Segundo Parcial de Matemáticas II Grado Ingeniería Biomédica

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1 Segundo Parcial de Matemáticas II Grado Ingeniería Biomédica ETSII de alència. Junio de 08 Apellidos Nombre Instrucciones Comienza poniendo el nombre y apellidos. En la pregunta de erdadero o also marca claramente tu respuesta. En otro caso la pregunta no será puntuada. Excepto en la primera pregunta pon todos los cálculos necesarios. 4 No se puede usar ningún tipo de material de consulta ni asistentes electrónicos. 5 Escribe con bolígrafo azul o negro. 6 El tiempo total es de horas. Nota final Puntuación Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5

2 Ejercicio 0 puntos: 5 puntos cada apartado Indica si las siguientes afirmaciones son erdaderas o alsas (no hay que justificar nada). Pregunta correcta: 0.5 puntos Pregunta incorrecta: -0.5 puntos Pregunta en blanco: 0 puntos x cos(x) =! + x4... para todo x R. 4! La aproximación lineal de f(x) = x en el origen es L(x) = + x/. Si una serie de potencias de centro a = 0 es convergente en el punto x = entonces también lo será en x =. Si una serie de potencias de centro a = 0 es divergente en el punto x = entonces también lo será en x =. La función R(sen(x), cos(x)) = sen (x) + es impar en seno. El volumen de una superficie cuyas secciones mediante planos paralelos al plano XY tienen un área A(z) (con z [a, b]) viene dado por es = π b a A(z) dz. d ( x e t dx x t dt) = e x e x. x El dominio de convergencia de la serie de potencias La suma de la serie ( ) n n n! es e. n= El radio de convergencia de la serie de potencias n= n= x n n es [, ]. x n es R =. n Decimos que una función es una primitiva de f si = f. amos a demostrar que si y G son dos primitivas de una misma función f entonces = G + k siendo k una constante. En efecto veamos que la función h = G es constante. Por ser y G primitivas de f se tiene que: h = 0 amos entonces a aplicar el Teorema del valor medio para demostrar que h es constante. Sean x < y y demostremos que h(x) = h(y). Aplicando el teorema anterior existe z en el intervalo ]x, y[ de manera que h(y) h(x) = h (z)(y x) Y como h = 0 entonces h(y) h(x) = 0 y por lo tanto h es constante.

3 Ejercicio Calcula el desarrollo de MacLaurin de la función f(x) = atan(x) indicando el radio de convergencia de la serie de potencias obtenida. Solución. Derivando y usando el desarrollo de una serie geométrica tenemos: f (x) = + (x) = + 9x = ( 9x ) = + ( 9x ) + ( 9x ) + ( 9x ) + ( 9x ) = 9x + 9 x 4 9 x x siempre que 9x < o lo que es lo mismo x < 9 Integrando término a término: y por tanto x < = R. f(x) = x 9 x + 9 x5 5 9 x siempre que x < = R. Queda calcular C. Pero tomando x = 0 tenemos que + 94 x C = x 9 x x5 9 x x C, C = f(0) = atan(0) = 0. En definitiva: atan(x) = x 9 x x5 9 x x y el radio de convergencia es R = /. Otra forma. Usando el desarrollo de la arcotangente sabemos que: atan(x) = n=0 ( ) n xn+ n + = x x + x5 5 x +... siempre que x < En nuestro caso f(x) = atan(x) = ( (x) (x) = x x + 4 x (x)5 5 6 x (x) + 8 x )... = x x x5 6 x x9... siempre que x < o lo que es lo mismo si x < = R

4 Ejercicio Calcula el volumen de la superficie de revolución que se obtiene al girar, alrededor del eje OX, la función f(x) = x para x [, ]. x + Solución. En primer lugar = π b a ( f(x) ) dx = π ( x ) dx dx = π x + x (x + ). Se trata de una integral racional que resolvemos mediante la descomposición en fracciones simples: { x x = 0 doble (x + ) = 0, x = de donde x (x + ) = A x + B x + C x + Ax(x + ) + B(x + ) + Cx = x. (x + ) Como los denominadores son iguales también lo serán los numeradores: = Ax(x + ) + B(x + ) + Cx. Y puesto que A, B y C son independientes de x: Sustituyendo en la integral = π = π x = 0 : = B = B =, x = : = C = C =, x = : = A + B + C = A =. ( x + x + ) dx = π [ log x + ] + log(x + ) x + x [ log + + log() ( log + ] + log()) = [ ] = π + log() log().

5 Ejercicio 4 Calcula la longitud de la curva f(x) = (x + ) para x [, ]. Solución. y como L = + f (x) dx, f(x) = (x + ) = (x + )/ entonces f (x) = (x + )/ = (x + ), sustituyendo en la integral L = = + ( (x + ) /) dx = + x dx [ ( + x) / ( + x) / dx = / ] = (8 ).

6 Ejercicio 5 0 puntos: 5 puntos cada apartado Escribe el polinomio p(x) = x en potencias de x +. Solución. Sabemos que p(x) = P n (x) + R n (x) donde P n es el polinomio de Taylor de centro a =. Como p es un polinomio de grado n = aplicando la fórmula del resto de Lagrange (con este valor de n) tenemos que R (x) = piv) (z) (x + ) 4 = 0 para un z entre a = y x, 4! porque p iv) (z) = 0. De esta manera p(x) = P (x) = p( ) + p ( )(x + ) + p ( ) (x + ) + p ( ) (x + ).! Y como p(x) = x, p (x) = x, p (x) = 6x y p (x) = 6 entonces: p(x) = P (x) = + (x + ) + 6 (x + ) + 6! (x + ) = + (x + ) + ( )(x + ) + (x + ). Calcula, usando un polinomio de MacLaurin de grado, una aproximación de log(.0). Escribe un valor del error cometido. Solución. Tomamos f(x) = log( + x) y sabemos que f(x) = P (x) + R (x). Usando el polinomio de MacLaurin de la función logaritmo sabemos que P (x) = x x, con lo que f(0.0) P (0.0) = 0.0 (0.0) Para el error sabemos que = R (0.0) = f (z) (0.0) siendo z un valor entre a = 0 y x = 0.0.! Y como f(x) = log( + x), f (x) = + x, f (x) = ( + x), f (x) = entonces f (z) = ( + z). Pero como 0 < z < 0.0 entonces < + z <.0 = < ( + z) < (.0) = (.0) < ( + z) <, ( + x), En definitiva y por lo tanto f (z) = ( + z) =, R (0.0) = f (z) (0.0)!! (0.0) =