Apuntes de Variable Compleja y Análisis de Fourier 2 o ETSI Telecomunicación (Universidad de Málaga)

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1 Apuntes de Variable Compleja y Análisis de Fourier 2 o ETSI Telecomunicación (Universidad de Málaga) Carlos García Argos (cgasoft@yahoo.com) Curso 1999/2000

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3 Índice general 1. El número complejo Definición y representación geométrica Operaciones con números complejos Representación geométrica Algunas definiciones Propiedades Formas polar y exponencial del número complejo Forma trigonométrica Forma polar de un número complejo Operaciones en polares Razones trigonométricas Razones hiperbólicas Funciones logarítmicas Potenciación Topología del plano complejo Funciones de variable compleja Definición de función de variable compleja Límites y continuidad Continuidad de funciones elementales Derivación Definición Propiedades de las derivadas Funciones analíticas Condiciones de Cauchy-Riemann Derivabilidad de funciones elementales Algunas definiciones Puntos singulares Integración Introducción: curvas y conjuntos conexos Integral curvilínea Propiedades Teorema de Cauchy-Goursat

4 4 ÍNDICE GENERAL Teorema de Cauchy para dominios múltiplemente conexos Derivadas sucesivas de funciones analíticas Teorema de Green Teorema de Green en el plano Forma compleja del teorema de Green Teoremas fundamentales Teorema de Morera Teorema del módulo máximo Desigualdad de Cauchy Teorema de Liouville Teorema fundamental del Álgebra Fórmulas integrales de Poisson Fórmula integral de Poisson para un círculo Fórmulas integrales de Poisson para un semiplano Series Series numéricas Series de funciones Convergencia uniforme Series de potencias Convergencia Teoremas generales de convergencia Teoremas sobre convergencia absoluta Criterios de convergencia Teoremas sobre convergencia uniforme Teoremas sobre series de potencias Series de Taylor Series de Laurent Clasificación de singularidades Principio de los ceros aislados Residuos Definición Cálculo de residuos Teorema de los residuos Cálculo de integrales reales utilizando el teorema de los residuos Integrales de la forma R (x) dx Integrales de la forma 2π 0 R (senθ, cosθ) dθ Integrales de la forma R (x) cosmx dx; R (x) senmx dx; R (x) eix dx Integrales de la forma 0 R(x) x a dx con 0 < a < Valor principal de Cauchy para integrales

5 ÍNDICE GENERAL 5 8. Transformaciones conformes Función conforme: teorema de caracterización Teorema de la aplicación de Riemann Transformaciones elementales Traslación Lineal Inversión Bilineal (homografías) Otras transformaciones Exponencial Logarítmica Potencial El problema de Dirichlet Series de Fourier Introducción Funciones periódicas Función absolutamente integrable Desarrollo en Series de Fourier Teorema de localización de Riemann Teorema de Dirichlet Desarrollos en series de Fourier: casos simplificados Funciones pares Funciones impares Función periódica de periodo 2T Series de Fourier de funciones no periódicas Forma compleja Integral de Fourier Fórmula de la integral de Fourier Teorema de inversión Transformada de Fourier Definición Transformadas seno y coseno Propiedades de la transformada de Fourier Linealidad Cambio de escala Traslación Transformadas sucesivas Transformada de la derivada Producto de convolución Propiedades Teoremas sobre el producto de convolución

6 6 ÍNDICE GENERAL

7 Capítulo 1 El número complejo 1.1. Definición y representación geométrica Un número complejo es un par de números reales: C = {(a, b) a, b R} (a, b) = (c, d) a = c; b = d Operaciones con números complejos 1. Suma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 2. Producto: (a, b) (c, d) = (a c b d, a c + b d) 3. División: (a,b) (c,d) = (a,b) (c, d) (c,d) (c, d) Representación geométrica El punto en el plano se conoce como el afijo del número complejo. R R {0} R R = C Si definimos un número real a como (a,0) y definiendo i=(0,1): z = (a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) = a + bi Algunas definiciones Módulo del número complejo z = (a, b) Conjugado z = a 2 + b 2 (1.1) Argumento z = (a, b) Arg(z) = θ = θ + 2kπ (1.2) Es el ángulo que forma el vector con el eje real positivo en el sentido contrario a las agujas del reloj. 7

8 8 CAPÍTULO 1. EL NÚMERO COMPLEJO Propiedades 1. z = z 2. z z = (a + bi) (a bi) = a 2 + b 2 = z 2 3. z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 4. z 1 z 2 = z 1 z 2 5. z 1 z 2 = z 1 z 2 ; z1 z 2 = z 1 z 2 6. z 1 + z 2 z 1 + z 2 7. z 1 z 2 z 1 z Formas polar y exponencial del número complejo z = (a, b) = a + bi z = r θ r = a 2 + b 2 ; tgθ = b a Existen dos números complejos con el mismo módulo y argumento, pero no son iguales: (a, b) y ( a, b) Forma trigonométrica z = r (cosθ + i senθ) (1.3) Forma polar de un número complejo e z = e a+bi = e a e bi ; e bi = cosb + i senb (Fórmula de Euler) e z = e a (cosb + i senb) r (cosθ + i senθ) = r e iθ (1.4) Propiedades: 1. e z = e a ; arg (e z ) = b 2. z R e z R 3. z 1, z 2 e z1+z2 = e z1 e z2 4. e 2kπi = 1 2kπi = cos (2πk) + i sen (2πk) = 1 5. e z+2kπi = e z (Las exponenciales complejas no son inyectivas)

9 1.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Operaciones en polares 1. Suma: no se puede hacer 2. Producto: z 1 = ρ θ ; z 2 = r α z 1 z 2 = ρ θ r α = (ρr) θ+α 3. División: ρ θ r α = Y β ; ρ θ = Y β r α = (r Y ) α+β+2kπ ρ θ { Y = ρ r β = θ α ( ρ = r α r (θ α) ( ) ( ) ( ) 4. Potencias: z n = (a + bi) n n n n = a 0 n + a 1 n 1 (i b) (i b) n n i p = i 4r+s = i 4r i s = i s En forma polar: z = r θ ; z n = (r θ ) n = (r n ) n θ Trigonométrica: (r (cosθ + i senθ)) n = r n (cos (nθ) + i sen (nθ)) Fórmula de Moivre 5. Raíces: z = r θ n z = n r θ = X α r θ = (X α ) n = (X n ) nα, por tanto: r = X n X = n r; θ = nα α = θ n n rθ = ( n r) θ+2kπ n Un número complejo tiene n raíces n-ésimas. Si tenemos una circunferencia de radio n r y la dividimos en n partes iguales, uniendo los afijos obtenemos un polígono regular de n lados. ) 1.3. Razones trigonométricas e ia = cosa + i sena (1.5) Se obtiene, sumando o restando: e ia = cosa i sena (1.6) Para z C: cosa = +e eia ia 2 sena = e eia ia 2i cosz = +e eiz iz 2 senz = e eiz iz 2i tgz = senz cosz Estas relaciones verifican las propiedades fundamentales de la trigonometría: 1. sen 2 z + cos 2 z = 1 2. sen (z ± w) = senz cosw ± cosz senw 3. cos (z ± w) = cosz cosw senz senw 4. sen ( z) = senz; cos ( z) = cosz 5. senz = 0 z = kπ 1.4. Razones hiperbólicas Se definen de forma similar el seno, coseno y tangente hiperbólicas: coshz = ez +e z 2 senhz = ez e z 2 tghz = senz cosz Y las propiedades fundamentales, de forma análoga a las trigonométricas: 1. cosh 2 z senh 2 z = 1 2. senh (z ± w) = senhz coshw ± coshz senhw 3. cosh (z ± w) = coshz coshw ± senhz senhw 4. senh ( z) = senhz; cosh ( z) = coshz

10 10 CAPÍTULO 1. EL NÚMERO COMPLEJO 1.5. Funciones logarítmicas e x = y; lny = x Exponencial: C C Vamos a restringir el dominio de la exponencial para que sea inyectiva: H p = R [p, p + 2π) C; f : H p C f(z) = e z Ahora no se puede dar el caso que e z = e z+2kπi ya que el intervalo no contiene ningún punto que cumpla eso. Definimos de la siguiente forma el logaritmo de un número complejo z: Donde argz es uno de los argumentos del número complejo z. lnz = ln z + i argz (1.7) Tal y como hemos definido antes el argumento, Argz = θ + 2kπ, ln z + i Argz es el conjunto de todos los logaritmos de un número complejo distinto de 0. Expresaremos el conjunto de todos los logaritmos de un número complejo z como: donde θ es el argumento de z que está en [p, p + 2π). Lnz = ln z + i Argz = ln z + i (θ + 2kπ) (1.8) Por tanto, para cada valor de k lo que se tiene es una rama del logaritmo del número complejo z. El valor k=0 corresponde a la rama principal del logaritmo, y su valor es el valor principal. log w z = k = lnz lnw (1.9) Propiedades: 1. ln (z 1 z 2 ) = lnz 1 + lnz 2 2. ln z1 z 2 = lnz 1 lnz 2 3. lnz n = n lnz 1.6. Potenciación z w = e w lnz (1.10) Ejemplo: i 2i = e 2i(ln1+i( π 2 +2kπ)) = e 2( π 2 +2kπ) = e π+4kπ k Z Si nos lo piden en la rama principal, hacemos k= Topología del plano complejo Dado z 0 C, r R, se define como entorno de centro z 0 y radio r al conjunto: B (z 0, r) = {z C/ z z 0 < r}. Se extienden las definiciones de la recta real al plano complejo, tales como punto interior, adherente, etc., y conjuntos abiertos, cerrados, compactos,... En la recta real, el infinito se entiende a partir de sus entornos, para cualquier k, un entorno de infinito es el conjunto {x R/x > k} = (k, ).

11 1.7. TOPOLOGÍA DEL PLANO COMPLEJO 11 Para extender esta definición al plano complejo, veamos otra forma de representación gráfica del conjunto de los números complejos, la esfera de Riemann. Si dibujamos una esfera tangente al plano complejo, sea P el punto tangente a la esfera y N el diametralmente opuesto a P. Trazando rectas que unen N con cualquier punto de la esfera recorremos todo el plano complejo. Si S es la esfera, podemos establecer la correspondencia biunívoca C S N de forma que al punto M del plano le corresponde el M de la esfera. El conjunto de los números complejos lo podemos representar ahora sobre el conjunto S-N (quitando de la esfera el polo N). El punto del infinito complejo sería el punto N que le falta a la esfera. Así, un entorno de infinito sería la proyección de los casquetes esféricos centrados en N sobre el plano complejo.

12 12 CAPÍTULO 1. EL NÚMERO COMPLEJO

13 Capítulo 2 Funciones de variable compleja 2.1. Definición de función de variable compleja f : A C C z A w = f (z) C (un solo valor) Función uniforme o univalorada Dom (f) = {z A/f (z) tenga sentido} Ejemplos: f (z) = 1 z 7 definida en C {7} f (z) = 1 z 2 +4 definida en C {2i, 2i} Si z A, z = x + iy: f (z) = f (x + iy) = w = u (x, y) + i v (x, y) 2.2. Límites y continuidad Definición: z 0 es punto de acumulación de A si B (z 0, r) A Definición: límite: Forma topológica: / } z B (z0, δ) A lím f (z) = L si δ, ɛ > 0 B (z 0, δ) f (z) B (L, ɛ) z z 0 z z 0 Propiedades de los límites: lím z z 0 f (z) = L ɛ > 0 δ > 0 / 0 < z z 0 < δ f (z) L < ɛ lím f (z) = L z 0 = x 0 + iy 0, f (z) = u (x, y) + i v (x, y) z z 0 1. lím z z0 f (z) = L { lím (x,y) (x 0,y 0) u (x, y) = H lím (x,y) (x 0,y 0) v (x, y) = K 13

14 14 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 2. El límite, si existe, es único 3. Si lím z z0 f (z) = L y lím z z0 g (z) = L : a) lím z z0 (f (z) ± g (z)) = L ± L b) lím z z0 a f (z) = al a C c) lím z z0 f (z) g (z) = LL d) lím z z0 f(z) g(z) = L L L 0 Límites en el infinito: lím f (z) = ó lím f (z) = L z z 0 z (S-N C: esfera de Riemann) N punto del infinito complejo. Un entorno de N será un casquete esférico de la esfera de Riemann centrado en N. Esta zona se corresponde con el exterior de los círculos centrados en el origen del plano complejo y de radio M>0, suficientemente grande. Los entornos de infinito son los conjuntos {z/ z > M}. Continuidad: f : A C C f continua en z 0 A si: - f (z 0 ) - lím z z0 f (z) y f (z 0 ) = lím z z 0 f (z) Propiedades de las funciones continuas: Sean f : A C C y g : A C C continuas en z 0 A 1. Si f (z) = u (x, y) + i v (x, y) lím z z 0 f (z) = f (z 0 ) = u 0 + i v 0 f continua en z 0 { lím(x,y) (x0,y 0) u (x, y) = u 0 = u (x 0, y 0 ) lím (x,y) (x0,y 0) v (x, y) = v 0 = v (x 0, y 0 ) 2. f ± g, f g y f g (g 0) son continuas 3. Regla de la cadena: A f C g C z 0 f (z 0 ) g (f (z 0 )) f continua en z 0, g continua en f (z 0 ) g f continua en z f continua en A f (z), f (z) continuas en A. 5. f continua en A C compacto (cerrado y acotado) f acotada en A, o lo que es lo mismo, z A, f (z) M, para un M>0. Continuidad uniforme: f : A C C (univalorada) es uniformemente continua en A si: ɛ > 0 δ > 0 / z, z A siendo z z < δ f (z) f (z ) < ɛ Propiedad fundamental: Si f es uniformemente continua en A, entonces f es continua en A. Por otro lado, si f es continua en A, siendo A cerrado y acotado, entonces f es uniformemente continua en A.

15 2.3. CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES Continuidad de funciones elementales 1. Polinomios: P (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n. Si se escribe separándola en parte real e imaginaria, ambas son polinomios reales, por lo que las funciones polinómicas son continuas. 2. Funciones racionales: f (z) = P (z) Q(z). Continua en los puntos en los que Q (z) no se anule. 3. Funciones exponenciales: f (z) = e z. Escrita como f (z) = u (x, y) + i v (x, y) = e x cosy + ie x seny, tanto u como v son continuas en R 2, por lo que f es continua. 4. Funciones logarítmicas: f (z) = lnz = ln z + iargz. Definiendo f (z) = u (r, θ) + i v (r, θ) = lnr + iθ, siendo u y v continuas, lo será también f (z) si z 0 con θ (α, α + 2π). No será continua en la semirrecta θ=α ya que en todo entorno de uno de los puntos de dicha semirrecta toma valores arbitrariamente próximos a α y a α+2π. Las funciones f (z) = z p y g (z) = p z se definen a través del logaritmo, así que serán continuas donde lo sea lnz. 5. Funciones trigonométricas: f (z) = senz y g (z) = cosz son continuas ya que están definidas según las exponenciales, mientras que tgz es continua menos en los puntos tales que cosz = 0, es decir, en z = π 2 + kπ, con k Z. 6. Funciones hiperbólicas: igual que en el caso anterior, son continuas en tanto se definen según operaciones con exponenciales, teniendo en cuenta el caso de tghz.

16 16 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

17 Capítulo 3 Derivación 3.1. Definición Dado U, conjunto abierto del plano complejo, f (z) función de U en C y z 0 un punto de U. f (z) es derivable en z 0 si existe: f (z 0 ) es la derivada de f en el punto z 0. Además, debe ser z = z 0 + h U. f (z) f (z 0 ) f (z 0 + h) f (z 0 ) lím = lím = f (z 0 ) z z 0 z z 0 h 0 h Extendiendo la definición, decimos que f es derivable en U si lo es para cada z U. A la función que hace corresponder a cada z U su derivada se la llama función derivada, f (z) Propiedades de las derivadas Sean f (z), g (z) derivables en z 0 y a, b C: 1. af + bg es derivable en z 0 y (af + bg) (z 0 ) = af (z 0 ) + bg (z 0 ). 2. fg es derivable en z 0 y (fg) (z 0 ) = f (z 0 ) g (z 0 ) + f (z 0 ) g (z 0 ) 3. Si g (z 0 ) 0, f g es derivable: ( f g ) (z 0 ) = f (z 0)g(z 0) f(z 0)g (z 0) (g(z 0)) Regla de la cadena: f (z) derivable en z 0 y g (z) derivable en f (z 0 ): g f derivable en z 0 y (g f) (z 0 ) = g (f (z 0 )) f (z 0 ). Si f (z) es derivable en z 0, entonces es continua en ese punto Funciones analíticas Una función f (z) es analítica en un punto z 0 si es derivable en todos los puntos de algún entorno de z 0. Si existe f (z) en todo punto z de un conjunto U, se dice que es analítica en U. También se las llaman funciones regulares u holomorfas Condiciones de Cauchy-Riemann Dada f (z) = u (x, y) + i v (x, y) definida en un conjunto abierto U, y sea z 0 = a + ib U. f es derivable en z 0 si, y sólo si, tanto u (x, y) como v (x, y) son diferenciables en (a, b) y se verifica: u v u v (a, b) = (a, b) y (a, b) = (a, b) (3.1) x y y x 17

18 18 CAPÍTULO 3. DERIVACIÓN Y el valor de la derivada en el punto queda: f (z 0 ) = u v v (a, b) + i (a, b) = (a, b) i u x x y y Se llama punto singular de una función f (z) a todo punto z 0 para el que en todo entorno suyo, existe un punto en el que f no es derivable. Si f (z) = u (x, y) + i v (x, y) es analítica en un abierto, tanto u (x, y) como v (x, y) son armónicas en dicho conjunto Derivabilidad de funciones elementales 1. Funciones polinómicas: las funciones polinómicas son enteras, y la derivada de z n es nz n 1, por lo que la derivada de P (z) = a 0 + a 1 z a n z n es P (z) = a 1 + 2a 2 z na n z n Funciones exponenciales: f (z) = e z = e x (cosy + iseny), o lo que es lo mismo: u (x, y) = e x cosy y v (x, y) = e x seny Dado que tanto u como v son diferenciables para todo (x, y) R 2, y además: u x = e x cosy = v y y u y = e x seny = v x. Por tanto, la función exponencial es entera y f (z) = u x + i v x = ez. 3. Funciones trigonométricas e hiperbólicas: La función senz se definía: f (z) = senz = eiz e iz y es entera por ser combinación de funciones enteras. Su derivada sería: 2i f (z) = ieiz + ie iz 2i = eiz + e iz 2 = cosz De la misma forma, si f (z) = cosz, f (z) = senz, y si f (z) = tgz, f (z) = cos 1 z = 1 + tg2 z. Esta última es derivable en C { π 2 + kπ, k Z}. Para las funciones hiperbólicas: f (z) = senhz; f (z) = coshz f (z) = coshz; f (z) = senhz f (z) = tghz; f 1 (z) = cosh = 1 2 z tgh2 z, si coshz 0 4. Funciones logarítmicas: f (z) = lnz es continua en todo el plano complejo menos en z = 0 y en la semirrecta correspondiente a θ = p siendo la rama del logaritmo [p, p + 2π). No es derivable en el origen de coordenadas y en la semirrecta. En los puntos en los que es derivable, su derivada es: f (z) = e ( iθ 1 r + i 0) = re 1 = 1 iθ z 3.4. Algunas definiciones Puntos singulares Un punto en el que f (z) deja de ser analítica se llama punto singular o singularidad de f. Hay varios tipos: 1. Singularidades aisladas: Se dice que el punto z = z 0 es una singularidad aislada o punto singular aislado si δ > 0 / z z 0 = δ no encierre puntos singulares distintos de z 0. Si no puede encontrarse δ, el punto es una singularidad no aislada. 2. Polos: Si se puede encontrar un entero positivo n tal que lím z z0 (z z 0 ) n f (z) = A 0, entonces se dice que z 0 es un polo de orden n. Si n = 1, a z 0 se le llama polo simple. Si g (z) = (z z 0 ) n f (z) siendo f (z 0 ) 0 y n un entero positivo, z 0 es llamado un cero de orden n de g (z). Si n = 1, se le llama cero simple. En este caso, z 0 es un poco de orden n de 1 g(z).

19 3.4. ALGUNAS DEFINICIONES Puntos de ramificación: Las funciones multívocas (o multivaloradas) tienen varias ramas en las que son unívocas. Si se establece una barrera (o varias) que limite las ramas, el punto común a dichas barreras se llama punto de ramificación, y también constituye un punto singular. 4. Singularidades evitables: z 0 es una singularidad evitable de f (z) si existe lím z z0 f (z). 5. Singularidades esenciales: Una singularidad que no sea ninguna de las anteriores es una singularidad esencial. 6. Singularidad en el infinito: El tipo de singularidad de f (z) en z = es el mismo que el de f ( 1 w ) en w = 0.

20 20 CAPÍTULO 3. DERIVACIÓN

21 Capítulo 4 Integración 4.1. Introducción: curvas y conjuntos conexos Se llama arco a una aplicación γ de un intervalo cerrado [a, b], de R en C. γ (t) = α (t) + iβ (t) ; t [a, b]. Si α y β son derivables con continuidad, el arco es diferenciable, y su longitud es: L = Un arco es simple si no se corta a sí mismo. Un arco es cerrado si γ (a) = γ (b). b a (α (t)) 2 + (β (t)) 2 dt Un arco es diferenciable a trozos si γ es una función continua y existe una partición del intervalo: a = t 0 < t 1 <... < t n = b tal que γ es derivable con continuidad en cada subintervalo de la partición. Entenderemos el sentido positivo de recorrido de un arco, curva o camino (los tres significan lo mismo) como el contrario al de rotación de las agujas del reloj. Un conjunto se dice conexo si dados dos puntos contenidos en él, existe un arco diferenciable a trozos que los une y que está totalmente contenido en el conjunto. Proposición: si D es un conjunto abierto y conexo, se verifica que no existen dos subconjuntos abiertos A y B no vacíos y disjuntos tales que A B = D. Proposición: si D es un conjunto abierto y conexo, los únicos subconjuntos de D que son abiertos y cerrados son el vacío y el propio D. Se dice que un conjunto A (contenido en C) es simplemente conexo si su complementario en C es conexo. O lo que es lo mismo, es un conjunto sin agujeros. Un conjunto simplemente conexo es conexo, pero no al revés. Llamaremos a un conjunto no simplemente conexo múltiplemente conexo. Un conjunto D es un dominio si es abierto y conexo Integral curvilínea Vamos a definir primero la integral de una función compleja de variable real. Dada g (t) = x (t) + iy (t) diremos que es integrable en un intervalo [a, b] si lo son x (t) e y (t), definiendo: b g (t) dt = b x (t) dt + i b a a a y (t) dt Veamos ahora el concepto de integral de línea de una función compleja o integral compleja. 21

22 22 CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN Dado el arco diferenciable C definido por z (t) = x (t) + iy (t) ; t [a, b] y una función de variable compleja f (z) = u (x, y) + iv (x, y) continua sobre un conjunto que contenga a C. La integral de línea de f (z) a lo largo de C se define: f (z) dz = C = b a b (u (x (t), y (t)) + iv (x (t), y (t))) (x (t) + iy (t)) dt (u (x (t), y (t) x (t)) v (x (t), y (t)) y (t)) dt + i b a a (u (x (t), y (t)) y (t) + v (x (t), y (t)) x (t)) dt Y dicha integral existe ya que si f (z) es continua, también u y v. Esa expresión se puede escribir así: f (z) dz = b C a f (z (t)) z (t) dt (4.1) Propiedades 1. Si -C es el arco C recorrido en sentido contrario, entonces C f (z) dz = f (z) dz. C 2. Si los arcos C 1 y C 2 son tales que su suma es el arco C, C f (z) dz = C 1 f (z) dz + C 2 f (z) dz. 3. Si f (z) y g (z) son continuas sobre C y α, β C, C (αf (z) + βg (z)) dz = α C f (z) dz + β g (z) dz. C 4. Sea f (z) una función continua sobre el arco C y L la longitud de C: C f (z) dz b a f (z) z (t) dt ML siendo M una cota superior de f (z) sobre C Teorema de Cauchy-Goursat Sea f (z) analítica en una región R y sobre su frontera C. Entonces: f (z) dz = 0 (4.2) C Teorema de Cauchy para dominios múltiplemente conexos Si tenemos que C es una curva cerrada y que C 1, C 2,... C k son curvas cerradas y contenidas en el interior de C, D la región del plano interior a C y exterior a todas las C i i = 1, 2,... k, y f (z) es analítica en D: C f (z) dz = k i=1 C i f (z) dz Y si denotamos por Γ a la curva formada por C recorrida en sentido positivo y las C i en sentido negativo: Γ f (z) dz = Derivadas sucesivas de funciones analíticas Sea f (z) una función analítica en un contorno cerrado y simple, C y en su interior. Si z 0 es punto interior a C, podemos calcular todas las f (n) (z) y estas son analíticas n N,siendo: f (n) (z 0 ) = n! f (z) 2πi C (z z 0 ) n+1 (4.3) Esta fórmula también se conoce como Fórmula integral de Cauchy para las derivadas.

23 4.5. TEOREMA DE GREEN Teorema de Green Teorema de Green en el plano Dados P (x, y) y Q (x, y) continuos y con derivadas parciales continuas en una región R y sobre su frontera C: C P dx + Qdy = R ( Q x P ) dxdy y Forma compleja del teorema de Green Sea F (z, z) continua y con derivadas parciales continuas en una región R y sobre su frontera C, donde z = x + iy y z = x iy son las coordenadas conjugadas complejas; el Teorema de Green puede escribirse de la forma: C F F (z, z) dz = 2i dxdy (4.4) R z

24 24 CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN

25 Capítulo 5 Teoremas fundamentales 5.1. Teorema de Morera Sea f (z) continua en una región R simplemente conexa y tal que f (z) dz = 0 alrededor de cada curva simple C cerrada C en R. Entonces f (z) es analítica en R Teorema del módulo máximo Si f (z) es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C y no es idénticamente igual a una constante, entonces el valor máximo de f (z) se encuentra sobre C Desigualdad de Cauchy Si f (z) es analítica dentro y sobre un círculo C de radio r y centro en z = a, entonces: f (n) (a) M n! r n n = 0, 1, 2,... (5.1) donde M es una constante tal que f (z) < M sobre C, es decir, M es una cota superior de f (z) sobre C Teorema de Liouville Supongamos que para todo z en el plano complejo entero: a) f (z) es analítica y b) f (z) está acotada, es decir, f (z) < M para alguna constante M. Entonces f (z) debe ser una constante Teorema fundamental del Álgebra Todo polinomio P (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n = 0 de grado n 1 y a n 0 tiene por lo menos una raíz compleja. Por tanto, P (z) = 0 tiene exactamente n raíces, si se tiene en cuenta la multiplicidad de las raíces Fórmulas integrales de Poisson Fórmula integral de Poisson para un círculo Sea f (z) una función analítica dentro y sobre el círculo C definido por z = R y orientado en sentido positivo, siendo z = re iθ un punto interior a C: f ( re iθ) = 1 2 2π 0 ( R 2 r 2) f ( Re iθ) R 2 dφ (5.2) 2Rrcos (θ φ) + r2 25

26 26 CAPÍTULO 5. TEOREMAS FUNDAMENTALES Si u (r, θ) y v (r, θ) son las partes real e imaginaria de f ( re iθ) mientras que u (R, φ) y v (R, φ) son las partes real e imaginaria de f ( Re iφ), entonces: u (r, θ) = 1 2π 2π v (r, θ) = 1 2π 0 2π 0 ( R 2 r 2) u (R, φ) R 2 2Rrcos (θ φ) + r 2 dφ ( R 2 r 2) v (R, φ) R 2 2Rrcos (θ φ) + r 2 dφ Expresan los valores de una función armónica dentro de un círculo, en términos de sus valores sobre la frontera Fórmulas integrales de Poisson para un semiplano Sea f (z) analítica en el semiplano superior y 0 (o Imz 0) del plano complejo y sea z 0 = x 0 + iy 0 un punto de ese semiplano. Entonces: f (z 0 ) = 1 π y 0 f (x) (x x 0 ) 2 + y 2 0 En términos de las partes real e imaginaria de f (z 0 ), puede escribirse: dx (5.3) u (x 0, y 0 ) = 1 π v (x 0, y 0 ) = 1 π y 0 u (x, 0) (x x 0 ) 2 dx + y0 2 y 0 v (x, 0) (x x 0 ) 2 dx + y0 2 Expresan los valores de una función armónica en el semiplano superior en términos de los valores sobre el eje x (la frontera) del semiplano.