Introducción. Algebra Lineal: Dependencia Lineal. Departamento de Matemáticas. Intro. Resultado Clave 2. Ejemplo 1. Ejemplo 2. Operativa.

Transcripción

1 ducción Amás los conceptos combinación lineal y espacio generado, otro los conceptos clave en Algebra es el concepto penncia lineal. Este concepto aplica a conjuntos vectores y significa que el conjunto tenga redundancia, es cir, que exista en el conjunto vectores por lo menos un vector que pueda ser reconstruido mediante superposición por los otros vectores ntro l conjunto. La finición formal penncia lineal es un poco extraña, sin embargo como se verá en los ejemplos es muy operativa. Dentro los resultados importantes que se listan respecto a este concepto es su relación con el análisis sistemas ecuaciones lineales consistentes: La penncia lineal l conjunto columnas la matriz coeficientes un sistema es la explicación por la cual un sistema consistente tiene infinitas soluciones.

2 Dado un conjunto vectores en R n, A = {a 1, a 2,..., a k }. A se dice conjunto vectores linealmente pendiente o simplemente linealmente pendiente (l.d.), si existe una combinación lineal entre los vectores que da el vector cero don por lo menos un coeficiente es diferente cero: Existen c 1, c 2,...,c k que cumplen c 1 a 1 + c 2 a c k a k = don por lo menos uno los coeficientes c i es diferente cero. En caso contrario, se dice que A es linealmente inpendiente (l.i.). Es cir, cuando la única combinación lineal que da cero es la que tiene todos los coeficientes cero. Es cir, que A es linealmente inpendiente cuando c 1 a 1 + c 2 a c k a k = implica cada coeficiente es cero: c 1 = = c 2 = = c k.

3 Usando como referencia la introducción a esta presentación, tenemos el resultado principal que relaciona el concepto conjunto linealmente pendiente y el análisis un sistema ecuaciones lineales: Consire el sistema ecuaciones lineales cuya matriz aumentada es [a 1 a 2 a k b] y que se sabe que es consistente. Entonces: El sistema tiene infinitas soluciones si y sólo si el conjunto vectores A = {a 1, a 2,..., a k } es un conjunto linealmente pendiente. De la misma manera, el sistema consistente tendrá solución única si y sólo si el conjunto es linealmente inpendiente.

4 Indique si el siguiente conjunto vectores es linealmente inpendiente: A = x 1 = 4 6 1, x 2 = 1 4, x = 1 Debemos ver cómo ben ser las constantes c 1, c 2 y c para que: c 1 x 1 + c 2 x 2 + c x = Si las únicas que lo cumplen son c 1 =, c 2 = y c =, entonces A es linealmente inpendiente. En otro caso, pendiente. Sabemos que la terminación la combinación lineal anterior lleva al SEL cuya aumentada es (con su reducción):

5 c 1 c 2 c rhs c 1 c 2 c rhs Como el sistema tiene solución única c 1 =, c 2 = y c = se duce que la única forma combinar los vectores x s para que n el vector cero es la que tiene todos los coeficientes cero. Por tanto, el conjunto vectores es linealmente inpendiente

6 Indique si el siguiente conjunto vectores es linealmente inpendiente: x 1 =, x 2 = 5, x = Debemos ver cómo ben ser las constantes c 1, c 2 y c para que: c 1 x 1 + c 2 x 2 + c x = El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda: c 1 c 2 c rhs c 1 c 2 c rhs 1 1

7 Como el sistema tiene infinitas soluciones se duce que amás la solución c 1 =, c 2 = y c = be tener otras soluciones y en estas otras al menos un coeficiente c be ser diferente cero. Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cero la matriz reducida a ecuaciones se obtiene: c 1 + c = y c 2 + c = es cir, c 1 = c y c 2 = c. Dando a c un valor diferente cero (por ejemplo, c = 1) se puen obtener coeficientes (siguiendo el ejemplo, c 1 = y c 2 = ) que hacen que la combinación lineal el vector cero. x 1 + x 2 1 x = = Por tanto, el conjunto vectores es linealmente pendiente =

8 Usando como referencia los ejemplos anteriores (por la forma como se arma la matriz aumentada l sistema don se spejan los coeficientes la combinación lineal), se tiene el principal resultado para caracterizar conjuntos vectores linealmente inpendientes es el siguiente: 1 Sea A = {v 1, v 2,..., v k } un conjunto vectores en R n. Son equivalentes los siguientes hechos: El conjunto A es linealmente inpendiente. Tiene solución única el sistema [v 1 v 2 v k ] Tiene k pivotes la matriz reducida obtenida [v 1 v 2 v k ] Es cir, no hace falta colocar el vector columna ceros a la recha.

9 El siguiente resultado establece la relación entre el concepto conjunto vectores linealmente pendiente y lo que habíamos llamado en la introducción como redundancia. 2 Sea A = {v 1, v 2,..., v k } un conjunto vectores en R n. Son equivalentes los siguientes hechos: El conjunto A es linealmente pendiente. Hay por lo menos un vector en la lista vectores A que se pue obtener como una combinación lineal los otros vectores A. Siendo un conjunto vectores linealmente pendiente, la combinación lineal que da el vector cero y que tiene un coeficiente diferente cero, se pue spejar un vector y poner en función lineal los otros. Justo el vector que tiene coeficiente diferente cero es el se pue spejar. La clave para ello es que siendo un coeficientes diferente cero, tiene un inverso multiplicativo.

10 Ejemplo En referencia al resultado y aplicado al ejemplo 2 que tiene al conjunto vectores linealmente pendiente A = x 1 = Sabíamos que: por tanto,, x 2 = 5 x 1 + x 2 1 x = x = x 1 + x 2, x = Así el vector x es combinación lineal x 1 y x 2 (Los otros vectores A que quedan al remover a x ). Note también que como x 1 tiene coeficiente diferente cero en la combinación lineal, también es posible poner a x 1 como combinación lineal x 2 y x. Lo mismo para x 2.

11 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto vectores es linealmente pendiente: x 1 = 1, x 2 = 9 Solución El conjunto es linealmente pendiente porque el segundo vector es múltiplo escalar l primero.(x 2 = x 1 )

12 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto vectores es linealmente pendiente: x 1 = 4 1, x 2 =, x = 1 4 Solución El conjunto es linealmente pendiente porque el vector cero está en el conjunto: El vector cero se pue fabricar fácilmente con cualquier vector tomando como coeficiente cero x 2 = x 1

13 Ejemplo Para qué valor a el siguiente conjunto vectores es linealmente pendiente? {[ 1 ] [ 6, a ]} Solución Al formar la matriz aumentada y escalonar tenemos: [ ] [ ] a 12 + a El sistema tendrá solución infinitas cuando 12 + a =, es cir, cuando a = 12. Por tanto, para a = 12 el conjunto es linealmente pendiente. Mientras que para a 12 es linealmente inpendiente

14 Ejemplo Suponga que el conjunto A = {v 1, v 2, v, v 4, v 5 } es linealmente inpendiente. Será el conjunto linealmente inpendiente? B = {v 4, v, v 2 } Solución Cierto: Puesto que el conjunto es linealmente inpendiente, cualquier subconjunto él será linealmente inpendiente Si B fuera pendiente, una combinación con v 4, v y v 2 se pue extenr a una con todos los vectores: = c 4 v 4 + c v + c 2 v 2 = v 1 + c 2 v 2 + c v + c 4 v 4 + v 5 si hubiera un c i (c 2, c ó c 4 ), A sería pendiente.