Cálculo Diferencial e Integral - Teorema del Valor Intermedio. Farith J. Briceño N.

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Inmaculada Soriano Contreras
hace 6 años
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1 Cálculo Diferencial e Integral - Teorema del Valor Intermedio. Farit J. Briceño N. Objetivos a cubrir Teorema del valor intermedio. Límite del cociente incremental. Código : MAT-CDI.6 Ejercicios resueltos Ejemplo : Dado que f x) = x + 2x 7. Demuestre que ay un número c, tal que f c) = 0. Solución : Observe que la función f es continua en todo su dominio, ya que, f es una función polinómica. Consideremos el intervalo [2, ], como f 2) = 2) + 2 2) 7 = 29, y f ) = ) + 2 ) 7 = 242 y se cumple que f 2) = 29 < 0 < 242 = f ), por el teorema del valor intermedio, existe un valor c en el intervalo [2, ], por lo tanto, en todo R, tal que, f c) = 0. Ejemplo 2 : Demuestre que la ecuación 2x 7 = x tiene una solución en [0, ]. Solución : Demostrar que la ecuación 2x 7 = x tiene una solución en [0, ], es equivalente a demostrar que 2x 7 + x = 0 en [0, ], es decir, debemos encontrar las) raízces) de la ecuación en dico intervalo. Consideremos la función f x) = 2x 7 + x así, debemos demostrar que existe, al menos, un valor c en [0, ], tal que, f c) = 0. así, Observemos que la función f es continua en [0, ], ya que, f es una función polinómica, además f 0) = 2 0) 7 + 0) =, y f ) = 2 ) 7 + ) = 2, f 0) = < 0 < 2 = f ), por el teorema del valor intermedio, existe un valor c en el intervalo [0, ], tal que, f c) = 0, luego, la ecuación 2x 7 = x tiene una solución en [0, ]. Ejemplo : Calcular el siguiente límite, f x + ) f x) si es que existe, para la función f x) = x

2 Solución : Tenemos que f x + ) f x) = x + x. Calculamos el límite, el cual es una indeterminación 0 0 x + x x + x ) x + ) 2 + x + x + ) = x + ) 2 + x + x + ) = = = = x + ) x x + ) 2 + x + x + ) x + ) x x + ) 2 + x + x + ) x + ) 2 + x + x + ) x + ) 2 + x + x + = x + 0)) 2 + x + 0) x + = + x x + x = x = 2 x, 2 luego, x + x =. Ejemplo 4 : Calcular el siguiente límite, f x + ) f x) si es que existe, para la función f x) = 2x + x Solución : Tenemos que f x + ) f x) = 2 x + ) + x + ) 2x + x. Calculamos el límite, el cual es una indeterminación x + ) + x + ) 2x + x = x ) 2x ) x + ) 2x + ) x + ) x ) 2

3 luego, 2 x + ) + x + ) 2x + x x ) 2x ) x + ) 2x + ) = x + ) x ) 2 + 2x + x 2x x + 2x + 2x ) = x + ) x ) = 2 + 2x + x 2x 2 2 x 2x + 2x + x + ) x ) = 2 x + ) x ) = x + ) x ) = x + ) x ) = x + 0) ) x ) = x ) x ) = x ) 2, 2 x + ) + x + ) 2x + x = x ) 2. Ejemplo : Calcular el siguiente límite, f x + ) f x) si es que existe, para la función f x) = sen 2x) Solución : Tenemos que f x + ) f x) sen 2 x + )) sen 2x) =. Calculamos el límite, el cual es una indeterminación 0 0 donde, sen 2 x + )) sen 2x) = sen 2x + 2) sen 2x) = sen 2x) cos 2) + cos 2x) sen 2) sen 2x) = [cos 2) ] sen 2x) + cos 2x) sen 2) [cos 2) ] sen 2x) cos 2x) sen 2) = + cos 2) sen 2) = sen 2x) + cos 2x), sen 2) 2 sen 2) =, 2

4 aciendo el cambio de variable obtenemos, mientras que, aplicamos conjugada trigonométrica como cos 2) aciendo el cambio de variable, u = 2, = si 0 entonces u 2 0) = 0 sen 2) 2 sen 2) sen u = = 2 = 2 ) = 2, 2 u cos 2) = 0 0 cos 2) ) cos 2) + ) = cos 2) + ) = sen 2) sen 2) = cos 2) + Indeterminado? = sen 2) cos 2 2) cos 2) + ) = sen 2) cos 2) + sen 2) 2 sen 2) sen u = = 2 = 2 ) = 2, 2 u u = 2, = si 0 entonces u 2 0) = 0 sen 2 2) cos 2) + ) y entonces, por lo tanto, luego sen 2) sen 2 0)) sen 0) = = cos 2) + cos 2 0)) + cos 0) + = 0 + = 0 2 = 0, cos 2) = 2) 0) = 0, sen 2 x + )) sen 2x) = 0) sen 2x) + 2) cos 2x) = 2 cos 2x), sen 2 x + )) sen 2x) = 2 cos 2x) Ejercicios. Verifique el teorema del valor intermedio para f en el intervalo dado. Encuentre un valor c en el intervalo para el valor indicado de N. Función Intervalo N Función Intervalo N f x) = 2x, [, ] ; 8 f x) = x 2x +, [ 2, 2] ; f x) = 0 +, [0, ] ; 8 f x) = x2 + x +, [ 2, ] ; 6 2. Dado que f es continua en [a, b] y f a) = y f b) = 20. Demuestre que ay un número c en [a, b], tal que f c) = 0.. Dado que f x) = x + 2x 7. Demuestre que ay un número c, tal que f c) = 0. 4

5 4. Dado que f x) = x + x. Demuestre que ay un número c, tal que f c) = 0.. Dado que f y g son continuas en [a, b], tales que f a) > g a) y f b) < g b). Demuestre que ay un número c en a, b), tal que f c) = g c). 6. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x + x 2 = 0 tiene una solución real entre 0 y. 7. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que t cos t + 6 sen t = 0 tiene una solución real entre 0 y 2π. 8. Demuestre que la ecuación 2x 7 = x tiene una solución en [0, ]. 9. Demuestre que la ecuación x + 4x 7x + 4 = 0 tiene al menos una soiución real. 0. Demuestre que la ecuación tiene una solución en el intervalo, 4).. Calcular el siguiente límite, si es que existe, + x + + x4 + x 4 = 0 para las siguientes funciones f x + ) f x). f x) = k 2. f x) = x. f x) = 4. f x) = x. f x) = x 4 6. f x) = x 7. f x) = x 2 8. f x) = x 9. f x) = x 0. f x) = x. f x) = 4. f x) = sen x. f x) = cos x 4. f x) = tan x. f x) = sec x 6. f x) = csc x 7. f x) = cot x 8. f x) = 4 9. f x) = f x) =. f x) = x 22. f x) = 2 2. f x) = x 24. f x) = x 2. f x) = f x) = 27. f x) = f x) = 4 9. f x) = x x2 0. f x) = 6 x. f x) = 2x + 2. f x) = x 7. f x) = 4 x 6. f x) = 2 + x x 7. f x) = f x) = f x) = x 2x 4. f x) = 2 x + 8. f x) = 2x x 42. f x) =. f x) = x + x 9. f x) = sen x x 4. f x) = x x f x) = 4 sen x 4. f x) = sen 2x 46. f x) = sen x 47. f x) = sen kx x 48. f x) = cos 2x 49. f x) = cos x 0. f x) = cos kx. f x) = sec 2x 2. f x) = x x. f x) = sen 2 x 4. f x) = sen x x. f x) = csc x

6 6. f x) = cot x 7. f x) = x x + 8. f x) = cos 9. f x) = tan 60. f x) = 2x + 2. Demuestre que el límite no existe cuando x = 0 y la función es f x) = x. f x + ) f x). Calcule para f x) = x x. f 0 + ) f 0) Respuestas: Ejercicios.. 0;.2. ;.. 2x;.4. ;.. 4x ;.6. ;.7. 2 x ;.8. x 4 ;.9. 2 x ;.0. ; x ;.2. cos x;.. sen x;.4. sec2 x;.. sec x tan x;.6. csc x cot x;.7. csc 2 x;.8. 0;.9. 0;.20. ;.2. ;.22. 4x;.2. 2x 2 ;.24. ;.2. 4;.26. 2x;.27. 4x;.28. 8x ;.29. 0x + ;.0. 2 x x ;.. 2x+ ;.2. ;.. 6 x 7) 2 4 x) 2 ;.4. x+) 2 ;.. 2 x ) 2 ; x x) 2 ;.7. 2x +) 2 ;.8. x ) 2 ;.9. x cos x sen x;.40. 4x 4 ) 2 ;.4. 2x ) 2 ;.42. 2x+) 2 ;.4. x2 + ) 2 ;.44. cos x 4 ;.4. 2 cos 2x;.46. cos x;.47. k cos kx; sen 2x;.49. sen x;.0. k sen kx;.. 2 sec 2x tan 2x;.2. 2 x ;.. sen 2x;.4. cos x x x + sen x x) 2 ;.. csc x cot x;.6. csc 2 x;.7. x x ) x+ 2 x x x+) 2 ;.8. 2x sen ;.9. 6x sec 2 ;.60. x+ ;. 0; 2x+ Bibliografía. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: Cálculo. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall. 2. Stewart, J.: Cálculo. Grupo Editorial Iberoamericano. Cálculo Diferencial e Integral - Teorema del Valor Intermedio. Última actualizacón: Septiembre 200 Farit Briceño farit 72@otmail.com 6

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