Lección 1: Números reales

Transcripción

1 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 1: Números reales Los números irracionales En los grados anteriores estudiamos distintas clases de números: Vimos en primer lugar: los naturales, que son aquellos que sirven para contar. Ejemplos de los números naturales son: 0, 1, 2, 3, 4,..., 37,..., 186,..., 1999,... Después, estudiamos los números enteros, que están formados por los naturales y por los números negativos. Con ellos podíamos indicar pérdidas, temperaturas bajo cero o distancias bajo el mar o la tierra. Ejemplos de los números enteros son:..., -154,..., -13,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., 18,..., , Posteriormente, conocimos a los números racionales, que están formados por los enteros, las fracciones (que siempre se pueden presentar en forma decimal), y los decimales. Ejemplos de los números racionales son:

2 LECCIÓN , -,..., -2.2,..., -1,..., -0.5,...0,..., 0.5,... 3,..., 1,..., 621, Cuando estudiamos fracciones y decimales, vimos que para convertir fracciones a decimales se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo: = 1 2 = 0.5 = = A veces el cociente tiene una infinidad de cifras, pero hemos visto que estas cifras en algún momento empiezan a aparecer repetidas en un mismo orden, así que, aunque sean infinitas, es posible escribir el número indicando el conjunto de cifras que se repite, y que se llama período, poniendo una curvita arriba de las cifras que lo forman. Por ejemplo: = pero escribimos 0.3, y la curvita arriba del 3 indica que éste se repite; = pero escribimos 0.16, y la curvita arriba del 6 indica que es el período; = pero escribimos , y la curvita arriba de indica que es el período, o sea las cifras que se repiten. 11

3 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Con los números racionales ya podemos representar casi todas las cantidades que encontramos en la vida cotidiana. Sin embargo, hay otra clase de números, que se escriben con una infinidad de decimales pero que no tienen un período, es decir, no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los números de esta clase reciben el nombre de irracionales y, a diferencia de los racionales, no pueden ponerse en forma de fracción, sino sólo en forma decimal. Los racionales y los irracionales juntos forman el conjunto de los números reales y son los números con los que trabajaremos en este curso. Hay una infinidad de números irracionales, pero en este curso trabajaremos sólo con algunos de ellos, que son los más usados. Tal vez usted se pregunte cómo vamos a escribir la infinidad de cifras que tienen los números irracionales. La respuesta es que cuando trabajamos con números irracionales, nos conformamos con una aproximación, o bien utilizamos algunos símbolos especiales. El primer número irracional que presentaremos es un número que de hecho ya conoce. Usted ha usado el número π (pi) para expresar las fórmulas de la longitud de la circunferencia, del área del círculo y del volumen de la esfera. El número π representa las veces que cabe el diámetro de un círculo en la longitud de la circunferencia. Es decir, si tuviéramos las medidas exactas de la longitud (C) de una circunferencia y de su diámetro, (d), podríamos decir que π = C d, pero si quisiéramos hacer la división no terminaríamos nunca: podríamos tener tantas cifras decimales como quisiéramos, pero nunca llegaríamos a un residuo igual a cero, ni encontraríamos cifras que formen un período. Esto es, si intentáramos escribir π exactamente, nunca terminaríamos de escribir cifras decimales, por lo que decimos que π es un 12

4 LECCIÓN 1 número irracional. A continuación se expresa el número π con sus primeras 54 cifras decimales: π = En la práctica, sin embargo, cuando queremos calcular longitudes de circunferencias, áreas de círculos, volúmenes de esferas o para hacer cualquier otro cálculo, en el que aparezca π, podemos usar la aproximación π = o bien, como lo hemos hecho en los dos libros anteriores de este curso, la aproximación π = Otro número irracional es 2. El número 2 es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden una unidad de longitud. 1 u 1 u Si necesitamos hacer cálculos con 2, utilizamos 1.41, que es una aproximación. (Usted puede verificar que = , que se acerca bastante a 2.) 2 u Otros números irracionales son 3 y el número e. Una manera de encontrar aproximaciones a estos números es utilizando la calculadora. Para encontrar el primero sacamos la raíz cuadrada de 3, y para encontrar el segundo pulsamos la tecla e x que tienen algunas calculadoras y encontramos así la aproximación e =

5 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio 1 a) En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla que son aproximaciones para los números irracionales 5, 7, 2 y 3. b) Si su calculadora tiene la tecla π, oprímala para ver con qué aproximación representa este número irracional. c) Exprese en forma decimal, indicando en cada caso el período, los siguientes números racionales: ,,,,,,. Aproximaciones En la sección anterior hemos dicho que cuando se trabaja con números irracionales se usan con aproximaciones, ya que es imposible escribir todas sus cifras decimales pues son una infinidad. A veces también es conveniente usar aproximaciones 14

6 LECCIÓN 1 con los números racionales. Hay dos maneras de hacer las aproximaciones: por truncamiento y por redondeo. El método del truncamiento consiste en considerar sólo las cifras decimales que nos interesan y "eliminar" las demás. Primero debemos saber con cuántas cifras decimales queremos trabajar o cuántas nos están pidiendo. Supongamos que necesitamos efectuar una multiplicación de decimales y nos piden que expresemos el resultado con tres cifras decimales, usando truncamiento. Por ejemplo, la multiplicación que se muestra a la derecha x El resultado tiene cinco cifras decimales y sólo queremos tres, así que "eliminamos" los ochos y escribimos x Observe que en lugar del signo "=" hemos escrito el signo " " porque el producto x 2.37 no es exactamente igual a 0.293, es casi igual, una aproximación. Esto se indica usando el signo " ", que se lee "aproximadamente igual a". De manera que "truncar" números es deshacerse de las cifras que no interesan. Para comprender mejor esto, veamos dos ejemplos más, en los que realizaremos operaciones y expresaremos los resultados con las cifras decimales que se indican. Resolvamos la suma y expresemos el resultado con dos cifras decimales mediante truncamiento. El resultado exacto de la suma 15

7 GUÍA DE MATEMÁTICAS III es , y al truncar para quedarnos con dos cifras decimales eliminamos las dos últimas, esto es, al 9 y 7. Escribimos entonces: Resolvamos ahora la división y expresemos el resultado con tres cifras decimales mediante truncamiento. Al hacer la división obtenemos = , pero como sólo queremos tres cifras decimales eliminamos el 375 que aparece al final y nos quedamos con Otra manera de aproximar números es el redondeo. Para comprender este método regresemos a nuestro ejemplo de la multiplicación x 2.37 = Si utilizamos la recta numérica para representar este resultado, obtenemos un esquema como el siguiente, en el que la ubicación del número que nos interesa está señalada con una flecha vertical: Si queremos utilizar solamente tres cifras decimales para expresar el número , vemos que este número está entre y 0.294, pero está mucho más cerca de que de Es decir, si decimos que x mentimos, y si 16

8 LECCIÓN 1 decimos que x también mentimos, pero mentimos menos en el segundo caso que en el primero. Entonces la aproximación por redondeo de es 0.294, y escribimos : hemos utilizado tres cifras decimales pero a la tercera le hemos aumentado 1. Veamos otro ejemplo. Consideremos ahora la multiplicación x 2.38 = , y representemos este resultado en un esquema como el anterior: Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar el número , vemos que este número está entre y 0.296, pero que está mucho más cerca de que de Ahora la aproximación por redondeo de es y escribimos : hemos utilizado tres cifras decimales y a la tercera no le hemos aumentado nada. Vemos entonces que con el método de aproximación por redondeo se "eliminan" cifras, pero a veces hay modificaciones en las cifras originales y a veces no. El método se puede resumir de acuerdo con las siguientes reglas: Se cuentan las cifras que interesa dejar y se observa la primera cifra que se va a eliminar. Si la primera cifra que se va a eliminar es menor que 5 no hay modificaciones en las cifras que se dejan. Si la primera cifra que se va a eliminar es igual o mayor que 5, la última cifra no eliminada aumenta en 1. 17

9 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Veamos unos ejemplos más de redondeo: Al hacer la suma encontramos como resultado Si queremos redondear este resultado a dos cifras decimales, nos fijamos en la tercera, que es 9; como 9 es mayor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 2, aumenta en 1. Escribimos entonces: Observe que este resultado difiere del que habíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento. Al hacer la división tenemos como resultado Si queremos redondear este número a tres cifras decimales, nos fijamos en la cuarta, que es 3; como 3 es menor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 6, permanece como está. Escribimos entonces Observe que en este caso el resultado es el mismo del que habíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento. Redondeemos ahora el número a seis cifras decimales. Nos fijamos en la séptima cifra, que es 5; como 5 es igual o mayor que 5, entonces le aumentamos 1 a la última cifra no eliminada, que es 3. Tenemos entonces que Por último, redondeemos el número a tres cifras decimales. Nos fijamos en la cuarta, que es 6; como es mayor que 5 le aumentamos 1 a la última

10 LECCIÓN 1 cifra no eliminada, que es 9. Pero como = 10, ahora tenemos que aumentar 1 a la penúltima cifra no eliminada, que es 2. Tenemos entonces que Ejercicio 2 Trunque los siguientes números a tres cifras decimales: a) c) e) g) b) d) f) h) Ejercicio 3 En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla (que son aproximaciones para los números irracionales 5, 7, 2 y 3), truncando a 5 cifras decimales. Ejercicio 4 Redondee a tres cifras decimales los números de los incisos del ejercicio 2. Compare los resultados con los que obtuvo en el ejercicio 2. Ejercicio 5 Redondee a cinco cifras decimales las raíces del ejercicio 3 y compare los resultados con los obtenidos ahí. 19