3.21. Cálculo de límites.

Transcripción

1 3.21. Cálculo de ites. La eistencia de ite de una función en un punto indica que los valores que toma la función en entornos del punto están arbitrariamente próimos a un punto ite. En este apartado vamos a analizar el problema de la obtención de dicho punto comenzando con las funciones reales de variable real Límite de funciones de una variable Límite de funciones elementales Cuando la función es continua en a = f(a) En particular, se cumple cuando representa una de las funciones elementales, e, log, sen, cos, tg, arc sen, arc cos ó arc tg, siempre y cuando esto tenga sentido. Ejemplo (a) π cos() = 1 (b) e tg() = 1 (c) = 0 (d) 2 arc tg = π 6 En los puntos donde la función presenta una asíntota vertical el ite es infinito y a veces es necesario distinguir los ites por la izquierda y la derecha (ites laterales). Ejemplo En particular (a) 1 = + (r > 0) + ( a) r (b) (c) tg = + π 2 log = + tg = π + 2 Límites de funciones en el infinito Los ites en los cuales la variable tiende a infinito reflejan el comportamiento de las funciones para valores crecientes de la función. Ejemplo En el caso de las funciones elementales ites de interés son (a) e = 0 + (b) log = + (c) arc tg = π 2 (d) (1 + 1 ) = e e = + arc tg = π 2 (1 + ) 1 = e

2 Operaciones con ites Límite de sumas ( + g()) g() (, + ) +? (, + ) + g() + +? + + Límite de productos (g()) g() (, 0) 0 (0, + ) + + +? (, 0) + 0?? (0, + ) + +? + + Límite de cocientes g() (, 0) (0, + ) +? + +? (, 0) ? 0 g() g() (0, + ) ? +? 0 Límite de potencias g() g() (, 0) 0 (0, + ) ? 0 0 (0, 1) + 0 1?? (1, + ) ? + +

3 Las operaciones con funciones se traducen a operaciones con ites como aparece en las tablas. Ejemplo (a) e1/ = 0 (b) + e1/ = + Las interrogaciones corresponde a lo que se conoce como indeterminaciones y nos indican que el ite en cuestión necesita ser tratado por algún otro método Ejemplo (a) ln(1 + ) (b) = 1 e 1 = = 1 (1 + ) m 1 m = 1 (c) (d) (e) ( ) = = (ln( + 1) ln ) Algunas indeterminaciones de potencias se resuelven transformándolas g() = e g()( 1) para 1 y g() g() = e g() ln() para 0 y g() 0 g() = e g() ln() para y g() 0 Ejercicio ( 1 (a) + 3 ) +2 (b) 2 Regla de L Hopital Para salvar indeterminaciones del tipo 0 0 se aplica la regla de l Hôpital Proposición (Regla de L Hopital) Sean f y g con = g() = 0. Si f y g son derivables en un entorno de a, ecepto posiblemente en a, y g () 0 para todo a del entorno y f () = l siendo l finito o infinito, entonces g () g() = f () g () = l

4 Ejemplo sin() = 0 0 = l Hôpital cos() 1 = 1 1 = 1 Mientras las función sean derivables la regla puede aplicarse de forma sucesiva: Ejemplo e e 2 sin() = e ( e ) 2 1 cos() = e e sin() = e ( e ) cos() = e + e cos() = 2 La Regla de L Hôpital se puede etender a indeterminaciones del tipo por a +, a, + o y se puede sustituir a Límite del cociente de polinomios Si p() y q() son dos polinomios y sus términos de mayor grado son a p p y b q q se tiene p() q() = a p p b q q lo que con la simplificación correspondiente será p() q() = 0 p < q a p p = q b q p < q donde los signos del último infinito dependen del signo de a p b q de manera lógica. Esta forma de calcular ites se generaliza con el concepto de orden de infinitud de dos funciones con ites infinitos cuando la variable tiende a infinito. Así, decimos que g() tiene mayor orden de infinitud que y escribimos << g() si g() = 0 Esto nos permite calcular el ite del cociente de algunas funciones comparando sus ordenes de infinitud log << p << e << ( + ). Siguiendo esta línea decimos que dos funciones y g() con ites infinitos son infinitos equivalentes cuando la variable tiende a infinito y escribimos g() ( + ) si g() = 1 Esto permite sustituir infinitos equivalentes como factores multiplicativos en el cálculo de ites. En particular, utilizamos que si p() es un polinomio cuyo término de mayor grado es a p p ambos son infinitos equivalentes cuando la variable tiende a infinito p() a p p ( + ).

5 Infinitésimos equivalentes La idea de los infinitos equivalentes se va a traducir a otros ites utilizando el concepto de infinitésimo como función que toma valores tan próimos a cero como se quiera cuando la variable tiende a un valor concreto. Así, se dice que una función es un infinitésimo para tendiendo hacia a si = 0 De este modo, toda función que tiende a 0 en un punto es un infinitésimo en dicho punto y las operaciones con ites se traducen a operaciones con infinitésimos. Así, la suma y producto finito de infinitésimos son infinitésimos indicando que. El producto de un infinitésimo por una función acotada en un entorno del punto también es un infinitésimo. Podemos calcular algunos ites comparando infinitésimos. Así, dos infinitésimos en = a, y g(), son comparables cuando su cociente tiene ite en = a Si g() Si g() = decimos que es un infinitésimo de orden inferior a g() en = a. = 0 decimos que es un infinitésimo de orden superior a g() en = a. Si = l con l R, l 0 decimos que y g() son infinitésimos del mismo orden en g() = a. Cuando el ite del cociente de dos infinitésimos es uno ambos son equivalentes en cierto sentido y se puede aproimar uno por otro. De forma que para el cálculo de ites dos infinitésimos equivalentes se podrán sustituir uno por otro cuando se presenten como factores multiplicativos o como divisores. Así, si y g() son dos infinitésimos para tendiendo hacia a, representamos como g() ( a) y diremos que son infinitésimos equivalentes si g() = 1 En particular, son infinitésimos equivalentes en = 0: sin() arcsin() e 1 1 cos() 2 2 tan() arctan() ln(1 + ) (1 + ) m 1 m Ejercicio sen (1 cos ) (a) ln 3 ( + 1) (b) sen 2 1 cos(3) (c) (d) ln(5 + 1) 2

6 Fórmula de Taylor e infinitésimos equivalentes Bajo las condiciones adecuadas, en el desarrollo de Taylor de orden n en = a podemos escribir = P n () + R n (), donde P n () es el polinomio de Taylor de la función en = a y R n () es el resto. En este caso, R n () es un infinitésimo de orden superior a ( a) n ya que R n () = 0 y se cumple R n () ( a) n = 0 Más aún, como podemos ver en la epresión del resto de Lagrange, es un infinitésimo del mismo orden que ( a) n+1 y esto lo epresamos escribiendo R n () = o ( a) n+1 o también mediante la epresión de la fórmula de Taylor con el resto en forma infinitesimal = f(a) + f (a) 1! ( a) + f (a) ( a) f n) (a) ( a) n + o( a) n+1 2! n! Cuando es un infinitésimo su polinomio de Taylor es un infinitésimo de menor orden que el resto. Como = P n () + R n () y la suma de infinitésimos es equivalente al infinitésimo de menor orden, la función y su polinomio de Taylor son infinitésimos equivalentes cuando P n () 0 P n () ( a) Límite de funciones de varias variables Si consideramos una función de varias variables y la función es continua en un punto 0 tenemos 0 = f( 0 ). En el resto de los casos los problemas son similares a los que nos encontramos con las funciones de una variable pero los métodos para resolverlos son distintos. En este tema vamos a abordar el estudio de funciones de dos variables en lo que se conoce como ite doble, f(, y) (,y) ( 0,y 0 ) El ite direccional de f se obtiene cuando sólo se consideran los valores de f en un conjunto A D del que ( 0, y 0 ) es un punto de acumulación (decimos que A es una dirección para el ite). (,y) ( 0,y 0 ) A f(, y) Si eiste el ite doble eisten todos los direccionales y coinciden con el doble pero aunque eistan los direccionales en algunas direcciones no podemos afirmar nada sobre el ite doble. Lo único que podemos afirmar mediante ites direccionales es que si hay ites direccionales con valores distintos o hay alguno que no eiste entonces no eiste el ite doble. Las direcciones suelen tomarse de la forma Si A = {(, g()/ [a, b] R} con g continua en 0 [a, b] y g( 0 ) = y 0 es 0 f(, g()). Si A = {(g(y), y/y [c, d] R} con g continua en y 0 [c, d] y g(y 0 ) = 0 es y y0 f(g(y), y).

7 Los ites reiterados de f(, y) cuando (, y) tiende a ( 0, y 0 ) son ( ) f(, y) 0 y y 0 y ( ) f(, y), y y0 0 donde ϕ() = y y0 f(, y) y ψ(y) = 0 f(, y) reciben el nombre de ites unidimensionales. Si eiste el ite doble y eisten los unidimensionales entonces eisten los reiterados y coinciden con el doble. Sin embargo, aunque eistan los reiterados y coincidan no podemos afirmar nada sobre el ite doble. Al igual que con los ites direccionales, si no eisten los reiterados o no coinciden (eistiendo los unidimensionales) podemos afirmar que no eiste el ite doble (aunque no eista el reiterado no podemos afirmar nada sobre el doble si no eiste el unidimensional). Para el cálculo de ites podemos utilizar o infinitésimos o cambios de coordenadas. Entre estos últimos, el más utilizado es el cambio a coordenadas polares = 0 + ρ cos θ y = y 0 + ρ sen θ En este caso si el ite resultante eiste y es independiente de θ f(, y) = f( 0 + ρ cos θ, y 0 + ρ sen θ) (,y) ( 0,y 0 ) ρ 0 Ejemplo Calcular, si eisten, los siguientes ites: 2 y 2 y (a) (b) (c) (,y) (0,0) 2 + y 2 (,y) (0,0) 2 + y 2 (,y) (0,0) 2 y 2 3 (d) (g) (,y) (0,0) 2 y 2 + ( y) 2 (e) y y 4 (h) 10 2 y 2 (f) ( 1)(y 3) 2 ( 1) 2 + (y 3) 2 (i) (,y) (0,0) 2 y 2 + y y 4 sen( 2 + y 2 ) 2 + y 2