PROYECTO MATEM. Formas indeterminadas y la regla de L`Hôpital. En secciones anteriores se calcularon límites de algunas formas indeterminadas del tipo

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1 Formas indeterminadas y la regla de L`Hôpital En secciones anteriores se calcularon ites de algunas formas indeterminadas del tipo, y, recurriendo a procesos algebraicos de factorización y racionalización. Por ejemplo, al calcular el ite tipo : ( )( ) ( ) = = = se encuentra una forma indeterminada del Cuando se calculan ites de funciones trascendentes (trigonométricas, eponenciales y logarítmicas), en algunos casos también se pueden utilizar estas técnicas. Por ejemplo, al calcular indeterminada, y se puede hacer de la siguiente manera: también se debe trabajar con una forma e e = = e = = Sin embargo, no todas las indeterminaciones se pueden resolver mediante este tipo de manipulaciones algebraicas, sobre todo si se involucran tanto funciones algebraicas como trascendentes. Ejemplo, es una forma indeterminada ln mediante manipulaciones algebraicas. y no se puede resolver Para resolver este tipo de ites se aplicará el teorema conocido como la Regla de L`Hôpital, el cual se puede enunciar de la siguiente manera: Sea I un intervalo abierto que contiene al número c. Si f y g son funciones f ( ) derivables I, ecepto tal vez en el mismo número c y el ite produce una de c g las formas indeterminadas o este último ite eista (o sea infinito)., entonces f f = g g c c siempre y cuando

2 La regla de L Hôpital también es válida para ites inilaterales, es decir, si en lugar de a se tiene a, o bien a. Este resultado también es cierto si el f ( ) ite produce una de las formas indeterminadas o g, entonces f f = si este último eiste o es infinito. g g En el caso en que f ( c) g ( c ) además g ( c ) = =, las derivadas de f y g son continuas y, es fácil verificar que el teorema es cierto, de la siguiente manera: f ( c ) f f f f f c = = = c c g c g c g g c c g g ( c ) c f f ( c ) c c f ( c) f ( ) = = = g g ( c ) g ( c) c g ( ) c c La demostración del caso general de esta regla sale de los objetivos del curso, por lo tanto no se incluirá en este documento. Ejemplos L Hôpital: Calcule los siguientes ites usando, de ser posible, la regal de a. Forma indeterminada = = b. Forma indeterminada e = = e = = e c. ln Forma indeterminada

3 d. = = = ln Forma indeterminada = e e = = se obtiene nuevamente una forma indeterminada sen e. π cos En este caso no se puede usar la regla de L Hôpital, ya que no se cumplen las hipótesis, pero el ite se puede calcular evaluando directamente. sen = = π cos Otras formas indeterminadas:. Diferencias indeterminadas Forma Al calcular el ite = y csc se obtiene una diferencia indeterminada ya que csc =. En este caso se busca transformar la epresión en una que lleve a un cociente indeterminado L Hôpital: o para poder aplicar el teorema de sen csc = = sen sen sen cos = sen sen cos cos sen = = = sen cos cos cos sen Forma Forma Por lo tanto csc =

4 . Productos indeterminados Forma Al calcular el ite ( ) se obtiene un producto indeterminado ya que = y =. Se debe buscar una epresión equivalente que lleve a un cociente indeterminado o para poder aplicar el teorema de L Hôpital. En estos casos es útil f g recordar que f g = = : g f Aplicando lo anterior se tiene que ( e ) = = Forma e e = = e e Por lo tanto, ( ) =.. Potencias indeterminadas: Forma,, Al calcular el ite sen cot se obtiene una potencia indeterminada ya que cos cot = = y sen =. Se debe buscar una epresión equivalente sen que lleve a un cociente indeterminado y poder aplicar el teorema de L Hôpital. En estos casos es útil recordar que si a es un número positivo, si f ( ) >, g g( ) ln f g ln f ( ) f = e = e. b b ln a a = e y en general, Por lo ânterior, para calcular el ite sen transformación: cot sen = e = e ln( cot ) sen sen ln( cot ) s en ln( cot ) f = e es una función continua. cot se puede hacer la siguiente = e esta última igualdad se cumple porque 4

5 forma : Ahora se puede trabajar con el ite sen ln ( cot ) ( ) ( ) ln cot ln cot sen ln ( cot ) = = csc forma sen, el cual es una ln ( cot csc ) cot csc sen sen = = = = = = csc csc cot cot cos cos sen Por lo tanto, sen s en ln( cot ) cot = e = e = EJERCICIOS Calcule los siguientes ites:.. sen π π tan π π 7. cot ( ) 8. cos sen ( ) ( ). sen ( ) sen ( ) sen. ln ln. ( a ) ( b ) ln cos ln cos a b. ln 7. tan sen. ln 8. n * R, n n 4. cot 5

6 9. 5. e ( ) ( ) ln ln e e ln. ( ) e 7. ( cot ) ln sen sen a a ( a ) > a ln e ( sen ) cos cos Si a R a, 44. ( ) ln a 9. e sen 45.. tan sen. ( ). π tan π ln ( sen ) ( π ) t ( ) t t

7 arc sen. sen y e sen y y ln ( y ) ln arccot. ( ) ln ( ) 5. Demuestre que a b a a, b R, = ln b 5. Demuestre que R, = e n n 5. Demuestre que n a, b R, a = e b ab 5. Calcule valores reales de n para que n = 9 n n = ln 7