MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Transformada Z. Departamento de Matemáticas. X (z) Z {a n x(n)} Linealidad. Atraso.

Transcripción

1 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } MA3002

2 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } En lo siguiente, representar sucesiones utiliaremos la notación en lugar {x n }; x(i) representará el valor l término i-ésimo la sucesión. Para nostros, las sucesiones representarán señales iales cuyo valor exacto en el tiempo t = n es conocido. Una señal o sucesión se dice causal si todos los valores anteriores al instante 0 son cero; es cir, si = 0 n < 0. Para una sucesión finiremos la transformada unilateral como la serie {} = n = x(0)+x(1) 1 +x(2) 2 +x(3) 3 + n=0 Para simplificar la notación, representaremos a las sucesiones por letras minúsculas, como, y a su transformada la representaremos simplemente como la letra mayúscula correspondiente aplicada a la variable compleja. Así {} =, {y(n)} = Y (), {h(n)} = H(), etc

3 {a n u(n)} Ejemplo 1 Consire la sucesión impulso unitario: δ(n) : δ(0) = 1, δ(1) = 0, δ(2) = 0, δ(3) = 0,... termine su transformada. 1 δ(n) {n } {a n } { n m=0 }

4 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Ejemplo 1 Consire la sucesión impulso unitario: δ(n) : δ(0) = 1, δ(1) = 0, δ(2) = 0, δ(3) = 0,... termine su transformada. 1 δ(n) Solución Directamente la finición tenemos que su transformada es la función = 1 (la función valor constante 1).

5 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Ejemplo 1 Consire la sucesión impulso unitario: δ(n) : δ(0) = 1, δ(1) = 0, δ(2) = 0, δ(3) = 0,... termine su transformada. 1 δ(n 3) Solución Directamente la finición tenemos que su transformada es la función = 1 (la función valor constante 1). De forma directa también tenemos que la transformada la función impulso unitario alantada m unidas, δ(n m), es: δ(n m) m, > 0

6 Ejemplo 2 Determine la transformada una sucesión cuyos únicos valores diferentes cero son: x(0) = 1.1, x(2) = 1.0, x(4) = 0.5 {a n u(n)} 1 {n } {a n } { n m=0 }

7 Ejemplo 2 Determine la transformada una sucesión cuyos únicos valores diferentes cero son: x(0) = 1.1, x(2) = 1.0, x(4) = 0.5 {a n u(n)} 1 {n } {a n } { n m=0 } Solución Los instantes don no es cero da las potencias negativas que aparecen en mientras que los valores son los coeficientes: = =

8 Ejemplo 3 Determine la transformada una sucesión geométrica la forma a n u(n) a > 1 {a n u(n)} 1 0 < a < 1 {n } {a n } { n m=0 }

9 Ejemplo 3 Determine la transformada una sucesión geométrica la forma a n u(n) a > 1 {a n u(n)} 1 0 < a < 1 {n } {a n } { n m=0 } Solución Directamente la finición: = a n n = n=0 ( a n=0 ) n =, > a a

10 Ejemplo 3 (resumen) a n u(n), > a a {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Región divergencia a, polo Región convergencia 0, cero

11 La transformada cumple la propiedad linealidad: Si y y(n) son sucesiones y a y b son constantes (No aparece n en ellas): {a + b y(n)} = a {} + b {y(n)} {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 }

12 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } La transformada cumple la propiedad linealidad: Si y y(n) son sucesiones y a y b son constantes (No aparece n en ellas): {a + b y(n)} = a {} + b {y(n)} Ejemplo 4 Tomando la transformada la sucesión geométrica a = e ω i tenemos: { e n ω i u(n) } = {(e ω i) n } u(n) = Como sen(ω n) = 1 2 i e i ω n 1 2 i ei ω n así: 1 2 {sen(ω n) u(n)} = i 1 e i ω 2 i e +i ω = e ω i, > 1 sen(ω) 2 2 cos(ω) + 1

13 Ejemplo 5 Determine la transformada la señal geométrica truncada: { a n 0 n n = o 0 n o + 1 n < {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 }

14 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Ejemplo 5 Determine la transformada la señal geométrica truncada: { a n 0 n n = o 0 n o + 1 n < En este caso {} = 1 + a a a no no = 1 + ( ) ( a + a ) 2 ( + + a = 1 ( ) a no+1 1 a ) no

15 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Ejemplo 5 Determine la transformada la señal geométrica truncada: { a n 0 n n = o 0 n o + 1 n < En este caso {} = 1 + a a a no no = 1 + ( ) ( a + a ) 2 ( + + a = 1 ( ) a no+1 1 a { a n 0 n n o 0 n o + 1 n < no+1 a no+1, > a no ( a) ) no

16 Ejemplo 6 Determine la transformada la señal: (0.1) n 0 n 5 = (0.1) n + (0.2) n 6 n 8 (0.2) n 9 n < {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 }

17 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Ejemplo 6 Determine la transformada la señal: (0.1) n 0 n 5 = (0.1) n + (0.2) n 6 n 8 (0.2) n 9 n < Para resolver el problema, basta observar que si x 1 (n) = 0.2 n U(n) y { (0.1) n 0 n 8 x 2 (n) = { 0 9 n < (0.2) n 0 n 5 x 3 (n) = 0 6 n < entonces = x 2 (n) + x 1 (n) x 3 (n) Por linealidad y las fórmulas la sucesión geométrica y geométrica truncada se obtiene el resultado.

18 {a n u(n)} una señal atrasada Consire una señal completa tal que su señal truncada u(n) tiene como transformada y m es un entero positivo entonces m 1 x(n + m) u(n) m m n n=0 {n } {a n } { n m=0 }

19 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } una señal atrasada Consire una señal completa tal que su señal truncada u(n) tiene como transformada y m es un entero positivo entonces Así m 1 x(n + m) u(n) m m n=0 n x(n + 1) u(n) x(0) x(n + 2) u(n) 2 2 x(0) x(1) x(n + 3) u(n) 3 3 x(0) 2 x(1) x(2)

20 una señal alantada Consire una señal completa tal que su señal truncada u(n) tiene como transformada a y m es un entero positivo entonces {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } x(n m) u(n) m + m m n=1 x( n) n

21 una señal alantada Consire una señal completa tal que su señal truncada u(n) tiene como transformada a y m es un entero positivo entonces {a n u(n)} x(n m) u(n) m + m m n=1 x( n) n {n } {a n } { n m=0 } Así x(n 1) u(n) 1 + x( 1) x(n 2) u(n) x( 1) + x( 2) u(n 1) u(n 2) ( 1) 1 u(n 3) 2 ( 1) u(n m) m ( 1)

22 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } u(n) x(n 3) x(n 3) u(n) x( 1) + 1 x( 2) + x( 3) n n n n

23 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } u(n) x(n 3) x(n 3) u(n) x( 1) + 1 x( 2) + x( 3) n n n n

24 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } dos señales Sean y h(n) dos señales se fine la convolución con h(n) como la señal y(n) tal que y(n) = + m=0 h(m) x(n m) Si la señal es causal, entoces x(n m) será cero m > n y hará que la suma que: y(n) = n h(m) x(n m) = h(0) +h(1) x(n 1)+ h(n) x(0) m=0

25 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } y(n) = h(n) x(6) Malla multiplicaciones x(5) Diagonales sumas x(4) x(3) x(2) x(1) x(0) y(0) y(1) y(2) y(3) y(4) y(5) y(6) h(0) h(1) h(2) h(3) h(4) h(5) h(6)

26 Ejemplo 7 Sean y h(n) sucesiones causales cuyos únicos elementos no cero son: x(0) = 2, x(2) = 1, x(3) = 1, h(0) = 2, h(1) = 1 y h(3) = 4. Determine y(n) = h(n). {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 }

27 Ejemplo 7 Sean y h(n) sucesiones causales cuyos únicos elementos no cero son: x(0) = 2, x(2) = 1, x(3) = 1, h(0) = 2, h(1) = 1 y h(3) = 4. Determine y(n) = h(n). Los únicos elementos no cero aparence en la gráfica productos. {a n u(n)} x(3) x(2) Malla multiplicaciones no cero Diagonales sumas {n } {a n } { n m=0 } x(0) y(0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6) h(0)h(1) h(3) Así, los únicos elementos no cero y(n) son: y(0) = 4, y(1) = 2, y(2) = 2, y(3) = (8) + ( 1) + ( 2) = 5, y(4) = +1, y(5) = 4, y(6) = 4

28 {a n u(n)} una convolución dos señales Sean u(n) y h(n) u(n) dos señales, entonces { u(n) h(n) u(n)} = { u(n)} {h(n) u(n)} {n } {a n } { n m=0 }

29 Ejemplo 8 Consire las sucesiones dos sucesiones geométricas = a n u(n) y h(n) = b n u(n) (con a b) termine su convolución. {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 }

30 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Ejemplo 8 Consire las sucesiones dos sucesiones geométricas = a n u(n) y h(n) = b n u(n) (con a b) termine su convolución. Solución Sabemos que Por tanto Así {} = { h(n)} = a y {h(n)} = a b = b a a b a + h(n) = 1 { { h(n)}} = a a b an u(n) + b b a bn u(n) b b a b

31 Multiplicación por el tiempo (n) Sea u(n) una señal entonces {n u(n)} = d ( { u(n)}) d {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 }

32 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Multiplicación por el tiempo (n) Sea u(n) una señal entonces Ejemplo 9 Así {n u(n)} = d ( { u(n)}) d {δ(n)} = 1 : {n δ(n)} = 0 {u(n)} = : {n u(n)} = 1 ( 1) 2 {a n u(n)} = : {n a n u(n)} = a a ( a) 2 {u(n k)} = k ( 1) : {n u(n k)} = k + 1 k k 1 ( 1) 2

33 {a n u(n)} Multiplicación por a n Sea u(n) una señal, entonces {a n u(n)} = { u(n)} = a {n } {a n } { n m=0 }

34 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Multiplicación por a n Sea u(n) una señal, entonces Ejemplo 10 De tenemos que {a n u(n)} = { u(n)} = a {u(n)} = {a n u(n)} = a 1 a 1 = a

35 {a n u(n)} Suma parcial términos la señal Sea u(n) una señal, si se construye la señal y(n) las sumas parciales la serie cuyos términos son los entonces {( n ) } {y(n) u(n)} = x(m) u(n) m=0 = { u(n)} 1 {n } {a n } { n m=0 }

36 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Suma parcial términos la señal Sea u(n) una señal, si se construye la señal y(n) las sumas parciales la serie cuyos términos son los entonces {( n ) } {y(n) u(n)} = x(m) u(n) m=0 = { u(n)} 1 Ejemplo 11 Si = ( 1) n u(n), y si y(n) = n m=0 x(m), entonces Por tanto {y(n)} = = y(n) = 1 2 u(n) ( 1)n u(n) = 1 2 (1 + ( 1)n ) u(n)

37 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } la señal a partir la transformada Sea u(n) una señal cuya transformada es, entonces x(0) = lim y x(1) = lim ( ( x(0))) Y si la ROC ( 1) contiene al cìrculo unitario = 1, entonces lim = lim (( 1) ) n 1

38 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Ejemplo 12 Si u(n) es la señal que tiene como transformada a Entonces = x(0) = lim ( +3 2 = 1 ) x(1) = lim ( = lim = lim = 5 Como los polos (raíces = 0) son y vemos que el valor 1 está en el círculo = 1. Por tanto, la ROC ( 1) no contiene al círculo = 1. Por tanto, no pomos aplicar el resultado calcular el valor ĺımite. )

39 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Ejemplo 13 Si u(n) es la señal que tiene como transformada a Entonces = x(0) = lim ( 2 +2 = 1 ) x(1) = lim = lim = 0 Como los polos (raíces = 0) son 1 = 1 + i y 2 = 1 i vemos que ninguna está en el círculo = 1. Por tanto, la ROC ( 1) sí contiene al círculo = 1: lim = lim ( n 1 1) = 0

40 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } una señal semiperiódica Sea u(n) una señal que es periódica con periodo N (N > 0); es cir que cumple toda n 0 que x(n + N) u(n + N) = u(n). Si x 1 (n) u(n) es la señal que es igual a u(n) sobre su primer período y es cero spués; entonces x(0) ( ) N { u(n)} = {x 1 (n)} N 1 N 2 N

41 {a n u(n)} {n } {a n } { n m=0 } Ejemplo 14 Si = ( 1) n u(n), entonces es semiperiódica con período N = 2 y x 1 (n) es la señal cuyos únicos valores no cero son x(0) = 1 y x(1) = 1. Por tanto, Por la propiedad anterior: {x 1 (n)} = 1 1 = ( 1)/ {} = ( 1) 2 ( 2 1) = + 1

42 {a n u(n)} {n } Capítulo 10 : D. Sundararajan: A practical approach to Signals and Systems John Wiley and Sons. Está puesto en reserva Biblioteca l Campus Monterrey. {a n } { n m=0 }