Introducción. Algebra Lineal: Dependencia Lineal. Departamento de Matemáticas. Intro. Resultado Clave 3. Ejemplo 1. Ejemplo 2. Operativa.

Transcripción

1 ducción Amás los conceptos combinación lineal y espacio generado, otro los conceptos clave en Algebra es el concepto penncia lineal. Este concepto aplica a conjuntos vectores y significa que el conjunto tenga redundancia, es cir, que exista en el conjunto vectores por lo menos un vector que pueda ser reconstruido mediante superposición por los otros vectores ntro l conjunto. La finición formal penncia lineal es un poco extraña, sin embargo como se verá en los ejemplos es muy operativa. Dentro los resultados importantes que se listan respecto a este concepto es su relación con el análisis sistemas ecuaciones lineales consistentes: La penncia lineal l conjunto columnas la matriz coeficientes un sistema es la explicación por la cual un sistema consistente tiene infinitas soluciones.

2 Dado un conjunto vectores en R n, A = {a 1, a 2,..., a k }. A se dice conjunto vectores linealmente pendiente o simplemente linealmente pendiente (l.d.), si existe una combinación lineal entre los vectores que da el vector cero don por lo menos un coeficiente es diferente cero: Existen c 1, c 2,...,c k que cumplen c 1 a 1 + c 2 a c k a k = 0 don por lo menos uno los coeficientes c i es diferente cero. En caso contrario, se dice que A es linealmente inpendiente (l.i.). Es cir, cuando la única combinación lineal que da cero es la que tiene todos los coeficientes cero. Es cir, que A es linealmente inpendiente cuando c 1 a 1 + c 2 a c k a k = 0 implica cada coeficiente es cero: c 1 = 0 = c 2 = = c k.

3 Usando como referencia la introducción a esta presentación, tenemos el resultado principal que relaciona el concepto conjunto linealmente pendiente y el análisis un sistema ecuaciones lineales: Consire el sistema ecuaciones lineales cuya matriz aumentada es [a 1 a 2 a k b] y que se sabe que es consistente. Entonces: El sistema tiene infinitas soluciones si y sólo si el conjunto vectores A = {a 1, a 2,..., a k } es un conjunto linealmente pendiente. De la misma manera, el sistema consistente tendrá solución única si y sólo si el conjunto es linealmente inpendiente.

4 Indique si el siguiente conjunto vectores es linealmente inpendiente: A = x 1 = 4 6 1, x 2 = 1 3 4, x 3 = 1 Debemos ver cómo ben ser las constantes c 1, c 2 y c 3 para que: c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = 0 Si las únicas que lo cumplen son c 1 = 0, c 2 = 0 y c 3 = 0, entonces A es linealmente inpendiente. En otro caso, pendiente. Sabemos que la terminación la combinación lineal anterior lleva al SEL cuya aumentada es (con su reducción):

5 c 1 c 2 c 3 rhs c 1 c 2 c 3 rhs Como el sistema tiene solución única c 1 = 0, c 2 = 0 y c 3 = 0 se duce que la única forma combinar los vectores x s para que n el vector cero es la que tiene todos los coeficientes cero. Por tanto, el conjunto vectores es linealmente inpendiente

6 Indique si el siguiente conjunto vectores es linealmente inpendiente: x 1 = 0 3 3, x 2 = 5, x 3 = Debemos ver cómo ben ser las constantes c 1, c 2 y c 3 para que: c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = 0 El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda: c 1 c 2 c 3 rhs c 1 c 2 c 3 rhs

7 Como el sistema tiene infinitas soluciones se duce que amás la solución c 1 = 0, c 2 = 0 y c 3 = 0 be tener otras soluciones y en estas otras al menos un coeficiente c be ser diferente cero. Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cero la matriz reducida a ecuaciones se obtiene: c 1 + 3c 3 = 0 y c 2 + 3c 3 = 0 es cir, c 1 = 3c 3 y c 2 = 3c 3. Dando a c 3 un valor diferente cero (por ejemplo, c 3 = 1) se puen obtener coeficientes (siguiendo el ejemplo, c 1 = 3 y c 2 = 3) que hacen que la combinación lineal el vector cero. 3 x 1 +3 x 2 1 x 3 = = Por tanto, el conjunto vectores es linealmente pendiente = 0 0 0

8 Usando como referencia los ejemplos anteriores (por la forma como se arma la matriz aumentada l sistema don se spejan los coeficientes la combinación lineal), se tiene el principal resultado para caracterizar conjuntos vectores linealmente inpendientes es el siguiente: 1 Sea A = {v 1, v 2,..., v k } un conjunto vectores en R n. Son equivalentes los siguientes hechos: El conjunto A es linealmente inpendiente. Tiene solución única el sistema [v 1 v 2 v k 0] Tiene k pivotes la matriz reducida obtenida [v 1 v 2 v k ] Es cir, no hace falta colocar el vector columna ceros a la recha.

9 Ejemplo Para qué valor a el siguiente conjunto vectores es linealmente pendiente? {[ 1 ] [ 6, a ]} Solución Al formar la matriz aumentada y escalonar tenemos: [ ] [ ] a a 0 El sistema tendrá solución infinitas cuando 12 + a = 0, es cir, cuando a = 12. Por tanto, para a = 12 el conjunto es linealmente pendiente. Mientras que para a 12 es linealmente inpendiente

10 Ejemplo Suponga que el conjunto A = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } es linealmente inpendiente. Será el conjunto linealmente inpendiente? B = {v 4, v 3, v 2 } Solución Cierto: Puesto que el conjunto es linealmente inpendiente, cualquier subconjunto él será linealmente inpendiente Si B fuera pendiente, una combinación con v 4, v 3 y v 2 se pue extenr a una con todos los vectores: 0 = c 4 v 4 + c 3 v 3 + c 2 v 2 = 0 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 + c 4 v v 5 si hubiera un c i 0 (c 2, c 3 ó c 4 ), A sería pendiente.