Límites de una función

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1 Límites de una función Introducción Comenzaremos a analizar la definición del límite finito de tendencia finita a través de un ejemplo. Consideremos la función f. Observemos su regla de asignación y su representación gráfica: Vemos que si tomamos valores de x cerca de 3, pero diferentes de 3, los valores de las imágenes están "cerca" o "se aproximan" a 1. En esta situación, se dice que Observemos lo siguiente: el límite de f(x) cuando x tiende a 3 es 1 Si tomamos en el eje vertical un entorno de centro 1 y radio 0,5, tenemos que 0,5 < f ( x) < 1,5 es decir 0,5 < x 5 < 1,5 Ahora sumamos 5 en cada parte: 0,5 5 < x 5 5 < 1,5 5 y operamos: 5,5 < x < 6, 5 Luego dividimos entre :, 75 < x < 3, 5 Observemos que 3 0, 5 < x < 3 0, 5 x es decir: 3, 0,5 Pero como dijimos que x no puede valer 3, el entorno es reducido por lo tanto: x 3, 0,5 De la misma manera podríamos haber tomado un épsilon menor aún, lo que implicaría una mayor aproximación a 1, para lo cual los valores de x deben estar más próximos aún a 3. En general, podemos proponernos tomar, para cualquier > 0, f ( x ) entre 1 y 1 9

2 Para eso, razonamos análogamente a la parte anterior: 1 < f ( x) < 1 1 < x 5 < 1 (con x 3) 6 < x < 6 3 < x < 3 E. Si a este radio le llamamos, para todo positivo podemos hallar Encontramos que x debe pertenecer a un 3, positivo tal que para todo x 3, con 3 < x < 3, tendremos que 1 < f ( x) < 1. Si utilizamos la definición de entorno, tenemos que: Para todo E 1, existe un E 3, tal que si x Por cumplirse esto, decimos que E3,, entonces f ( x) E1, En el ejemplo podemos observar que f (3) 1, por lo tanto, f (3) no tiene necesariamente que coincidir con aun existiendo el límite, puede no existir f (3). lim f (3). Y Ejercicio Sea f : R { a} R / f ( x) x 1 x 1 a) Halla a para que f sea función. b) Haz un bosquejo de la función. c) Intuye cuál es el límite cuando x tiende a -1. d) Halla positivo, tal que si x E1, f ( x),0.5 Definición de límite (primera aproximación) límite finito de tendencia finita Consideramos una función real f y dos números reales a y b. Otras maneras de escribir esto: Son equivalentes a < x < a, con x a x Ea, < x a <, con x a x a < Son equivalentes b < f ( x) < b f ( x) b, < f ( x) b < f ( x) b < 10

3 Ejercicio 1) Hacer un dibujo que permita "visualizar" la definición. ) Analizar las equivalencias que muestran las tablas 3) Indicar Verdadero o Falso y justificar: Sea f : R R / f ( x) 3x y 4 x Veremos dos ejemplos sencillos: Ejemplo 1 Utilizar la definición para probar que a) > 0 > 0 / < x < 4 < f ( x) < 4 b) > 0 > 0, < x < 4 < f ( x) < 4 c) x f ( x), 0,1 4, 0,3 d) > 0 / > 0, < x < 4 < f ( x) < 4 lim3x 4 x Debemos probar que para todo > 0 dado, existe un 0 > tal que (3x ) 4 < siempre que 0 < x <. Dado que la elección de depende de, es necesario establecer una relación entre (3x ) 4 y x Operando, tenemos que (3x ) 4 3x 6 3 x. Así que para cada > 0 dado, podemos tomar Y esto funciona, porque x Ejemplo Utilizar la definición para probar que < implica que (3x ) 4 3 x < lim x x 4 Debemos probar que para todo > 0 dado, existe un > 0 tal que x 4 < cuando 0 < x <.. 3 Para encontrar un apropiado, comencemos por escribir Para todo x del intervalo (1,3), sabemos que x < 5. x x x 4. Por lo tanto, tomando igual al mínimo entre y 1, resulta que, si 0 < x <, se tiene que 5 4 < ( 5) 5 x x x Figura del ejercicio 1 Figura del ejercicio 11

4 Teorema de unicidad del límite El límite de una función, si existe, es único. b b b ' b' Lo demostraremos por absurdo, suponiendo que b b' y llegando a una contradicción con la hipótesis. De esta manera, si suponer que no se cumple la tesis, contradecimos la hipótesis, concluimos que la tesis tiene que ser cierta. Para esto, entonces, consideremos dos entornos disjuntos Eb, y Eb ',. Para que estos entornos sean disjuntos, debe b' b cumplirse que b < b ', lo que implica que <. Con en estas condiciones, apliquemos la definición: b Eb, Ea, / x 1 a, f ( x) 1 b, b ' E E / x f ( x) x Sea min { 1, } b, a, a, b, a, se cumple que f ( x) f ( x) b, b',, pero f ( x ) no puede pertenecer a ambos entornos a la vez, porque los supusimos disjuntos. Hemos llegado a una contradicción. Dicha contradicción se produjo al suponer que b b', por lo tanto b b ', Q.E.D. Ejercicio Si lim( ax 1) a 1 y lim( ax 1) a 3 a 3, halla el o los valores de a. Teorema de conservación del signo En un entorno de un punto, la función tiene el mismo signo que su límite. lim f ( x ) b 0 a, / x E a,, entonces sg( f ( x)) sg( b) A pesar de que su demostración es sencilla, no demostraremos este teorema. Límites laterales Consideremos la función f x 1, si x < : R R / f ( x) 1 si x Existe x? Qué ocurre con los valores de f ( x ) a medida que x se acerca a por valores menores que? Y qué ocurre cuando x se acerca a por los mayores que? La situación de esta función en un entorno de muestra la necesidad de definir límites laterales. Límite lateral derecho ( límite por derecha ) b si E E / x f ( x) b, b, a, b, Límite lateral izquierdo ( límite por izquierda ) b si E E / x f ( x) b, b, a, b, Una conclusión importante es que: Si existen los límites laterales y son iguales, entonces existe el límite. El recíproco es válido. 1

5 Límite infinito de tendencia finita 1 f : R 1 R / f ( x). ( x 1) Consideremos la función { } Como podemos observar, esta función no existe en 1, pues no es posible efectuar la división entre cero. Sin embargo, veamos qué ocurre al tomar valores de x próximos a 1 (menores y mayores). Para ello, construiremos una tabla de valores: x f ( x ) x f ( x) 0,9 0,99 0,999 1,01 1,001 1, 0001 Podemos obtener imágenes mayores que si x pertenece a un entorno de centro 1 y qué radio? Para todo K real existe un entorno reducido de centro 1 y radio tal que para todo x que pertenezca a ese entorno, tenemos que f ( x) > K. Es decir. Esto conduce a la siguiente definición: Definición de límite infinito de tendencia finita lim f ( x ) K R E a, / x E f a, ( x ) K > si si. En forma análoga puede definirse los límites infinitos laterales. Límite finito de tendencia infinita Consideremos la función f : R x / f ( x) R x 1. Mediante un razonamiento análogo al realizado en la función anterior, podemos investigar qué ocurre con f ( x ) a medida que tomamos valores grandes de x. Podemos utilizar una tabla de valores e intuir el resultado: x f ( x) Como podemos observar, a medida que x se acerca al infinito, los valores de f ( x ) se acercan al valor 1,5. Esta situación está representada en el gráfico de la derecha y ya es conocida por nosotros: se trata de la función racional, cuyas asíntotas tienen por ecuación x 1/ e y 3 / Esto conduce a la siguiente definición: Definición de límite infinito de tendencia infinita b si Eb, existe H R tal que si x > H, entonces f ( x) b,. En forma análota puede definirse este límite cuando x tiende a, lo que queda a cargo del lector. Para terminar las combinaciones de límites y tendencias, veamos la siguiente definición: 13

6 Límite infinito de tendencia infinita Consideremos la función f : / f ( x) x 3 R R. Inspeccionando el gráfico adjunto podemos ver que si x toma valores grandes, f ( x ) también toma valores grandes. Es decir: si x tiende a, entonces f ( x ) también tiende a. Esto nos conduce a la siguiente definición: Definición de límite infinito de tendencia infinita si K R existe H R tal que si x > H, entonces f ( x) > K. En forma análoga podemos definir las restantes combinaciones de signo, lo que queda a cargo del lector: Definir, y. x x Algunos ejercicios Para cada una de las funciones representadas, indica el dominio y los límites que se indican. Dominio: x Dominio: lim g( x) lim g( x) x lim g( x) lim g( x) x x Dominio: x 1 x 1 x 1 14

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