Problemas Resueltos sobre Límites y Continuidad

Transcripción

1 Problemas Resueltos sobre Límites y Continuidad

2 Repaso de Problemas típicos ( ) 7 sen sen sen sen ( ) + sen sen + sen + sen 3 e π + tg

3 Repaso de Problemas Dónde es y = t g continua? Dónde es continua f ( φ ) = sen? φ Qué ha de valer f ( 0 ) para que la función f =, 0, sea continua en = 0? Determinar las discontinuidades evitables de las siguientes funciones en los puntos indicados: 8 a) f =, 0 =, b) g =, 0 = + c) h() t = tsen, t0 = 0 t = Demostrar que la ecuación sen e tiene solutiones.

4 Métodos para el cálculo de Límites Casos de indenterminación: ,,,,0,,. 0 Aritmética del : a = 0, =, ( númber o negativ o ) =. número positivo 3 4 Si la función, de la que se está calculando el límite, está definida por una epresión algebraica que toma un valor finito en el punto límite, ese valor es el límite buscado. Si la función, de la que se está calculando el límite, no se puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece una indeterminación ()), entonces re-escribir la función en forma que se pueda calcular el límite.

5 Simplificaciones y Métodos Factorizar ó simplificar: ( a + b) ( a b) = a b. 3 4 Einar factores comunes en functiones racionales: ( ) ( + ) = = +. Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la epresión conjugada: + = Usar el hecho: ( + + ) ( + + ) ( + ) ( ) = = sen =. 0

6 Continuidad de Funciones 3 4 Si las funciones son contínuas (p.e. definidas por epresiones elementales de polinomios, funciones racionales, trigonométricas, eponenciales o sus inversas) el límite se calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable independiente. Si la función f es continua en el punto = a entonces: = ( a) f f. a Ejemplos de funciones no continuas en =0: f =,g = sen,h =. Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas Se utiliza para demostrar que una ecuación tiene solución. Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto c entre a y b tal que f(c) = 0.

7 Límites: factorizar y simplificar: Problema 3+ ( )( ) 3 + Re-escribir = =. 3 + Por tanto = ( ) =.

8 Límites elementales Problema = Lo haremos más directo: sin más que considerar los términos de mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los coeficientes principales. Problema = =

9 Límites: epresión conjugada Problema 3 + Re-escribimos + = ( + )( + + ) ( + ) ( ) = = = Por tanto + = =

10 Límites Problema Re-escribimos + + = = = = + Ahora nos quedamos con los términos de mayor grado en.

11 Límites Problema Re-escribimos = ( ) ( ) ( ) 3 3 ( + + ) ( + ) = = Menor grado en. ( ) 3 ( + + ) =

12 Límites Problema 6 Re-escribimos sen sen 3 sen 3 = 6 3 ( α ) sen Usamos que =. α 0 α sen3 sen3 Como =, se concluye que =

13 Límites Problema 7 ( ) sen sen 0 Re-escribimos: ( ) sen ( α ) sen como =. En lo anterior, se aplicó α 0 α primero al sustituir α = sen. ( ) sen sen Por tanto =. 0 sen sen sen sen sen sen = 0

14 Límites Problema 8 0 sen sen ( ) Re-escribimos: sen sen = 0 sen sen

15 Límites Problema 9 + sen 0 + sen + sen + Re-escribimos + sen + sen + sen + = ( )( ) + sen + sen + + sen + ( )( ) sen sen sen sen = = ( ) + sen + sen + + sen + sen + + sen + ( ) ( ) sen + sen + + sen + sen + + sen +

16 Límites (cont.) Problema 9 + sen + sen + sen + = Re-escribimos 0 ( ) sen + sen + sen( ) + sen + sen + + sen sen + + sen + = sen sen sen + + ( ) + sen + sen + sen + Se ha usado que sen()/ se acerca a cuando 0. Dividimos por. 3 =. 0 +

17 Límites Laterales Problema 0 e π + tg π Para < < π, t g < 0 and t g =. π + tg Por tanto e = 0. π +

18 Continuidad Problema Dónde es continua la función y = t g? sen y = t g = es continua siempre que cos 0. cos π Por tanto y = t g es continua para + nπ, n.

19 Continuidad Problema Dónde es continua la función f ( φ ) = sen? φ La función f ( φ ) = sen es continua en todos los puntos φ donde toma valores finitos. Si φ =±, no es finito, y sen no está definido. φ φ Si φ ±, es finito, y sen está definido y es finito. φ φ Por tanto sen es continua para φ ±. φ

20 Continuidad Problema 3 Determinar f 0 para que la función f =, 0, sea continua en = 0. La condición de continuidad de una función f en un punto es: = ( ) = f f. Por tanto f 0 debe cumplir f 0 f ( ) Es decir f ( 0) = = = =

21 Continuidad 0 ( ) 0 Un número en el que una función f está indefinida or es infinito se llama una singularidad de la función f. La singularidad es e vitable, si f se puede definir de tal manera que la función f se convierte en continua en. = 0 Problema 4 Qué funciones de las siguientes tienen singularidades evitables en los puntos indicados? solución 8 a) f =, 0 = + Evitable b) g =, 0 = No evitable c) h() t = tsen, t0 = 0 t No evitable

22 Continuidad Problema 5 Demostrar que la ecuación sen = inifinitas soluciones. e tiene sen = e f = sen e = 0. Por el Teorema de valor medio, una función continua toma cualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la función f cambia de signo infinitas veces. π n Nótese que 0 < e < para < 0, y que sen + nπ = ( ), n. π Por tanto f < 0 para = + nπ si n is un número impar negativo π y f > 0 para = + nπ si n es un número par negativo. π π Por tanto en cada intervalo de la forma + nπ, + ( n+ ) π, n and n < 0, hay una solución de la ecuación original. En consecuencia hay infinitas soluciones.