 3+i+z 4 i + z z (2 2 i) dz = 2 π i 3 + i + z z=2 2 i En la calculadora procedemos a capturar por separado numerador y denominador. Asimismo calculamos los polos. 6. alcule la integral 6 i + i z ( i + z) ( 2 i + z) dz donde es el círculo z = 9. Reporte el módulo del resultado.

4 Ma3002, Resultados sobre Integrales de ontorno en Variable ompleja, problemas resueltos 4 Siendo la función a integrar racional (es decir, el cociente de dos polinomios) y la curva donde se integra una curva cerrada simple, para poder utiizar el teorema de hauchy, debemos ver cuáles de los polos (es decir, de los ceros del denominador) están dentro de. Tomaremos el denominador y obtendremos sus raíces: ( i + z) ( 2 i + z) = 0 al estar igualdada a cero y teniendo factorizada la expresión, las raíces serán las raíces de cada factor: y i + z = 0 z = 2 2 i 2 i + z = 0 z 2 = + 2 i la curva donde se integra es una circunferencia con centro en z o = 0 y con radio r = 9; para ver si alguna de las raíces está dentro de, basta determinar la distancia al centro y comparar contra el radio: como Por fracciones parciales Una de las ventajas y a la vez desventajas de la calculadora es la forma como opera los números complejos: intenta escribirlos en su forma rectangular (es decir, en una expresión donde esté por separado la parte real y la parte imaginaria). Por ejemplo, en la siguiente figura se ilustra cómo opera con un binomio al cuadrado. Si no está explícitamente declarado que tiene el complejo i, la potencia no se desarrolla. Pero si aparece i en el binomio, el producto se desarrolla. z z o = 2 2 i 0 = 2 2 i = 8 < 9 por tanto, z está en el interior de. como z 2 z o = + 2 i 0 = + 2 i = 5 < 9 por tanto, ambas raíces está en el interior de. En esta situación tenemos tres alternativas posibles: aplicar integración numérica y obtener el resultado por fuerza bruta usando una caculadora TI, aplicar fracciones parciales para cambiar la expresión a integrar por la suma de dos expresiones cada una de ellas con un solo polo, ó cambiar a por dos círculos que no se traslapen, que estén encerrados en y donde cada uno encierre un polo por separado. Por fuerza bruta Limpiamos las variables de trabajo, definimos la función a integrar, la parametrización de z y tras de varios minutos y la señal de bateria baja obtenemos: En el caso de las fracciones donde aparece el complejo i ocurre lo mismo. Nos podemos imaginar que la TI es un animalito que se pone muy impaciente cuando aparece i. En general, esto es una ventaja. Pero hay muchas situaciones donde esta impaciencia es negativa. uando se vea transformada de Fourier y transformada Z se entederá esta desventaja. De momento confie en que hay situaciones donde una expresión tiene imaginarios en el denominador y conviene que no quede en la forma rectangular. La pregunta es, cómo evitar que la calculadora TI la lleve a la forma rectangular? omo el álgebra de complejos es el álgebra tradicional de expresiones donde i 2 =, una alternativa es esconder el comportamiento de i. Esto lo lograremos usando la

5 Ma3002, Resultados sobre Integrales de ontorno en Variable ompleja, problemas resueltos 5 variable i en lugar de i( i previamente limpiada) y simplificando la expresión de manera tal que cada vez que aparezca i 2 pondremos. No sé si sea la mejor solución, pero esto funciona. En la siguiente imagen se ilustra que la expresión se reescribe usando i en lugar de i. Ahora borraremos manualmente aquellas expresiones que no contengan el denominador z 2 i y salvaremos en una nueva variables como se ilustra en la siguiente figura. Posteriormente utilizamos el proceso de desarrollo en fracciones parciales de una expresión: La fracción donde aparece z 2 i en el denominador puede obtenerse de la siguiente manera: como lo que importa son los coeficientes, nos quedaremos con ellos haciendo la expresión z 2 i. Esto lo lograremos con el comando que nos permite hacer reemplazos de expresiones. Esto se ilustra en la siguiente figura. Observe que es una expresión con un buen número de términos. Lo que haremos ahora es seleccionar sólo aquellas fracciones que tienen z 2 i en el denominador: limpiando la línea de comando en la TI, subiremos a la línea superior que ilustra el resultado y daremos enter. Después regresaremos nuestra variable i a ser de nuevo i: Esto nos dice que ya temos una parte del desarrollo en fracciones parciales: f(z) = + i z 2 i + Para la parte que nos queda quitamos de la expresión desarrollada la parte que llevamos:

6 Ma3002, Resultados sobre Integrales de ontorno en Variable ompleja, problemas resueltos 6 cuando la invocamos nuestra expresión es sólo una fracción con denominador z + 2 (i ): Que obtengamos 0 significa que nuestro desarrollo en fracciones parciales es correcto. Esto es la técnica de fracciones parciales con denominadores con polos complejos. onfie en que vale la pena aprender hacer esto en su calculadora. ontinuemos con el proceso de integración: nuestra integral original queda ( ) + i f(z) dz = z 2 i + dz z + 2 (i ) omo los polos están en el interior de por la fórmula de auchy tenemos: + i z 2 i dz = 2 π i [ + i] z=2 i+ = 2 π 2 π i z 2 i + 2 dz = 2 π i [] z=2 i 2 = 2 π i Por lo tanto, f(z) dz = 2 π Por el teorema de auchy-goursat La siguiente imagen describe la curva y los polos del denominador en el plano complejo. Procedemos de nuevo a obtener su coeficiente: 2 Resumiendo, nuestra expresión original desarrollada en fracciones parciales es: f(z) = + i z 2 i + z + 2 (i ) Tenemos la obligación científica de verificar que este desarrollo es efectivamente válido: en lugar de la variable i pondremos i y compararemos con nuestro desarrollo como se ilustra en la figura Notemos que encierra al polo z = 2 2 i, mientras que 2 encierra al polo z 2 = + 2 i. Observe que no especificamos los radios de las curvas y 2, pero imaginamos que son lo suficientemente pequeños para que el segundo polo no esté dentro de la circuenferencia con centro en el primero. Por medio del teorema de auchy-goursat, cambiaremos la integración sobre por la integral sobre las curvas y 2 : f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz 2 Para hacer cada una de las integrales reescribiremos el integrando de forma tal que en el denominador quede solamente la expresión que tiene el polo dentro de la curva

7 Ma3002, Resultados sobre Integrales de ontorno en Variable ompleja, problemas resueltos 7 (esto hará que la expresión racional en el numerador sea una función analítica en el disco al no tener su polo en tal disco lo cual nos permitirá usal el teorema de auchy en el cálculo de la integral): 6 i + i z f(z) dz = ( i + z) ( 2 i + z) dz 6 i+i z 2 i+z = i + z dz [ ] = 2 π i = 2 π i 6 i+i z 2 i+z z=2 2 i 2 y por otro lado 6 i + i z f(z) dz = 2 2 ( i + z) ( 2 i + z) dz 6 i+i z 2+2 i+z = 2 2 i + z dz [ ] = 2 π i Por lo tanto, 6 i+i z 2+2 i+z = 2 π 2 π i z=+2 i f(z) dz = 2 π i + ( 2 π 2 π i) = 2 π Para calcular la integral debemos usar la fórmula de auchy, si entonces f = i + ( 3 i) z f ( i + z) 2 = (z z ) 2 f dz = 2 π i! [ ] d dz (f ) = π (6 + 2 i) z=z Observe que los tres cálculos llevan al mismo resultado. Aunque en el primero se debe descartar la pequeñísima parte imaginaria El procedimiento numérico puede llevar a errores de cálculo, por ello es que no es recomendable confiar plenamente en la integración numérica cuando se conocen y son relativamente fáciles de usar las técnicas analíticas. 7. alcule la integral i + ( 3 i) z ( i + z) 2 dz donde es el círculo z = 9. Reporte el módulo del resultado. La raíz del denominador se repite y es: z = 2 2 i es decir, su multiplicidad es 2. omo la curva donde se integra es un círculo con centro en z o = 0 y con radio 9 y d(z, z o ) = z z o = z tenemos que z está en el interior de. 8. alcule la integral i + ( 4 2 i) z + ( + 2 i) z 2 (2 + z) 3 dz donde es el círculo z = 5. Reporte el módulo del resultado. En nuestro caso la región de integración es un círculo con centro en z o = 0 y de radio 5. Por otro lado, la función

8 Ma3002, Resultados sobre Integrales de ontorno en Variable ompleja, problemas resueltos 8 que se desea integrar es una función racional cuyo único polo (2 + z) 3 = 0 z = 2 z = 2 tiene orden 3. omo la distancia de z a z o es menor que el radio, z está dentro de. La gráfica siguiente describe la situación. De acuerdo con el teorema de auchy, si f(z) es analítica dentro de la curva cerrada y orientada positiva entonces [ ] f(z) 2 π i d n n+ dz = (z z ) n! dz n f(z) así 2 π i 2! [ d 2 dz 6+8 i+( 4 2 i) z+( +2 i) z 2 z=z dz = (2+z) ( 3 )] i + ( 4 2 i) z + ( + 2 i) z 2 = z= 2 2 π i ( + 2 i) 3