1. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas)

Transcripción

1 Cálculo o del grado de Matemáticas y doble grado MAT-IngINF. Curso /. Apuntes sobre integración y cálculo de primitivas. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas) (5 6) d 5 (5 6) 5 d 5 (5 6) Nota: Si f() 5 6 su derivada es 5. En la primera igualdad multiplicamos y dividimos por 5. Así tenemos una integral del tipo f() f () d, que es inmediata: 8 ( + ) d 8 d C ( + ) d 8 ( + ) + C 8 Nota: Si f() + su derivada es. La integral queda del tipo f() f () d, que es inmediata: sen cos 5 d ( ) Nota: Es de la forma d + C sen cos d sen Nota: f() sen, f () cos, (cos ) 5 ( sen ) d (cos ) + C ( + ) cos f() 5 f () d f() Quiénes son f, f?. d ( + ) d ( + ) d + Nota: Quiénes son f() y f ()?. r r + 6 dr Nota: Una primitiva de cos( π ) d π r r + 6 dr r + 6 f () f() es f(). cos( π ) π d sen( π ) π

2 Nota: Una primitiva de cos(f()) f () es sen(f()). sen cos d Nota: De dónde sale 8? sen d Nota: Quiénes son f() y f ()?. (sen ) cos( ) d 8 (sen ) sen d cos sen sec tan d cos d (cos ) Nota: Ver la nota de. g() g () d ( + g() ) g() g () d ( + g() ) + g() f() f () d. Nota: Es del tipo ( ) d Nota: Es del tipo sen cos d sen Nota: Es del tipo f() f () d ( ) d ( ) ( ) d Nota: Es del tipo f() f () d..- log( + a) 5.- d + a Nota: Quiénes son f y f?. d log f () d log f() f() log( + a) + a d (log( + a)) 6.- ( ) a ( b) d a d ( b) d log a + ( b) Nota: De qué tipo es cada una? d Nota: Es del mismo tipo que. ( ) + d log ( ) +

3 8.- e d Nota: Es del tipo e d e e f() f () d e f() e tan( ) sec ( ) d etan( ) Nota: Es del tipo anterior. Quién es f()?. De dónde sale el?. e a + e a d a ( + e a ) a e a d a log ( + e a ) ( a + b y + ) y + sec d dy b (a + b y + ) (sec ) d tan Nota: Una primitiva de sec (f()) f () es tan(f())..- + cotan cosec d Nota: Es del tipo f() f () d. sec d log + tan + tan Nota: Ver nota de. Quiénes son f, f?. sen( 7) d cos( 7) Nota: De donde sale? tan(log ) 6.- d b y + dy b ( ) a + b y + (+cotan ) ( cosec ) d (+cotan ) +C. cos(log ) ( sen(log )) d log cos(log ) Nota: Una primitiva de f () f() es log f(). Quiénes son f, f?.. Cambio de variable Integral indefinida: f(φ()) φ () d f(t) dt, usando el cambio de variable { t φ() dt φ () d Integral definida: b a f(φ()) φ () d φ(b) φ(a) f(t) dt, usando el cambio de variable { t φ() dt φ () d

4 .- Calcular e + e d. Usando el cambio de variable obtenemos e + e d t e dt e d, dt + t arctan t + C arctan(e ).- Calcular a y a y dy. Sea t a y. Entonces, Así, a t a y dt y dy. y a y dy a a y y dy Además, a t dt { y t a y a t. a t dt t ta t a..- Calcular 5 d. Poniendo t, se obtiene De este modo, 5 d dt d y { t t. ( ) d [ t ( t + t ) t dt t t 7 7 ] ( t) t dt (t t + t 5 ) dt.- Calcular ( ) 7 d. Usamos el cambio de variables t. De esta forma, dt d y ( ) 7 d ( ) 7 d (t + ) t 7 dt (t 7 + t 7 ) dt ( ) t t7 + C ( ( ) 75 + ( ) 7 ) Integración por partes Fórmula de integración por partes: f()g ()d f()g() f ()g()d.

5 Habitualmente se epresa con la notación siguiente: u dv u v v du..- Calcular e d. Tomando { u du d dv e d v e } se sigue que e d e e d e e.- Calcular e Definimos las partes log d. u log du d Así e log d dv d v. ] e e [log e d [ ] e e +..- Calcular log d. Usamos las partes De esta forma, u log du d dv d v. log d log d log.- Calcular de igual forma, arctan d, arc sen d. 5.- Calcular π 5 sen( ). Hacemos primero el cambio de variable t, y esta integral se convierte en π 5 sen π t sen t dt. Para calcular ahora la integral se usan las partes: { u t du t dt dv sen t dt v cos t. Entonces, π t sen t dt ( [t ( cos t) ] π ) π π ( cos t) t dt π + t cos t dt. 5

6 De nuevo hay que integrar por partes: u t, dv cos t dt y se tiene du dt, v sen t. De esta forma π 5 sen π ( [t + ] π ) π sen t sen t dt π + + [ cos t ] π π. 6.- Calcular e sen d. Usamos las partes u sen, dv e d: e sen d e sen e cos. Volvemos a integrar por partes, pero ahora con u cos, dv e d: e sen d e sen e cos e sen e cos e sen d. Obsérvese cómo la integral que queremos calcular aparece de nuevo en el lado derecho. Si la pasamos al lado izquierdo se obtiene e sen d e (sen cos ), y por tanto e sen d e (sen cos ). Funciones racionales. Fracciones simples Dada una función racional (cociente de polinomios) P () Q() seguiremos el siguiente método para descomponerla en fracciones simples: (i) Dividir si gr(p ) gr(q), para obtener P () Q() (un polinomio) + P () Q(), con gr(p ) < gr(q). (ii) Factorizar el denominador en factores de la forma (p + q) n, y (a + b + c) m, donde a + b + c no tiene raíces reales (b ac < ). (iii) Factores lineales. Por cada factor de la forma (p + q) n, la descomposición en factores simples debe incluir la suma de n fracciones: A (p + q) + A (p + q) A n (p + q) n. 6

7 (iv) Factores cuadráticos. por cada factor de la forma (a + b + c) m, la descomposición en factores simples debe incluir la suma de m fracciones: B + C (a + b + c) + B + C (a + b + c) B m + C m (a + b + c) m. Por ejemplo, si N() es un polinomio de grado menor que 5, la función racional N() 5 + tendrá una descomposición en fracciones simples de la forma: N() 5 + N() ( )( + ) ( + ) A + B + + Los coeficientes A, B, C, D y E quedarán determinados al conocer N() d Como ( ) ( ), escribimos A + B C ( + ) + D + E +. Para determinar A y B de forma que la igualdad sea válida para todo, multiplicamos esta ecuación por el mínimo denominador común, ( ) ( ), obteniendo la ecuación A ( ) + B ( ), para todo. Los valores y en esta ecuación nos dan B y A, respectivamente. Así, ( d + ) d d + d log log + C log + C d Como + + ( + + ) ( + ), se tiene A + para todo. Multiplicando por ( + ) : B + + C ( + ) A ( + ) + B ( + ) + C, para todo. Los valores, y, por ejemplo,, nos dan A 6, C (5 + 6) 9 ( por qué?). Conociendo A y C, con, B ( ) A C, de donde B. De esta forma, d 6 d + + d + log ( + ) d

8 .- ( 8 A ( ) ( + ) d + B + C + D ) d + Multiplicando por ( ) ( + ) e igualando numeradores, tenemos 8 A ( ) ( + ) + B ( + ) + (C + D) ( ). Con se obtiene A 8, y A. Con, se sigue que 5 B, y así B. Para calcular C y D podríamos dar otros dos valores a y resolver el sistema lineal en C y D producido. Para ilustrar otro método desarrollamos el miembro derecho de la igualdad anterior (con A y B ) llegando a la igualdad de polinomios 8 C (C D + ) D 8 de donde C y D. Finalmente, ( 8 ( ) ( + ) d + + ) d + ( ) + log log + log( + ) + arctan d ( + ) d. Incluimos una fracción simple por cada potencia de ( + ): 8 + ( + ) A + B + + C + D ( + ). Multiplicando por el mínimo común denominador, ( + ), llegamos a la igualdad 8 + (A + B) ( + ) + C + D. Desarrollando el miembro derecho y agrupando obtenemos 8 + A + B + ( A + C) + ( B + D), y así A 8, B, C y D. Por tanto, 8 ( + 8 ( + ) d + + ) ( + ) d log( + ) + ( + ) A 5.- Una variación de este tipo de integrales es a d cuyas primitivas son una + b + c función arcotangente. Para resolverlas se completan cuadrados en el denominador para escribirlo en la forma (m + n) + p, se reescribe como p(( m+n p ) + ), y finalmente se ajustan las constantes. Veamos un ejemplo para ilustrar el método: + + d ( + ) + d ( + ) d + / ( ) d + + ( + ) + d ( ) + arctan 8

9 5. Funciones trigonométricas Vamos a calcular integrales de la forma sen m cos n d y sec m tan n d con m o n un entero positivo. Las pautas para las primeras son las siguientes: (i) Si la potencia del seno es positiva e impar: sen k+ cos n d (sen ) k cos n sen d ( cos ) k cos n sen d. El cambio de variable t cos, dt sen d convierte al integrando en un polinomio o una función racional: sen k+ cos n d ( cos ) k cos n sen d ( t ) k t n ( ) dt (ii) Si la potencia del coseno es positiva e impar: sen m cos k+ d sen m (cos ) k cos d sen m ( sen ) k cos d. Usando el cambio de variable t sen, dt cos d sen m cos k+ d sen m ( sen ) k cos d t m ( t ) k dt, y queda la integral de un polinomio o de una función racional. (iii) Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usamos las identidades: sen cos(), cos + cos() quedando en el integrando potencias impares de la función coseno..- sen cos d (sen ) cos sen d (cos cos 6 ) sen d. ( cos ) cos sen d El cambio de variable t cos, dt sen d nos lleva a sen cos d (t t 6 ) ( ) dt t7 7 t5 5 + C cos7 7 cos5 5 9

10 .- cos sen d (cos ) cos d (sen ) sen ( sen ) cos d (sen sen ) cos d. El cambio de variable t sen, dt cos d nos lleva a cos d t + t dt t + sen 5 t 5 + C sen + 5 sen 5.- ( ) + cos( ) cos d d ( ) cos( ) + + cos ( ) d Utilizamos de nuevo la epresión cos + cos( α) α, esta vez para cos (): ( ) cos cos( ) d + + cos ( ) d [ cos( ) + + ( )] + cos( ) d d + cos( ) d + cos( ) d sen( ) + sen( ) Para las segundas integrales planteadas, seguiremos el siguiente esquema: (i) Si la potencia de la secante es positiva y par: sec k tan n d (sec ) k tan n sec d ( + tan ) k tan n sec d; El cambio de variable t tan, dt sec d proporciona sec k tan n d ( + tan ) k tan n sec d ( + t ) k t n dt, y se tiene que hacer una integral de un polinomio o de una función racional. (ii) Si la potencia de la tangente es positiva e impar: sec m tan k+ d sec m (tan ) k (sec tan ) d sec m (sec ) k (sec tan ) d; y por el cambio de variable t sec, dt sec tan d, se obtiene: sec m tan k+ d sec m (sec ) k (sec tan ) d t m (t ) k dt

11 (iii) Si no hay secantes y la potencia de la tangente es positiva y par: tan k d tan k tan d tan k (sec ) d tan k sec d tan k d tan k k tan k d; y repetir el proceso si es necesario. (iv) En otro caso, reescribir el integrando en términos de senos y cosenos..- Potencia de la tangente positiva e impar: tan d (sec ) tan d (sec ) tan (sec tan ) d sec (sec ) (sec ) (sec tan ) d [(sec ) (sec ) ] (sec tan ) d (sec ) + (sec ).- Potencia de la secante positiva y par: sec ( ) tan ( ) d sec ( ) tan ( ) sec ( ) d ( + tan ( )) tan ( ) ( sec ( )) d (tan ( ) + tan 5 ( )) ( sec ()) d [ tan ] ( ) + tan6 ( ) 6.- Potencia par de la tangente: tan d tan tan tan tan d tan (sec ) d tan sec d tan d (sec ) d tan +.- Reescribiendo en senos y cosenos: sec ( ) ( cos ) tan d d cos sen (sen ) cos d + C cosec +C. sen