Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial. Parcial 2

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1 Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial Parcial Estudiante: Fecha: Sea g() = ( + 3). Entonces f (7) = 00. Verificarlo a partir de la derivada como limite. (La derivada obviamente es pero se pide obtenerla para llegar al resultado (+3) f (7)) Hallar Obtener y = F si F () = Sen ( e ) 4 f() = { 3 si < c si > Hallar a) c tal que la función sea continua en y b) hallar todo el conjunto de números donde es continua.

2 Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial Parcial Estudiante: Fecha: Sea g() = (0 3) /. Entonces f (3) = 3. Verificarlo a partir de la derivada como limite. 3 (La derivada obviamente es ( 0 3) pero se pide obtenerla para llegar al resultado f (3)) Hallar Obtener y = F si F () = Ln( ) 4 Hallar a)la recta tangente a la curva Y = Cos( ) en el punto en el que = π/ b) Un punto donde dicha tangente es horizontal.

3 Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial - Sección Parcial Tiempo: 80 minutos I. (5%) Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa, justificando claramente la respuesta. (Se asume que siempre f es continua). (i) Si f (c) = 0, entonces f tiene un máimo o un mínimo absoluto en c. (ii) Si f es continua en el intervalo abierto (a, b), entonces f toma valores etremos absolutos en (a, b). (iii) Si lim f() eiste, entonces f no tiene un máimo absoluto. (iv) Si f es siempre creciente y cóncava hacia abajo, entonces lim f() eiste. (v) Si f es siempre cóncava hacia arriba, entonces f() 0. II. (5%) Encuentre los puntos ( 0, f( 0 )) y (, f( )) sobre la parábola f() = 4 tales que las rectas tangentes a la curva en ese punto se cortan en ( 3, ). Puede guiarse por el bosquejo de la figura, pero debe seguir un procedimiento justificado matemáticamente para obtener la respuesta. AYUDA: Las pendientes de las rectas que pasan por ( 3, ) se pueden calcular con: m 0 = f( 0) 0 3 m = f( ) 3 () De qué otra manera se pueden calcular las pendientes de estas rectas? III. (5%) En el Parcial se debía construir un bosquejo de la función g() = 4, como se muestra en la figura. Ahora considere la función G() = 4. (i) (5%) Haga un bosquejo de la función G() (puede superponerlo en la gráfica de la figura ). (ii) (5%) Calcule los números críticos de G() en el intervalo [ 5, ], justificando matemáticamente su respuesta. (iii) (5%) Usando los resultados de (ii), calcule los números para los cuales G tiene valores etremos (globales) en el intervalo [ 5, ]. (iv) (5%) Calcule matemáticamente los intervalos para los cuales G es creciente y decreciente. (v) (5%) Calcule matemáticamente los intervalos para los cuales G es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. IV. (5%) El agua entra en un tanque hemisférico de 0 m de radio (R = 0)(la parte plana hacia arriba). En un instante dado, sea h la altura medida desde el fondo, r el radio de la superficie libre de agua, y V el volumen de agua en el tanque. Calcular dv/dh cuando h = 5 m. Si el agua entra a razón constante de 5 3 m 3 por segundo, calcular dr/dt en el instante en que h = 5 m. (AYUDA: El volumen de agua en el tanque cuando el nivel del agua es h está dado por V = π(rh h 3 /3), donde R = 0. El radio r de la superficie libre de agua en el tanque está dado por r = Rh h )

4 Figure : Bosquejo para el problema II. Figure : Bosquejo para la curva g() = 4.

5 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Mate 03-3 Cálculo diferencial Parcial (04/03/009). Halle el valor de cada uno de los siguientes ites si eisten. ( ) ( ) sen(cos ) a) b) 0 sec. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() = ( + )( + ) en el punto (,6). 3. Halle los valores de a y b para que el ite 3 + a + b + = 4 Resuelva uno de los siguientes puntos A. Encuentre un polinomio de segundo grado f() = a + b + c que pase por el punto (,0) y tal que la recta tangente a la gráfica de f() en el punto (,7) tenga pendiente 0 B. Halle el valor de k para que la recta y = sea tangente a la gráfica de la función f() = k El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad

6 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Segundo Parcial de Cálculo Diferencial-03() 6 de Septiembre de 009. (.0) Encuentre todas las asíntotas que eistan de la siguiente función, y bosqueje su gráfica (NO SE LE OLVIDE CALCULAR LÍMITE POR IZQUIERDA Y DERECHA). Calcule los siguientes ites: a) (0.6) b) (0.6) c) (0.6) f() = sen(4) tan(6) 3. (.) Considere la función: a +, si, f() =, si <, b + 5, si > Encuentre los valores de a y b para que f() sea continua en todos los reales 4. (.0) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada por f() = En el punto (, y) = (, 3 ) Nota: Los valores entre paréntesis, corresponden a los valores de cada punto El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad

7 Cálculo Diferencial Parcial Sección 0..0 a) Calcule g (3) donde f () = + y g() = f( ) b) Halle y donde y = /. Deje epresada su respuesta sólo en términos de. c) Halle f (009) () donde f() = sin d) Halle los máimos y mínimos globales de la función f() = 4 +3 en el intervalo [, 3]...0 Un avión, volando a una velocidad constante de 300km/h, pasa sobre un radar terrestre a una altura de km y se eleva un ángulo de 30. A qué razón está cambiando la distancia entre el avión y el radar un minuto más tarde? 3..0 Halle los ites a) b) sinh e ( + )/ A las :00 pm el velocímetro de un carro marca 30km/h. A las :0 pm marca 50km/h. Muestre que en algún punto entre las :00 pm y las :0 pm la aceleración es eactamente 0km/h.

8 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Mate 03 Cálculo Diferencial Parcial (4/06/009). Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función f() = + que son paralelas a la recta y + = 6.. Encuentre el ite o determine que no eiste. a) 0 ( ) 3 + b) c) 9 6 ( d) 0 cos ) 3. La tabla muestra los valores de f, g, f, y g. Halle los valores de f(g()) y de g(f()) f() g() f () g () Determine los valores de a y b para que la siguiente función sea continua y diferenciable en R. { a 3 si f() = + b si > 5. Halle los números a y b para los cuales 0 a + b 4 = El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad

9 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES SEGUNDO PARCIAL a. Encuentre una fórmula para una función que tenga una asíntota vertical en, 3 y una asíntota horizontal en y. b. Evalúe los siguientes ites. 4 3 i. lim. 9 e sen ii. lim.. Para la función f ( ) a. Encuentre f () utilizando la definición de derivada. b. Encuentre la ecuación de la recta tangente para dy 3. Encuentre si. d a. y e *sec ( sen). tan b. y cos(tan(co s( ))) Encuentre los valores de la constante c de tal manera que haga continua a g sobre el intervalo (, ). Grafique a g(). g ( ) b m si si 4 4

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