ANÁLISIS DE VARIABLE REAL

Transcripción

1 ANÁLISIS DE VARIABLE REAL Víctor Manuel Sánchez de los Reyes Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid

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3 Índice Los números reales, sucesiones y series 7 Los números naturales Inducción 7 2 Los números enteros y racionales 0 3 Sucesiones y series 2 4 Los números reales 5 4 Expresión decimal de los números racionales 5 42 Los números irracionales 6 43 Ordenación Intervalos 7 44 Supremo e ínfimo 8 45 Construcciones con números reales 9 46 El teorema de Bolzano-Weierstrass Subsucesiones Límites superior e inferior La propiedad de Cauchy 25 5 Series convergentes 29 5 Comparación de series de términos positivos Series alternadas Convergencia absoluta Criterios de convergencia 3 55 Producto de series 33 3

4 2 Funciones, límites y continuidad 39 2 Funciones reales de variable real Límites Continuidad 46 3 Derivación 5 3 Definiciones 5 32 Técnicas para el cálculo de derivadas Propiedades de las funciones derivables Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos locales El teorema del valor medio Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor Análisis local de una función derivable 62 4 Integración 67 4 Cálculo de primitivas La integral de Riemann El teorema fundamental del Cálculo Integrales impropias Aplicaciones de la integral Longitud de la gráfica de una función Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revolución Las funciones trigonométricas Las funciones logarítmica y exponencial 8 5 Sucesiones y series de funciones 83 5 Convergencia puntual Convergencia uniforme 84 4

5 53 Propiedades de la función límite Continuidad Integración Derivación Series de potencias 90 Bibliografía 95 5

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7 Tema Los números reales, sucesiones y series Los números naturales Inducción Definición Los números naturales son los números, 2, 3, y N designa a la colección de todos ellos Los axiomas de Peano constituyen una caracterización de N: En N hay un elemento distinguido, 2 Para cada n N está definido en N de manera única el siguiente de n, n +, que verifica n + 3 n + = m + implica que n = m 4 (Principio de inducción matemática) Si un subconjunto A de N verifica que A y, si k A, resulta también que k + A, entonces A = N Definición 2 Para definir la suma en N se procede así: se fija un elemento arbitrario n N y se trata de definir n + m cuando m recorre N Para ello se define n + = n + y n + m + = (n + m) + De forma análoga, las relaciones n = n y n m + = n m + n sirven para definir el producto Por otra parte, n > m significa que n = m+d para algún d N, y en estas circunstancias d se designa n m, y se llama diferencia de n a m El principio de inducción nos sirve para establecer que una determinada propiedad P (n) es verdadera para todo n N, de la forma siguiente: Comprobamos que P () es verdadera 7

8 2 Probamos que si P (k) es verdadera, entonces P (k + ) es verdadera En general, fijado n 0 N, podemos establecer que una propiedad P (n) es verdadera para cada n n 0 cuando se cumple: P (n 0 ) es verdadera 2 Si P (k) es verdadera (k n 0 ), entonces P (k + ) es verdadera O bien: P (n 0 ) es verdadera 2 Si P (i) es verdadera para cada i tal que n 0 i k, entonces P (k + ) es verdadera Definición 3 Dado n N se define el factorial de n como n! = n(n )(n 2) 2 Definición 4 Dados n N y k N {0} con k n se define el número combinatorio ( n k) como ( ) con la convención 0! = n k = n! k!(n k)! Los números combinatorios tienen las dos propiedades siguientes cuya comprobación es inmediata a partir de la definición anterior: ( ) ( n k = n 2 ( n+ k n k) ) ( = n ( k ) + n k) con 0 < k n A partir de la propiedad anterior se demuestra por inducción la fórmula de Newton: Teorema 5 Dado n N se tiene que (a + b) n = n Ejercicios k=0 ( n ) k a n k b k Calcula la suma de: a) Los n primeros números naturales b) Los n primeros números impares 8

9 c) Los n primeros cubos d) Los n primeros cuadrados e) Las potencias con exponente p N de los n primeros números naturales f ) Las potencias con exponente p N de los n primeros números impares 2 Prueba por inducción las siguientes igualdades y desigualdades, siendo en todos los casos n N: a) sen x nx (n+)x (sen x + sen 2x + + sen nx) = sen sen b) sen x 2 [ + 2(cos x + cos 2x + + cos nx)] = sen ( n + 2) x c) sen x nx (cos x + cos 2x + + cos nx) = sen 2 2 [ d) sen x 2 sen x + sen ( ) ( x + + sen n + 2 e) + n n n + f ) ( + a) n + an, siendo a > g) 2 2n > n 2 (n+)x cos 2 ) x ] = sen 2 (n+)x 2 h) 2 4 2n > 2n + 3 2n i) ( ) n k x k ( ) n k+ x k+ + +( ) n k( n n) x n 0, siendo 0 x y k = 0,,, n j ) n( + x) n = ( ( n ) + n ( 2) 2x + + n n) nx n k) n(n )( + x) n 2 = ( ( n 2) 2 + n ( 3) 3 2x + + n n) n(n )x n 2, siendo n 2 n l) k2 k = 2 + (n )2 n+ k= m) 2 n (n + )! n) n(n+) = ñ) n 2 = 3 Demuestra que x n = n n+ n 2n+ [( Prueba que para todo n N: ) n ( a) 2 2n + 5n es múltiplo de 9 b) 5 n es múltiplo de 4 c) 7 n 6n es múltiplo de 36 d) n 5 n es múltiplo de 5 e) n n+ es múltiplo de 33 f ) 2 2n+ + es múltiplo de 3 ) n ] 5 N para todo n N 2 9

10 g) 4 n n es múltiplo de 2 h) 0 6n n+ + es múltiplo de 5 Demuestra que cualquier número de botellas mayor que 7 se puede envasar en bolsas de 3 y 5 botellas 2 Los números enteros y racionales Se trata ahora de obtener el conjunto Z de los números enteros apoyándose en el ya conocido N Al par ordenado (a, b) de números naturales se asocia el entero positivo a b si a > b, 0 si a = b y el entero negativo (b a) si a < b Se observa así que a pares distintos puede asociarse el mismo número entero n Precisamente, se establece que la colección de tales pares constituye la identidad de n Definición 2 Las definiciones de suma, producto y ordenación en Z son las siguientes: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 2 (a, b) (c, d) = (ac + bd, bc + ad) 3 (a, b) > (c, d) significa que a + d > b + c Observación 22 Estas definiciones coinciden con las de N cuando se trata de enteros positivos y son independientes de la elección del par ordenado que representa a cada número A cada par ordenado (a, b) con b 0 de números enteros se asocia la fracción a b Definición 23 La suma y el producto de fracciones se define mediante y a b + c d = ad + bc bd a c b d = ac bd La fracción a se llama positiva si ab > 0, siendo positiva la suma y el producto de b fracciones positivas Que dos fracciones a y a son equivalentes significa que ab = a b La b b colección de todas las fracciones que son equivalentes entre sí se llama número racional, y el conjunto de todos ellos se designa por Q 0

11 Observación 24 En las definiciones de suma y producto de dos fracciones la sustitución de un término por una fracción equivalente produce un resultado equivalente Por esta razón, se establecen con tales definiciones la suma y el producto de números racionales Asimismo, las fracciones equivalentes a una positiva lo son también, el número correspondiente se llama positivo, y la colección de todos ellos se designa por Q + Que x Q + se denota también x > 0 Por otra parte, si una fracción a es tal que existe un entero n que verifica a = bn, b entonces cualquier fracción a equivalente a a verifica también que b b a = b n En estas circunstancias el número racional correspondiente se identifica con n, y de esta forma se puede considerar que Z Q También resulta que las definiciones que se han establecido en Q coinciden con las de Z cuando se refieren a los elementos de Q que se identifican con los enteros Las propiedades de la suma, el producto y la ordenación en Q son las siguientes: Propiedad asociativa de la suma: (x + y) + z = x + (y + z) 2 Propiedad conmutativa de la suma: x + y = y + x 3 x + 0 = x y x + ( x) = 0 ( x se llama opuesto de x, y está definido por a b representa a x El número x + ( y) se designa también x y y es el único z que verifica x = y + z) 4 Propiedad asociativa del producto: (xy)z = x(yz) 5 Propiedad conmutativa del producto: xy = yx si a b 6 x = x y xx = si x 0 (x se llama inverso de x, y está definido por b a si a b representa a x El número xy con y 0 se designa también x : y y es el único z tal que x = yz) 7 Propiedad distributiva: x(y + z) = xy + xz 8 Cada x Q verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y x > 0 (el valor absoluto de x, x, se define así: 0 = 0, y si x 0, x es el único número positivo del conjunto {x, x}) 9 Si x, y > 0, entonces x + y > 0 0 Si x, y > 0, entoces xy > 0 (Consecuencia de 8) Dados x, y Q, se verifica una y solo una de las relaciones x > y, x = y y x < y (x > y (o y < x) significa x y > 0)

12 2 (Consecuencia de 9) Propiedad transitiva del orden: si x > y e y > z, entonces x > z 3 Si x > y, entonces x + z > y + z 4 (Consecuencia de 0) Si x > y y z > 0, entonces xz > yz El valor absoluto tiene las siguientes propiedades: x + y x + y 2 xy = x y 3 (Consecuencia de ) x + y x y Finalmente, se verifica también la llamada propiedad arquimediana: dados x > 0 y n N, existe m N tal que mx > n Definición 25 Dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal si se puede establecer entre ellos una biyección Los conjuntos que tienen el mismo cardinal que N se llaman numerables Ejemplo 26 Q es numerable En efecto, basta con ordenar Q de la siguiente forma: 0,,, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 2 3, 2 3, 3 2, 3 2, 4, 4, Ejercicios Establece una biyección entre N y el conjunto A = {x Q : 2 < x < 3} 2 Demuestra que no existe x Q tal que x 2 = 2 3 Sean x, y Q + tales que x + y Q Prueba que x, y Q 4 Averigua si log 4 5 Q 3 Sucesiones y series Hay muchos procesos que llevan a asociar a cada n N un determinado número x n y se obtiene así un objeto x, x 2, x 3,, x n, llamado sucesión 2

13 La mayor parte de las veces una sucesión se determina mediante una fórmula para obtener x n a partir de n Por ejemplo: x n = ( n + n) Otras veces se indica qué número es x y qué fórmula permite obtener cada uno de los demás a partir del anterior Por ( x n + 2 x n ) En general se llama sucesión recurrente a aquella ejemplo: x = 2, x n+ = 2 en la que, a partir de alguno de sus términos, todos se obtienen mediante una fórmula (de recurrencia) que los relaciona con uno o varios términos precedentes Es necesario entonces indicar explícitamente los primeros términos y utilizar la fórmula a partir del siguiente No es necesario enumerar los términos de una sucesión a partir de Puede hacerse a partir de n 0 N, a partir de 0, etc Definición 3 Se dice que una sucesión x n es creciente (estrictamente creciente) si x n x n+ (x n < x n+ ) para todo n N y que es decreciente (estrictamente decreciente) si x n x n+ (x n > x n+ ) para todo n N Todos estos tipos de sucesiones se denominan sucesiones monótonas Definición 32 Una sucesión x n está acotada superiormente (inferiormente) si existe un número A tal que x n A (x n A) para todo n N Se dice entonces que A es una cota superior (inferior) de la sucesión Si x n está acotada superior e inferiormente se dice que está acotada La observación de una sucesión creciente y acotada superiormente nos sugiere que existe un número x al cual los términos de la sucesión se acercan cada vez más, llegando a estar tan próximos a él como se pueda desear Definición 33 Se dice que el número x es el límite de la sucesión x n o que x n converge a x y se expresa mediante lím x n = x si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal n que para todo n N con n n 0 se tiene que x n x < ɛ Se dice entonces que x n es convergente Las sucesiones que no son convergentes se denominan divergentes Definición 34 Se dice que la sucesión x n tiene límite + y se expresa mediante lím x n = + si para todo A > 0 existe n 0 N tal que para todo n N con n n 0 se n tiene que x n > A Análogamente se define que la sucesión x n tiene límite Definición 35 Dada la sucesión a n, se dice que s es la suma de la serie a n si la sucesión de sumas parciales s k = k con k N, converge a s Se dice entonces que dicha serie es convergente Si la sucesión de sumas parciales es divergente, se dice que la serie es divergente 3 a n

14 Ejercicios Demuestra que x n = es decreciente y que todos los términos n n+ n+2 n+n de la sucesión son menores que 2 2 Se considera la sucesión x n dada por x = y x n+ = 3 x n + 4 Demuestra que x n < 6 para todo n N y que x n es creciente 3 Sea la sucesión x n dada por x = 3 2 y x n+ = 2 x n Demuestra que x n 2 para todo n N y que x n es decreciente 4 Determina el límite de cada una de las sucesiones siguientes: a) x n = n+00 n 2 + b) x n = 2n+ 3n+500 c) x n = n d) x n = 2n2 +5n 3n 3 +2n+ e) x n = n3 n 2 00n f ) x n = 3n n Estudia la convergencia de: a), 0,, 0,, 0, b) x n = [ + ( ) n ] 2 n + [ + ( ) n+ ] n 2 6 Demuestra que las siguientes sucesiones son monótonas, acotadas y no tienen límite racional: ( a) x = 2, x n+ = x 2 n + 2 x n ) b) x n = 0! +! + 2! + + n! 7 Estudia la convergencia de: a) b) ( ) n n c) La serie geométrica at n d) e) n=0 n 3 n+ 2 n 3 4 n n=0 4

15 8 Demuestra que, dado k N, todas las sumas parciales de la serie menores que k!k 9 Demuestra que todas las sumas parciales de la serie 0 Dada la sucesión x n = n + n+ + n+2 n=k+ son menores que 2 n 2 son n! + +, calcula los cuatro primeros términos n+n de una serie cuyas primeras sumas parciales sean los cuatro primeros términos de x n 4 Los números reales 4 Expresión decimal de los números racionales Nos vamos a referir solamente a fracciones p tales que 0 < p < q ya que cualquier otra q fracción es la suma de un entero y una fracción de ese tipo El proceso de las divisiones sucesivas correspondiente a p q p q = 0p q 0 = = 0a + 0r q 0 2 = 0a + (a + r q ) se puede describir así: 0 (a 2 + r 2q ) = 0a a 2 + 0r = 0a q a 2 + = 0a a 2 a 3 + r 3 q 0 3 = 0 2 (a 3 + r 3q ) 0 3 Los restos sucesivos r n son todos menores que el divisor q, por lo cual, o bien se llega a un resto 0 y el proceso se termina, o bien se tiene que repetir alguno de los restos en las q primeras divisiones, y a partir de ahí el proceso es periódico Los cocientes a n son enteros no negativos menores que 0 Observación 4 La aplicación de este proceso a dos fracciones equivalentes produce la misma sucesión de cocientes Esto significa que tal sucesión viene determinada unívocamente por un número racional Por tanto, el proceso de las divisiones sucesivas determina una representación periódica 0a a 2 a r a r+ a r+2 a r+s a r+s+ en la que a partir de alguna posición un bloque de cifras (período) empieza a repetirse, es decir, a r+s+ = a r+, etc 5

16 Dicha representación infinita la interpretamos como la serie a n 0 n cuya suma parcial n-ésima es 0a a 2 a n Ya que p q = 0a a 2 a n + r n q 0 n y 0 r n < q para cada n N resulta 0 p q 0a a 2 a n < 0 n y esto prueba que la suma de la serie es p cuya representación decimal es la de partida q salvo que ésta tuviera período 9 De aquí se deduce que dos números racionales distintos no pueden tener la misma representación decimal Definición 42 El mayor entero menor o igual que x Q se denomina parte entera de x, y se designa por [x] Observación 43 Dado x Q, x [x] es un número racional no negativo y menor que 42 Los números irracionales Definición 44 Las expresiones decimales no periódicas las denominaremos números irracionales Ejemplos 45 Consideremos la sucesión x n del primer apartado del Ejercicio 6 de la sección anterior con límite irracional x Ya que x 2 n converge a 2, se tiene que x 2 = 2 debido a que x 2 n x 2 = x n + x x n x < 4 x n x Por tanto, x = 2 Usando que x n 2 = x2 n 2 x n + 2 < 2 n para todo n 3 podemos aproximar 2 con tantas cifras decimales exactas como se quiera 2 Al límite irracional x de la sucesión x n del segundo apartado del Ejercicio 6 de la sección anterior se le designa por e Usando el Ejercicio 8 de la sección anterior podemos aproximar e con tantas cifras decimales exactas como queramos 3 La relación entre la longitud de una circunferencia y la de su diámetro es un número irracional 3,4592 que se designa por π Definición 46 Los números racionales y los irracionales constituyen el conjunto R de los números reales 6

17 43 Ordenación Intervalos La ordenación de R se establece en los siguientes términos: Definición 47 x > y (o y < x) significa que [x] > [y], o bien [x] = [y] y en la primera posición en la que difieren las cifras de las partes decimales es mayor la cifra correspondiente a x Que x es positivo significa que x > 0, y R + designa al conjunto de los números reales positivos La relación x y (o y x) significa que x > y o bien x = y Observación 48 Sea x R con parte decimal 0a a 2 a 3 Las sumas parciales de la serie [x] + a n 0 n constituyen la sucesión creciente de números racionales x n = [x] + 0a a 2 a 3 a n la cual está acotada inferiormente por [x] y superiormente por x, y además converge a x, es decir, x es la suma de dicha serie Definición 49 Dados a, b R con a < b se definen los intervalos acotados de extremos a y b de la siguiente forma: (a, b) = {x R : a < x < b} [a, b] = {x R : a x b} (a, b] = {x R : a < x b} [a, b) = {x R : a x < b} El primero se denomina intervalo abierto, y el segundo, cerrado El número positivo b a se denomina longitud de cada uno de ellos Definición 40 Dado a R se definen los intervalos no acotados de la siguiente forma: (a, + ) = {x R : x > a} [a, + ) = {x R : x a} (, a) = {x R : x < a} (, a] = {x R : x a} (, + ) = R Dado n Z, consideremos el intervalo [n, n + ) Los diez intervalos disjuntos de la forma [n + k 0, n + (k + )0 ) con 0 k 9 se denominan intervalos de la primera generación Pertenecer al mismo intervalo de la primera generación significa tener igual la primera cifra decimal además de la parte entera Cada uno de los intervalos de la primera generación lo dividimos en diez intervalos de la segunda generación (los números del mismo intervalo coinciden en las dos primeras cifras decimales) y así sucesivamente Cualquier número de [n, n+) está determinado si se conocen los intervalos de las sucesivas generaciones a los que pertenece, pues ello equivale a conocer todas las cifras decimales del mismo Observación 4 No puede suceder que los intervalos de las sucesivas generaciones a los que un determinado número pertenece tengan el mismo extremo derecho desde uno de ellos en adelante, pues entonces tal número tiene período 9 7

18 Definición 42 Dados A, B conjuntos infinitos, se dice que el cardinal de B es mayor que el de A si existe una aplicación inyectiva de A en B y no existe una biyección de A en B Ejemplo 43 El cardinal de cualquier intervalo de números reales es mayor que el de N En efecto, sean (a, b) R, a k la primera cifra decimal de a menor que la correspondiente de b y a i la primera cifra decimal de a con i > k menor que 9 Definimos una aplicación inyectiva f de N en (a, b) mediante con n N f(n) = [a] + 0a a 2 a i + (a i + )0 i + 0 i + 0 i i n Y cualquier aplicación inyectiva f de N en (a, b) no es sobreyectiva ya que basta considerar un número de (a, b) que difiera en alguna cifra decimal con f(n) para todo n N 44 Supremo e ínfimo Definición 44 Sea A R, A Un número mayor (menor) o igual que cada elemento de A se llama cota superior (inferior) de A Cuando A tiene cota superior (inferior) se dice que está acotado superiormente (inferiormente) Cuando suceden ambas cosas se dice que está acotado Si A está acotado superiormente (inferiormente), puede haber un elemento máximo (mínimo) que se designa máx A (mín A) y que es mayor (menor) o igual que todos los demás Observación 45 No todos los conjuntos acotados tienen máximo y mínimo Por ejemplo, (0, ) Definición 46 Sea A R, A Se definen el supremo y el ínfimo de A mediante sup A = mín{c R : x C x A} e ínf A = máx{c R : x c x A} Observación 47 El intervalo [ínf A, sup A] contiene a A y cualquier intervalo cerrado contenido en éste y distinto de él no contiene a A Teorema 48 (Teorema del supremo (ínfimo)) Sea A R, A y acotado superiormente (inferiormente) Entonces existe sup A (ínf A) 8

19 Demostración Sea s el mínimo entero cota superior de A Si s A, entonces s = sup A En otro caso, [s, s) A Los demás elementos de A carecen de interés en orden a obtener el supremo Consideramos la descomposición de [s, s) en los diez intervalos de la primera generación y elegimos de ellos el situado más a la derecha entre los que tienen elementos de A Dividimos éste en los diez intervalos de la segunda generación y elegimos otra vez el situado más a la derecha entre los que tienen elementos de A Así continuamos indefinidamente Los intervalos de las sucesivas generaciones que se han ido encontrando, o bien definen un número que pertenece a todos y es claramente sup A, o bien desde uno en adelante todos tienen el mismo extremo derecho, el cual es sup A La prueba para ínf A se hace con un procedimiento análogo Observación 49 Los términos supremo e ínfimo se usan también para referirse a conjuntos A no acotados superiormente (sup A = + ) o inferiormente (ínf A = ) Observación 420 El supremo y el ínfimo de una sucesión se designan sup x n e ínf x n n N n N y son, respectivamente, el supremo y el ínfimo del conjunto constituido por los números que son algunos de sus términos Observación 42 El supremo de una sucesión creciente es su límite, al igual que el ínfimo de una decreciente 45 Construcciones con números reales Definición 422 Dados x, y R con partes enteras a 0 y b 0 y partes decimales 0a a 2 y 0b b 2 respectivamente, se define la suma x+y como el límite de la sucesión creciente y acotada superiormente (por ejemplo, por a 0 +b 0 +2) a 0 +b 0 +0a a 2 a n +0b b 2 b n Si x + y = 0, o bien y = x, se dice que y es el opuesto de x (y x el opuesto de y) La suma x + ( y) se expresa también de la forma x y Definición 423 El valor absoluto de x R, x, se define así: 0 = 0, y si x 0, x es el único número positivo del conjunto {x, x} Observación 424 Puesto que ( x) = x, resulta que x = x Por otra parte, la relación x < ɛ es equivalente a x < ɛ y x < ɛ, y lo mismo puede decirse de la relación x ɛ Proposición 425 (Desigualdad triangular) Si x, y R, entonces x + y x + y 2 Si x, y R, entonces x + y x y 3 Toda sucesión convergente está acotada 9

20 4 Si lím n x n = x y lím n y n = y, entonces lím n (x n + y n ) = x + y y lím n ( x n ) = x Demostración Basta usar la observación anterior y considerar los cuatro casos posibles, es decir, x, y 0, y < 0 x, x < 0 y y x, y < 0 2 Sustituyendo en la desigualdad triangular x por x y y después y por y se obtiene dicha desigualdad 3 Basta usar la desigualdad triangular 4 Idem Definición 426 Dados x, y R con partes enteras a 0 y b 0 y partes decimales 0a a 2 y 0b b 2 respectivamente, se define el producto xy como el límite de la sucesión a 0 b 0 + a 0 0b b 2 b n + b 0 0a a 2 a n + 0a a 2 a n 0b b 2 b n Obsérvese que los tres últimos sumandos constituyen sucesiones monótonas y acotadas, luego convergentes Proposición 427 Si x, y R, entonces xy = x y 2 Si lím n x n = x y lím n y n = y, entonces lím n (x n y n ) = xy 3 Para cada x R con x 0 existe su inverso x que verifica xx = 4 Si lím n x n = x 0 y x n 0 para todo N, entonces lím n x n = x 5 Si lím n x n = x, lím n y n = y y x n y n para todo n N, entonces x y 6 (Método del sandwich para calcular el límite de una sucesión x n ) Si y n x n z n para todo n N y lím y n = lím z n = x, entonces lím x n = x En particular, si n n n y x n z para todo n N y lím x n = x, entonces y x z n Demostración Trivial 2 Basta usar que x n y n xy = x n y n xy n + xy n xy, la desigualdad triangular y que toda sucesión convergente está acotada 20

21 3 Si a 0 y 0a a 2 son las partes entera y decimal de x, existen δ Q + y n 0 N tales que a 0 + 0a a 2 a n > δ si n n 0 La sucesión de números racionales (a 0 + 0a a 2 a n ) con n n 0 es monótona y acotada luego convergente a y Ya que las sucesiones x n = a 0 + 0a a 2 a n e y n = x n con n n 0 convergen a x e y respectivamente, la sucesión x n y n converge a xy, pero como x n y n = para todo n n 0 se tiene que xy =, es decir, y es el inverso de x 4 Esto se prueba usando que x n > x a partir de cierto término lo cual se tiene en 2 virtud de que x y x y con x, y R 5 Por reducción al absurdo 6 Basta usar 5 Observación 428 Si lím x n = x y lím y n = y y x n < y n para todo n N, entonces n n no necesariamente x < y Considérese por ejemplo x n = e y n n = 2 n Definición 429 Las potencias con exponente entero de x R se definen así: x 0 =, x n+ = x n x con n 0, y x n = (x ) n con n N Proposición 430 Si x R y n, m Z, entonces x n+m = x n x m y (x n ) m = x nm 2 Si x, y > 0 y n N, entonces x > y si y solo si x n > y n 3 Si lím n x n = x, entonces lím n x m n = x m con m N 4 Dados n N, n 2, y a > 0 existe un único x > 0 tal que x n = a, el cual se designa n a y se llama raíz n-ésima de a Demostración Trivial 2 Basta usar que x n y n = (x y)(x n + x n 2 y + + y n ) 3 Se obtiene aplicando reiteradamente que el límite de un producto de sucesiones convergentes es el producto de sus límites 2

22 4 Sea A = {x R + : x n a} ya que lím = 0 También A está acotado n n superiormente por si a o por a si a > con lo que existe sup A = x Supongamos que x n < a y sea { 0 < δ < mín, (a x n ) (( ) n x n + Usando la fórmula de Newton se tiene que (( ) n (x + δ) n < x n + δ x n + ( ) n x n ( ) n x n ( )) } n n ( )) n < a n lo cual contradice que sup A = x Consideremos ahora cualquier sucesión x m estrictamente creciente de números positivos y que converja a x Para cada m N se tiene que x m < x y existe algún elemento de A entre x m y x con lo que x m A y, por tanto, x n = lím m xn m a, es decir, x n = a La unicidad es consecuencia de la descomposición en factores de x n y n anterior Definición 43 Las potencias con exponente racional de a > 0 se definen así: a m n = n am y a m n = (a ) m n con m, n N Si a >, las potencias crecen al hacerlo el exponente y lím a n = + y lím a n = 0 Y si a <, las potencias decrecen al crecer el exponente n n y lím a n = 0 y lím a n = + Si x tiene parte entera a 0 y parte decimal 0a a 2, se n n define a x como el límite de la sucesión monótona y acotada a a 0+0a a 2 a n Si a x = y, a x se le llama logaritmo en base a de y, log a y De las construcciones hechas se llega a la siguiente caracterización axiomática de R: R es un conjunto en el que se han definido la suma y el producto de dos elementos, verificando dichas operaciones las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de la suma respecto del producto Existen elementos neutros (0 para la suma y para el producto), para cada x R existe x tal que x + ( x) = 0 (opuesto) y para cada x 0 existe x tal que xx = (inverso) 2 Cada x R verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y x > 0 Y si x, y > 0, entonces x + y, xy > 0 3 (Propiedad del supremo) Si A R, A y está acotado, entonces existe sup A La propiedad arquimediana es una consecuencia de estos axiomas: Proposición 432 (Propiedad arquimediana) Dados x, y R con x > 0, existe n N tal que nx > y 22

23 Demostración Sea A = {nx : n N} Si nx y para todo n N, A estaría acotado y existiría sup A Por tanto, existiría n 0 N tal que sup A x < n 0 x lo cual es una contradicción 46 El teorema de Bolzano-Weierstrass Dos sucesiones a n y b n creciente y decreciente respectivamente y tales que a n < b n para todo n N definen la sucesión de intervalos [a n, b n ] cada uno de los cuales contiene al siguiente por lo que se llaman intervalos encajados Ambas sucesiones son convergentes a a y b respectivamente por ser monótonas y acotadas, verificándose a b y siendo a = b si lím n (b n a n ) = 0 La intersección de dichos intervalos es [a, b] Teorema 433 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Sea A R infinito y acotado Existe x R y una sucesión x n cuyos términos pertenecen a A y son distintos dos a dos tales que lím n x n = x Demostración Por ser acotado, A [a, b ] Sea c = a +b Alguno de los intervalos 2 [a, c ] y [c, b ] debe contener infinitos elementos de A Lo designamos [a 2, b 2 ] Y así sucesivamente Existe un único x R que pertenece a todos los intervalos encajados [a n, b n ] pues lím (b n a n ) = 0 Eligiendo en cada intervalo [a n, b n ] un elemento x n de A distintos n dos a dos obtenemos una sucesión con la propiedad requerida Al número x del teorema anterior se le llama punto de acumulación de A lo cual se define de la siguiente forma: x R es punto de acumulación de A R si para cada intervalo abierto al que pertenece x también pertenece algún elemento de A distinto de x 47 Subsucesiones Definición 434 Dada una sucesión estrictamente creciente j(n) de números naturales, la sucesión y n = x j(n) se llama subsucesión de x n Observación 435 Si lím n x n = x [, + ], cualquiera de sus subsucesiones tiene el mismo límite Proposición 436 Para cada sucesión acotada x n existe alguna subsucesión convergente Demostración Sea A = {x n : n N} Si A es finito, entonces algún elemento de A se repite infinitas veces como término y, si se suprimen los demás, la subsucesión resultante es constante Si A es infinito, considerando la construcción hecha en la demostración del 23

24 teorema de Bolzano-Weierstrass, elegimos y = x, y 2 = x j(2) siendo j(2) > y tal que y 2 [a 2, b 2 ], y 3 = x j(3) siendo j(3) > j(2) y tal que y 3 [a 3, b 3 ], etc La subsucesión y n converge a x 48 Límites superior e inferior Definición 437 Dada una sucesión x n se definen sus límites superior e inferior de la siguiente forma: lím sup x n = lím sup x n m n m y lím inf x n = lím ínf x n m n m ( Observación ) 438 ( Los ) límites superior e inferior de x n están bien definidos pues sup x n e ínf x n son sucesiones decreciente y creciente respectivamente n m n m m N m N Proposición 439 lím inf x n lím sup x n y si hay igualdad, entonces lím n x n = lím sup x n = lím inf x n 2 lím inf x n = lím sup( x n ) 3 Si x j(n) es una subsucesión de x n, entonces lím inf x n lím inf x j(n) lím sup x j(n) lím sup x n 4 Si A es el conjunto de números que son el límite de alguna subsucesión de x n, entonces lím sup x n = sup A y lím inf x n = ínf A 5 Si x n y n con n N, entonces lím sup x n lím sup y n y lím inf x n lím inf y n 6 lím sup(x n + y n ) lím sup x n + lím sup y n y resulta la igualdad si alguna de las dos sucesiones converge 7 lím inf(x n + y n ) lím inf x n + lím inf y n y resulta la igualdad si alguna de las dos sucesiones converge 8 Si lím n x n = x > 0, entonces lím sup(x n y n ) = x lím sup y n Demostración Trivial 24

25 2 Idem 3 Para demostrar la primera desigualdad siendo x n acotada basta razonar por reducción al absurdo y considerar ɛ < lím inf x n lím inf x j(n) El caso no acotado es trivial La tercera desigualdad se obtiene de forma análoga 4 Es consecuencia de que hay subsucesiones de x n que convergen a lím sup x n y subsucesiones que convergen a lím inf x n 5 Obvio 6 La desigualdad se tiene gracias a que x n + y n sup x n + sup y n para todo m N n m n m y todo n m Sea ahora lím x n = x y lím sup y n = y Si y no es finito se obtiene n con facilidad la igualdad En caso contrario, dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que x n + y n < x + y + ɛ si n n 0 y existen infinitos términos de la sucesión x n + y n en el intervalo (x + y ɛ, x + y + ɛ) lo cual prueba la igualdad 7 Es suficiente utilizar el apartado anterior y que lím inf z n = lím sup( z n ) para toda sucesión z n 8 Supongamos que lím sup y n es finito pues en caso contrario la demostración se obtiene sin dificultad Ya que x 0, una subsucesión y j(n) de y n es convergente si y solo si es convergente x j(n) y j(n) Resulta entonces { } lím sup(x n y n ) = sup lím (x j(n)y j(n) ) { n } = sup x lím y j(n) n { = x sup = x lím sup y n lím n y j(n) donde el supremo está tomado sobre todas las subsucesiones convergentes de y n } 49 La propiedad de Cauchy Definición 440 Una sucesión x n tiene la propiedad de Cauchy si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que para todos n, m n 0 se tiene que x n x m < ɛ Proposición 44 Las sucesiones convergentes tienen la propiedad de Cauchy 25

26 2 Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy están acotadas 3 Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy son convergentes Demostración Sea x n una sucesión convergente a x Basta con usar que x n x m = x n x + x x m y la desigualdad triangular 2 Sea x n una sucesión con la propiedad de Cauchy Existe n 0 N tal que para todos n, m n 0 se tiene que x n x m < Si n n 0, entonces x n x n x n0 + x n0 < + x n0 con lo que x n máx{ x, x 2,, x n0, + x n0 } para todo n N 3 Sea x n una sucesión con la propiedad de Cauchy, luego acotada, con lo que sus límites superior e inferior son finitos Supongamos que lím inf x n < lím sup x n y sea ɛ = 3 (lím sup x n lím inf x n ) Para cada n 0 N existen n, m n 0 tales que x n < lím inf x n + ɛ y x m > lím sup x n ɛ por lo que x m x n > ɛ lo cual es contradictorio con que x n tenga la propiedad de Cauchy Ejercicios Sea x = 3, Determina la representación decimal de x [ x] 2 Si A R, A designa al conjunto cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A Demuestra que ínf A + sup( A) = 0 siendo A acotado 3 Dada una sucesión x n, prueba que y que sup x n = lím máx(x, x 2,, x n ) n N n ínf x n = lím mín(x, x 2,, x n ) n N n 4 Sean A, B R con A, B tales que x y para todo x A e y B Prueba que existen sup A e ínf B y que sup A ínf B 5 Determina si los siguientes subconjuntos de R están acotados superior o inferiormente y, en caso afirmativo, calcula supremo e/o ínfimo: 26

27 a) A = {x R : (x 3)(2 x) < 4x 2 + 2x + } b) B = { n + : n, m N} m { } c) C = : n, m N 2 n 2 + (2m ) 2 6 Dados A, B R, se define el conjunto C = {a + b : a A, b B} Prueba que si A y B están acotados, entonces C también está acotado y expresa sup C e ínf C en términos de sup A y sup B y de ínf A e ínf B respectivamente 7 Prueba que dada una sucesión x m de números positivos tal que lím x m = x se tiene m que lím n xm = n x con n N m 8 Prueba que si x 0, entonces lím n x n = x si y solo si lím n x nx = 9 Pueden ser 0 infinitos términos de una sucesión que converge a un número distinto de 0? 0 Calcula los límites superior e inferior de las siguientes sucesiones: a) x n = ( + n) sen nπ + ( ) 2 n cos nπ 2 b) 2, 3, 2 3, 4, 2 4, 3 4,, k, 2 k,, k k, k+, c) x n = cos n 2nπ 3 d) x n = n + 2 ( )n n Sea x n una sucesión de números positivos tal que x n+m x n + x m para todo n, m N Prueba que la sucesión xn es convergente n 2 Sean x n una sucesión acotada e y n = x +x 2 + +x n Prueba que lím sup y n n lím sup x n y que lím inf x n lím inf y n 3 Dado a > 0, demuestra los siguientes resultados: a) lím n x n = 0 si y solo si lím n a xn = b) Si lím n x n = x, entonces lím n a xn = a x c) lím n x n = si y solo si lím n log a x n = 0, siendo x n > 0 para todo n N d) Si lím x n n n N = x, entonces lím n log a x n e) Si lím x n = x y lím y n = y, entonces lím n n todo n N 27 = log a x, siendo x n, x > 0 para todo n x n y n = x y, siendo x n, x > 0 para

28 4 Sea x n una sucesión de términos no nulos con lím x n = ± Demuestra que n ( lím + ) xn = e n x n 5 Calcula el límite de las siguientes sucesiones: a) x n = n a siendo a > 0 b) x n = a n siendo a > 0 c) x n = 0n n! d) x n = n n e) x n = p n + p n con p N f ) x n = n 2 + n n g) x n = n( n n + n n) h) x n = n( n e ) i) x = 3, x n+ = + xn j ) x >, x n+ = 2 x n k) x =, x n+ = 2 + x n l) x n = ( n ( ) 2n 3n2 m) x n = 3 5 2n 3 n) x n = ( n + sen n) n+3) n+2 ñ) x n = ( cos n) n o) x n = ( cos n) n 2 p) x n = log(+ n) a siendo a, b 0 sen b n q) x n = en! [en!] a 6 Demuestra que si a n es una sucesión de términos positivos tal que lím n+ n a n = λ, entonces lím n a n = λ Como aplicación calcula los límites de las sucesiones n siguientes: a) x n = n n! b) x n = n n 7 (Criterio de Stolz) Demuestra que si b n es una sucesión de términos positivos tal que la sucesión b + b b n no está acotada y a n es cualquier sucesión tal que a lím n a n bn = λ, entonces lím +a 2 + +a n n b +b 2 + +b n = λ Como aplicación calcula los límites de las sucesiones siguientes: 28

29 a) x n = log n n b) x n = n n 5 Series convergentes Proposición 5 Si la serie a n es convergente, entonces lím n a n = 0 Demostración Ya que la sucesión de sumas parciales verifica la propiedad de Cauchy, j dado ɛ > 0, existe k 0 N tal que si i, j k 0, con i < j, entonces a n < ɛ Tomando j = i + se tiene el resultado n=i+ 5 Comparación de series de términos positivos Proposición 52 Si 0 < a n b n para todo n N y b n es convergente, entonces a n es también convergente Demostración La sucesión de sumas parciales de a n es creciente y acotada superiormente Proposición 53 Sean a n y b n dos series de términos positivos a Si lím n n bn = λ > 0, entonces ambas series tienen el mismo carácter, es decir, o ambas son convergentes o ambas son divergentes a 2 Si lím n n bn Demostración = 0 y b n es convergente, entonces a n es también convergente Existe n 0 N tal que λ 2 b n < a n < 3λ 2 b n para todo n n 0 La Proposición 52 nos da el resultado 2 Existe n 0 N tal que a n < b n para todo n n 0 La Proposición 52 nos da el resultado 29

30 52 Series alternadas Definición 54 Si a n es una sucesión de números positivos, a las series ( ) n a n y ( ) n a n se les llama series alternadas Proposición 55 Si a n es una sucesión decreciente de números positivos y convergente a 0, entonces las series alternadas ( ) n a n y ( ) n a n son convergentes Demostración Vamos a considerar la segunda serie alternada Un razonamiento análogo puede hacerse con la primera Basta observar que las subsucesiones s 2k y s 2k, con k N, son decreciente y creciente, respectivamente, y que s 2k > s 2k para todo k N, con lo que la sucesión de intervalos encajados [s 2k, s 2k ] tiene como intersección de todos ellos un único número s (por converger a cero la longitud de los mismos) que es la suma de la serie 53 Convergencia absoluta Definición 56 Se dice que la serie a n es absolutamente convergente si la serie a n es convergente Observación 57 Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente porque en virtud de la desigualdad triangular tiene la propiedad de Cauchy Definición 58 Si j : N N es una biyección, se dice que la serie a j(n) es una reordenación de la serie a n Teorema 59 Si la serie a n es absolutamente convergente y tiene suma s, cualquier reordenación suya a j(n) tiene también suma s Demostración Sean s k y s k las respectivas sucesiones de sumas parciales de a n y a j(n) Ya que la serie a n tiene la propiedad de Cauchy, dado ɛ > 0 existe k 0 N tal que si i, j k 0, con i < j, entonces j n=i+ a n < ɛ Consideramos los subíndices j(), j(2),, j(k ) hasta que entre ellos estén, 2,, k 0 Si k > k, entonces se tiene s k s k < ɛ 30

31 Definición 50 Se dice que la serie a n es condicionalmente convergente si converge pero la serie a n diverge Teorema 5 (Riemann) Si la serie a n es condicionalmente convergente, entonces para todo α R existe una reordenación suya a j(n) cuya suma es α Demostración Sean p n y q n las series de los términos positivos y negativos de a n, respectivamente Ya que la serie a n es condicionalmente convergente, ambas son divergentes Dado α 0 (la demostración para α < 0 es análoga) tomamos n como el primer natural tal que n p n > α Entonces n p n α p n Ahora tomamos m como el primer natural tal que n p n + m q n < α Por tanto, α n p n m indefinidamente con este procedimiento obtenemos una reordenación de a n cuya serie converge a α ya que lím n a n = 0 p,, p n, q,, q m, p n +,, p n2, q n q m Continuando 54 Criterios de convergencia Proposición 52 (Criterio de la raíz) Si lím sup n a n <, entonces a n es absolutamente convergente 2 Si lím sup n a n >, entonces a n es divergente Demostración Sea lím sup n a n < t < Existe n 0 N tal que n a n < t si n n 0 con lo que a n < t n Aplicando la Proposición 52 se obtiene el resultado 2 Si lím sup n a n >, hay infinitos términos de la sucesión a n mayores que por lo que a n no converge a 0 3

32 Proposición 53 (Criterio del cociente) Si lím sup a n+ a n <, entonces 2 Si lím inf a n+ a n >, entonces Demostración a n es absolutamente convergente a n es divergente Sea lím sup a n+ a n < t < Existe n 0 N tal que a n+ < t a n si n n 0 con lo que a n0 +n < t n a n0 para todo n N Aplicando la Proposición 52 se obtiene el resultado 2 Si lím inf a n+ a n >, existe n 0 N tal que a n+ > a n si n n 0 por lo que a n no converge a 0 Proposición 54 (Criterio de Raabe) ( ) Si lím inf n a n+ a n >, entonces a n es absolutamente convergente ( ) 2 Si lím sup n a n+ a n <, entonces a n es divergente Demostración ( Sea lím inf n a n+ a n ) > t > Existe n 0 N tal que n a n n a n+ > t a n para n n 0 Considerando las desigualdades anteriores para n = n 0, n 0 +,, n 0 + m y sumando primeros miembros por un lado y segundos por el otro se obtiene fácilmente que a n0 + + a n a n0 +m < n 0 a t n 0 para todo m N con lo que la sucesión de sumas parciales de la serie a n0 +n está acotada obteniéndose el resultado 2 Existe n 0 N tal que (n ) a n < n a n+ si n n 0 Aplicando sucesivamente esta desigualdad se obtiene que a n0 +n+ > (n 0 ) a n0 n 0 para todo n N lo cual +n nos da el resultado en virtud de la Proposición 52 32

33 Proposición 55 (Criterio de Dirichlet) Si a n es una sucesión decreciente de números positivos convergente a 0 y la sucesión de sumas parciales de la serie b n está acotada, entonces la serie a n b n es convergente k Demostración Sea C > 0 tal que b n C para todo k N Dados i, j N con i < j se tiene que j n=i+ a n b n = a i+ i b n + j n=i+ (a n a n+ ) n b m + a j m= j b n 2Ca i+ Ya que la sucesión a n converge a 0, la sucesión de sumas parciales de la serie a n b n tiene la propiedad de Cauchy Proposición 56 (Criterio de Abel) Si la serie a n es convergente y la sucesión b n es monótona y acotada (luego convergente a b), entonces la serie a n b n es convergente Demostración Supongamos que b n es decreciente, luego la sucesión c n = b n b es decreciente y convergente a 0 Se tiene que a n b n = (a n c n + ba n ) con lo que aplicando el criterio de Dirichlet se obtiene el resultado El otro caso es análogo 55 Producto de series Definición 57 Dadas dos series a n y b n se define su producto como la serie n=0 n=0 c n donde c n = n a k b n k n=0 k=0 Proposición 58 Si a n es absolutamente convergente y tiene suma s, y b n es n=0 convergente y tiene suma r, entonces la serie producto c n tiene suma sr Demostración Sean s k, r k y t k las sucesiones de sumas parciales de a n, n=0 n=0 n=0 b n y n=0 c n n=0 respectivamente Se tiene que t k = s k r + k a i (r k i r) para todo k N por lo que basta i=0 33

34 comprobar que el sumatorio anterior converge a 0 Dado ɛ > 0 existe k 0 N tal que r k r < ɛ si k k 0 Si k > k 0, k a i (r k i r) = i=0 k k 0 i=0 a i (r k i r) + k i=k k 0 + a i (r k i r) El segundo sumatorio es la suma de k 0 sucesiones que convergen a 0 y el valor absoluto del primero es menor que ɛ a n Por tanto, para todo ɛ > 0 n=0 k k k 0 lím sup a i (r k i r) lím sup a i (r k i r) ɛ a n i=0 i=0 n=0 Ejercicios Calcula la suma de cada una de las series siguientes: a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j ) n=0 2 n 3 n n(n+) na n siendo 0 < a < n=2 n=3 (n+) n+n n+ 2 n (+2 n )(+2 n ) n 2 +5n+7 (n+2)! 4n (n+2)(n ) 2 3n 2 +8n+6 (n+2)! n n!(n+2) n 2 3 n 2 (Criterio de condensación de Cauchy) Demuestra que si a n es una sucesión decreciente a 0, entonces las series a n y 2 n a 2 n tienen el mismo carácter 34

35 3 Prueba que si la serie a n es convergente y la sucesión a n es decreciente, entonces lím na n = 0 n 4 Estudia la convergencia de: a) La serie armónica b) c) d) e) f ) g) h) i) j ) k) n=2 n+00 n(log n) p n n+ n 2 n 3 + a n n a siendo a > 0 (n+) n n n 2 n! a n n! n n siendo a > 0 3 (2n ) 2 4 (2n) n! a(a+)(a+2) (a+n ) n p siendo a > 2 l) log 2 + log n m) n) ñ) o) p) q) cos n n log ( ) + n n 3 +cos 2 n n n ( n n ) n n=3 n=2 n log log n tag ( 2n+ 4 π) log n log n+ n + 35

36 r) s) n=2 sen n log n sen (n2 +) 2 π n 3 5 Reordena la serie 6 Demuestra que ( ) n n ( ) n n para que sea divergente = log 2 7 Dada una serie convergente a n de términos no negativos, prueba que converge si p > Da un contraejemplo para p = Es también convergente 2 2 an a n+? 8 Estudia la convergencia y la convergencia absoluta de las series siguientes: a) b) c) d) e) a n n! n!a n sen n n 2 ( n n+) n 2 2 ( n) 9 Sea A = {n k : k N} la colección de números naturales que no tienen la cifra 0 en su representación decimal Prueba que n k converge y tiene suma menor que 90 0 Si Si k= a n diverge, demuestra que na n también diverge a n converge absolutamente, prueba que las series siguientes también: a) b) c) a 2 n a n +a n si a n para todo n N a 2 n +a 2 n 36 an n p

37 2 Estudia la convergencia de: a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j ) k) l) m) n) ñ) o) p) q) r) n 2 + n! cos n ( a + b n) con 0 < a < π 2 n 2 + na n con a 0 3 n n 2 + ( n+ ) n 3 n an+b con an + b 0 para todo n N n(n+)(n+2) +sen 2 an n 2 sen n n n+ n n n(n+) n 2 +2n ( n) n+ n 3 cos /n ( a ) n n n! n=2 n=2 n(+/2+ +/n) +/2+ +/n n 3 log n (log n) 2n log n+ n e n

38 s) t) u) v) w) x) y) z) n=2 (log n) p a n n ( ) n +/2+ +/n ( ) n (n+) n! (n 2 +)a n (n+)! ( e /n2 e /(n2 +) ( ) n+ n n 2 + (n!) 2 a 2n (2n)! ) 38

39 Tema 2 Funciones, límites y continuidad 2 Funciones reales de variable real Definición 2 Una función f definida en A R y que toma valores en B R, f : A B, es una regla que asocia unívocamente a cada x A un numero real f(x) B que se llama imagen de x A A se le llama dominio de f y se denota por dom(f) Se llama rango o recorrido de f al conjunto rang(f) = f(a) = {y B : x A tal que f(x) = y} Finalmente, se llama gráfica de f al subconjunto del producto cartesiano A B formado por los pares (x, f(x)) con x A Ejemplos 22 Los términos de una sucesión a n pueden interpretarse como las imágenes de los números naturales mediante una función f cuyo dominio es N, es decir, f(n) = a n para cada n N 2 La función f definida en A R tal que f(x) = x para cada x A se llama identidad de A Se tiene que dom(f) = rang(f) = A 3 Una función tal que todas las imágenes son el mismo número se llama función constante Definición 23 Se dice que una función f : A B es inyectiva si para cualesquiera x, y A con x y, entonces f(x) f(y) Y se dice que es sobreyectiva si f(a) = B Si f es inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva Definición 24 Dada una función biyectiva f : A B, se define su función inversa f : B A de la siguiente forma: f (y) = x siendo f(x) = y 39

40 Observación 25 Si una función f es biyectiva, claramente su inversa también lo es y la inversa de f es f Observación 26 Las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes Observación 27 Si la función f : A B es inyectiva y no biyectiva, la función f : A f(a) es biyectiva Definición 28 A dos funciones f : A B y g : B C se asocia una nueva función g f : A C llamada la composición de f con g, y que está definida mediante (g f)(x) = g(f(x)) para cada x A De forma análoga se define una cadena f n f n f 2 f de n funciones Como caso particular se tienen las iteraciones f n de una función f : A A consistentes en componer f consigo misma n veces Definición 29 La función f : A B está acotada superiormente si existe C R tal que f(x) C para todo x A Y está acotada inferiormente si existe c R tal que f(x) c para todo x A Si f está acotada superior e inferiormente se dice que está acotada Si existe x 0 A tal que f(x) f(x 0 ) para todo x A se dice que f tiene en x 0 un máximo absoluto y que f(x 0 ) es el máximo de f Análogamente se define mínimo absoluto Definición 20 La función f : A B tiene en x 0 A un máximo (mínimo) relativo o local si existe δ > 0 tal que f(x) f(x 0 ) (f(x) f(x 0 )) para cualquier x (x 0 δ, x 0 + δ) A Las operaciones aritméticas con funciones que tienen el mismo dominio se definen para cada x del mismo a través de la correspondiente operación aritmética con las imágenes de x Definición 2 La función f : A B es cóncava si f(λx + ( λ)x 2 ) λf(x ) + ( λ)f(x 2 ) para cualesquiera x, x 2 A y λ [0, ] Y es convexa si se tiene la desigualdad contraria Definición 22 Una función f se llama periódica si existe T > 0 tal que f(x + T ) = f(x) para cada x y el menor T con esta propiedad se llama periodo 40

41 Definición 23 La función f : A B es creciente (estrictamente creciente) si f(x ) f(x 2 ) (f(x ) < f(x 2 )) siempre que x < x 2 Y es decreciente (estrictamente decreciente) si f(x ) f(x 2 ) (f(x ) > f(x 2 )) siempre que x < x 2 Todas estos tipos de funciones se denominan funciones monótonas Ejercicios Construye una función cuyo dominio sea [0, ] y cuyo recorrido sea [, 2] 2 Cuántas funciones se pueden definir con dominio {, 2, 3} y recorrido {4, 5}? 3 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones definidas en A, indicando en cada caso el recorrido: a) f(x) = x, A = [, ] b) f(x) = x [x], A = [ 2, 3] 4 Sean f : R R una función y A, B R Estudia si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas: a) f(a B) = f(a) f(b) b) f(a B) = f(a) f(b) c) f(a \ B) = f(a) \ f(b) d) f (A B) = f (A) f (B) e) f (A B) = f (A) f (B) f ) f (A \ B) = f (A) \ f (B) 5 Calcula f(a) y f (B) en los siguientes casos: a) f(x) = 3x 5, A = [, 2] y B = [0, + ) b) f(x) = x 2, A = ( 2, 3] y B = ( 4, ) 6 Estudia si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas: a) f(x) = x x b) f(x) = x c) f(x) = x x Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x 2 b) f(x) = x 2 4

42 c) f(x) = x + x 2 d) f(x) = x x 2 e) f(x) = x 2 + x 2 f ) f(x) = g) f(x) = x 2 x (x )(x 2) (x 3)(x 4) h) f(x) = arc sen(x ) i) f(x) = log x2 5x+6 x 2 +4x+6 j ) f(x) = log 5x x2 4 8 Determina f f, f g, g f y g g en cada uno de los siguientes casos: a) f(x) = x 2 y g(x) = x { si x 0 b) f(x) = si x < 0 y g(x) = x { { 0 si x 0 0 si x 0 c) f(x) = x si x > 0 y g(x) = x 2 si x > 0 9 Sea f(x) = x Calcula f 2 (x) y f 3 (x) 0 Sea f(x) = x +x 2 Calcula f n (x) Halla el intervalo máximo en el que está definida la función f(x) = log log log log x 2 Calcula la función inversa de f(x) = x x 2 con x (0, ) 3 Es posible construir una función definida en el intervalo [0, ] que sea acotada y no tenga máximo ni mínimo absolutos? 22 Límites Definición 22 Supongamos que f es una función definida en un intervalo I y que c es un número interior a I, o bien un extremo de I, o bien + si I no está acotado por la derecha, o bien si I no está acotado por la izquierda Se dice que L es el límite de f cuando x tiende a c, lím x c f(x) = L, si cada sucesión de números del dominio de f, distintos de c, cuyo límite es c se transforma mediante f en una sucesión que tiene límite L Si c es interior a I o un extremo de I, se dice que L es el límite lateral por la derecha de f cuando x tiende a c, lím f(x) = L, si cada sucesión de números del x c + 42