Cálculo Diferencial e Integral - Antiderivada. Prof. Farith J. Briceño N.

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1 Cálculo Diferencial e Integral - Antiderivada. Prof. Farith J. Briceño N. Objetivos a cubrir Código : MAT-CDI. Primitiva de una función real. Método de integración: Integrales directas. Demuestre que si f () = arcsen, entonces f 0 () =. Demuestre que si f () = arctan, entonces f 0 () = +. Demostrar que si f () = ln jj, entonces f 0 () =. Suonga que Encuentre : f () d : f () = d d g () d : y g () = d ( + ) d [ f ()] d : [ g ()] d 5: f () d 6: g () d 7: [f () + g ()] d 8: [f () g ()] d 5. Hallar una función f tal que se cumla la siguiente igualdad : f () d = + C : f () d = m + C : : f () d = + C 5: f () d = + C 6: f () d = + C f () d = + C 7: f () d = + C 8: f () d = + C 9: f () d = + C 0: f () d = + C : f () d = + C : f () d = n+ n + + C : f () d = e + C : f () d = ln jj + C 5: f () d = ln jj + C 6: f () d = sen + C 7: f () d = cos + C 8: f () d = tan + C 9: f () d = sec + C 0: f () d = csc + C : f () d = cot + C : 5: f () d = arctan + C : f (t) dt = arctan t + C 6: f () d = arcsen + C : f () d = sec + C 7: f () d = sec f (t) d = tan t + C + C 6. Hallar las rimitivas de las siguientes funciones : d : m d : d : d 5: d

2 6: d 7: d 8: d 9: d 0: n d : 6: 0: e d : sec tan d 7: d d : cos d : csc cot d 8: sen d 5: csc d 9: sec d d + 7. Con los resultados obtenidos en el ejercicio 6 comletar la siguientes tabla Tabla de integrales básicas k d = ; k constante n d = ; ara n 6= d = sen d = e d = cos d = sec d = csc d = sec tan d = csc cot d = + d = d = 8. Calcular las siguientes integrales : 6 d : d : 6: : 6: : 5: 8: : e d : d 5: d =7 d 7: d 8: dt 9: dw 6 t! d! 0: w d dt : t n : 5a 6 d : 5a 6 da 5: b d b a db 7: d 8: d 9: sec d 0: csc d t ( 5) d : ( ) d : t t dt : dt t r + dr 6: t t dt 7: r (cos sen ) d ( + sen ) d 9: t sen t dt : ( + sec tan ) d 0: ( sen t cos t) dt : (cos + sen ) d = = d

3 : 7: 0: : 6: 5 d 5: 5t t + dt 8: y y dy : d : ( + ) ( + ) d y 9 y 5 + y dy 6: d 9: u ( u + u) du : y y + y dy 5: 7: + + d 5y 6y + dy d ( ) ( + ) d ( + a) ( + b) d 8: t 6 t t dt 9: + d 50: s d 5: 8 s ds 5: + d 5: 56: d 5: + d 57: + d 55: + d 58: + d 59: d t dt 60: y + y dy 6: a + bt dt 6: a + bt da 6: 66: 69: 7: 77: 8: 85: 89: 9: 95: 99: ( + ) d 6: t 5 t dt 65: + ( m n ) d 67: + d 68: (at) =n dt (n) n n 8 d 70: d 7: d 7: + d 6 + d 7: d 75: d 76: + sen t + cos t dt sen t sen d cos (sen + cos ) dt 78: 79: d 80: sen t cos cos cos + sen sen d e e 99 ln + e e cos d d 8: e d 8: e d 8: cos sen cos sen d cos d 86: + sen cos 87: d 88: (=) cos cos t dt cos (arcsen ) cos (arcsen ) 7 5 d 90: 5 d 9: sec (arctan ) sen (arctan ) d sen + 5 sen d d 9: sen + sen cos sen 9: e 7 ln d ln 7e t log t 6 dt 96: ln d 00: d 97: n log n ln sen + sen sen cos d d 98: d e e d 0: 5 + d 0: log ln ln d 0: log log log 5 d

4 0: 07: e e 5e + e e + ( ) d ( ) d 05: 08: 5 ( ) d 06: ( ) d ( ) ( ) d 9. Encuentre, en el lano y, la curva y = f () que asa or el unto (9; ) y cuya endiente en cada unto es 0. Encuentre, en el lano y, la curva y = f () que asa or el unto (; ) y cuya endiente en cada unto es. Encuentre, en el lano y, la curva y = f () que asa or el unto (0; ) y cuya endiente en cada unto es e. Encuentre, en el lano y, la curva y = f () que asa or el unto (; 5) y cuya endiente en cada unto es. Encuentre una función y = f (), tal que d y d =, F tenga un unto estacionario en = y ase or el = unto (; ).. Encuentre una función y = f (), tal que d y d = + r!, f tenga un mínimo relativo en = ;. 5. El unto (; ) está en una curva y en cualquier unto (; y) de la curva, la recta tangente tiene una endiente igual a. Encontrar una ecuación de la curva. 6. Los untos ( ; ) y (0; ) están en una curva y en cualquier unto (; y) de la cruva d y d = ecuación de la curva.. Encontrar una 7. Una ecuación de la recta tangente a una curva en el unto (; ) es y = +. Si en cualquier unto (; y) de la curva d y = 6, encontrar una ecuación de la curva. d 8. En cualquier unto (; y) de una curva d y d = y una ecuación de la recta tangente a la curva en el unto (; ) es y =. Encontrar una ecuación de la curva. 9. En cualquier unto (; y) de una curva d y = y (; ) es un unto de in eión en el que la endiente de la tangente d de in eión es. Encontrar una ecuación de la curva. 0. La endiente de la recta tangente en cualquier unto (; y) en una curva es 0 y el unto (; ) está en la curva. Encontrar una ecuación de la curva.. En cualquier unto (; y) de una curva d y d = y una ecuación de la recta tangente a la curva en el unto (; ) es y =. Encontrar una ecuación de la curva.. Una artícula se mueve en línea recta; s es la distancia dirigida de la artícula desde el origen en t seg de tiemo, v es la velocidad en /seg de la artícula en t seg y a es la aceleración en /seg de la artícula en t seg. Si a = t y v = y s = cuando t =, eresar v y s como funciones de t.. Se lanza una iedra hacia arriba verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial de 8 /seg. Si la única fuerza considerada es la que se le atribuye a la aceleración de la gravedad, encontrar qué tan alto llegará la iedra y la velocidad con la que llegará al suelo. Encontrar también cuanto tiemo tomará a la iedra llegar al suelo.. En los siguientes ejercicios la única fuerza considerada es la debida a la aceleración de la gravedad que tomamos como /seg en la dirección hacia abajo. (a) Una iedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 0 /seg. i. Cuánto tiemo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ii. Durante cuánto tiemo estará subiendo la iedra y que tan alto llegará? (b) Un hombre en un globo suelta sus binoculares cuando se encuentra a 50 de altura y está subiendo a razón de 0 /seg. Cuánto tiemo tardarán los binoculares en llegar a suelo y cuál es su velocidad de imacto?

5 5. Si el conductor de un automóvil desea aumnetar su raidez de 0 mi/hr a 50 mi/hr mientras recorre una distancia de 58, cuál es la aceleración constante que debe mantener? 6. Si los frenos de un carro ueden darle una aceleración negativa constante de 0 /seg. Cuál es la velocidad máima a que uede ir si es necesario arar el carro dentro de 80 desués de alicados los frenos? 7. Si se alican los frenos de un carro viajando de 50 mi/hr y si los frenos ueden dar al carro una aceleración negativa constante de 0 /seg. Cuánto tardará el coche en detenerse? Qué distancia recorrerá antes de arar? :: :8: ; :: + ; :: ; :: ; :5: ; :6: + ; :7: + ; ; 5: f () = ; 5: f () = m; 5: f () = ; 5: f () = ; 5:5 f () = ; 5:6 f () = ; 5:7 f () = ; 5:8 f () = ; 5:9 f () = ; 5:0 f () = ; 5: f () = ; 9 5: f () = n ; 5: f () = e ; 5: f () = ; 5:5 f () = ; 5:6 f () = cos ; 5:7 f () = sen ; 5:8 f () = sec ; 5:9 f () = sec tan ; 5:0 f () = csc cot ; 5: f () = csc ; 5: f () = + ; 5: f () = ; 5: f () = sec tan ; 5:5 f (t) = t +t ; 5:6 f () = sec tan ; 5:7 f () = sec t tan t; 6: + C; 6: m + C; 6: + C; 6: + C; 6:5 + C; 6:6 + C; 6:7 + C; 6:8 + C; 6:9 n+ + C; 6:0 n+ + C; 6: e + C; 6: ln jj + C; 6: sen + C; 6: cos + C; 6:5 tan + C; 6:6 sec + C; 6:7 csc + C; 6:8 cot + C; 6:9 arctan + C; Resuestas 6:0 arcsen + C; 8:: 6 + C; 8:: + C; 8:: e + C; 8:: + C; 8:5: + C; 8:6: C; 8:7: C; 8:8: t + C; 8:9:! + C; 8:0: w + C; 8:: t + C; 8:: n + C; (n ) n 5 8:: 7 a C; 8:: a 6 + C; 8:5: b + C; 8:6: b + C; 8:7: a + C; 5:8: + C; 8:9: tan + C; 8:0: cot + C; 8:: 5 + C; 8:: + C; 8:: t t + C; 8:: t t + C; 8:5: r + r + C; 8:6: 9 t t C; 8:7: cos + sen + C; 8:8: cos + C; 8:9: + sec + C; 8:0: sen cos + C; 8:: cos t + t + C; 8:: cos t sen t + C; 8:: C; 8:: C; 8:5: y y6 + 0 y0 + C; 8:6: + + C; 8:7: t t + 5 t + C; 8:8: + C; 8:9: y y + y 5 + C; 8:0: 5 y5 y + C; 8:: 5 u u 7 + C; 8:: 7 + C; 8:: C; 8:: 5 y 5 y + 7 y 7 + C; 8:5: + C; 8:6: C; 8:7: + a + b + ab + C; 8:8: t + t + C; 8:9: C; 8:50: + C; 8:5: 8 s + s + C; 8:5: C; 8:5: C; 8:5: C; 8:55: + C; 8:56: C; 8:57: C; 8:58: + + C; 8:59: t + t 8 t + C; 8:60: 6 y + y + 5 y5 + C; 8:6: a t + abt + 7 b t 7 + C; 8:6: a + a bt + ab t 6 + C; 8:6: C; 5 8:6: 5 + t 5 t t t C; 8:65: C; 8:66: m+ m+ + n+ n+ m+n+ m+n+ + C; 8:67: C; 8:68: n t n+ (at) n + C; 8:69: (n) n + C; 8:70: + C; 8:7: C; 8:7: + + C; 8:7: C; 8:7: C; 8:75: + + C; 8:76: t + C; 8:77: sen t + C; 8:78: cos + C; 8:79: cos + sen + C; 8:80: sen + ln jcsc cot j + C; 8:8: C; 8:8: e+ + C; 8:8: e + C; 8:8: sen cos + C; 8:85: + cos + C; 8:86: sen + C; 8:87: sen + C; 8:88: t + sen t + C; 8:89: + C; 8:90: + + C; 8:9: C; 8:9: cos + C; 8:9: tan + C; 8:9: 8 8 e + C; 8:95: t 5 5 ln 7 t + C; 8:96: ln + C; 8:97: n+ (+n) ln n + C; 8:98: e + C; 8:99: C; 8:00: cos + C; 8:0: C; 8:0: 5 5 ln + C; 8:0: ln (ln 5) ln + C; 8:0: e C; 8:05: C; 8:06: C; 8:07: C; 5

6 8:08: C; 9: f () = 50; 0: f () = + ; : f () = e ; : f () = + ; : f () = ln ; : f () = ; 5: f () = + ; 6: f () = ; 7: f () = + ; 8: f () = ; 9: f () = + ; 0: f () = 0 9; : f () = + ; : v (t) = t t + ; y s (t) = t t + t ; : Máima altura : 56 ; Tiemo de vuelo : 8 seg; Velocidad de imacto : 8 /seg; :a:i: Tiemo de vuelo : seg; Velocidad de imacto : 0 /seg; :a:ii: Tiemo subiendo : 5 8 seg; Máima altura : 5 ; :b: Tiemo de vuelo : : seg; Velocidad de imacto : 99 /seg; 5: 77 8 /seg ; 6: 7: Tiemo : seg; Distancia : 0 9 ; 00 min/h;. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: Cálculo". Novena Edición. Pearson Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo". Gruo Editorial Iberoamericano. Bibliografía Cálculo Diferencial e Integral - Antiderivada. Prof. Farith Briceño farith_7@hotmail.com 6