Maximización n de la Utilidad

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1 aimización n de la Utilidad icroeconomía Eco. Douglas Ramírez Los elementos básicos Hemos descrito hasta el momento los elementos básicos del roblema de decisión del consumidor Su conjunto de elección Sus restricciones Sus referencias Dados unos recios una riqueza el comortamiento del consumidor consiste en elegir el mejor lan de consumo osible El i-ésimo consumidor elige un consumo i є B() que sea un elemento máimo de la relación de referencia i

2 El roblema El roblema de elección se uede transformar en otro equivalente de más fácil manejo a través de la descrición de los gustos del consumidor mediante una función continua que reresenta sus referencias a la cual llamamos Función de Utilidad ediante los aiomas se ermite establecer una relación de equivalencias sobre el esacio de mercancías (X i R K ) donde se define dentro del conjunto de consumo los elementos o clases de indiferencias a las cuales se le asocia un numero real de modo que a una clase de indiferencia referida a otra se le asocia un numero real maor. Los bienes económicos X Se refiere 0 0 Y 0 X 0 X 0 Y 0 X El área sombreada reresenta las combinaciones que se refieren ( 0 0 ) inequívocamente a la canasta ( 0 0 ). Los individuos refieren una cantidad maor de cualquier bien a una menor.

3 La función de utilidad como reorden En términos más recisos dado un conjunto comletamente reordenado or una relación de referencia se define una función de valor real que ermite su reresentación numérica esta reresentación real se designa con el nombre de Función de Utilidad Definición: Se dice que una función U i : X i R reresenta el reorden de referencias i cuando ara todo i i є X i se verifica: U i ( i ) U i ( i ) i i i Comentarios Sí f: R R es una función estrictamente creciente entonces : f(u i ( i )) f(u i ( i )) U i ( i ) U i ( i ) i i i De modo que la comosición de las funciones f U i también reresentan las mismas referencias lo cual imlica que U i no es más que una forma de reresentar la relación de referencias ( i ) sin que sus magnitudes concretas osean significación la magnitud U i ( i ) U i ( i ) nos dice que un consumo es mejor o igual que otro or tanto se uede interreta como una medida de cuanto mejor 3

4 Comentarios Bajo los suuestos establecidos (en articular al tomar X i R K + que es un conjunto no numerable)la eistencia de tal función no es un roblema menor El suuesto de continuidad de la función de utilidad ermite convertir al roblema de elección de consumo en un roblema de otimización clásico á. Ui (i) s.a. Xi є B() La solución de este roblema es la demanda del consumidor X id () Teorema (Debreu959) Teorema (Debreu959): Sea i una relación de referencias definida sobre un subconjunto conveo de R k. La relación de referencia i uede reresentarse mediante una función de utilidad continua sí sólo si la relación de referencias i es comleta transitiva continua 4

5 Eistencia de una función de utilidad Suonga que las referencias i son comletas refleivas transitivas estrictamente monótonas. Entonces eiste una función de utilidad continua U: R K + R la cual reresenta estas referencias Definición: Una función U: X R es una función de utilidad que reresenta una relación de referencias i si ara todo e є X i U()PU() Definición Se suone que las referencias de los individuos se reresentan or medio de una función de utilidad de la forma Utilidad U( n ) Donde( n ) son las cantidades consumidas de cada uno de los n bienes que odrían consumirse en un eriodo. Esta función es única salvo una transformación que reserve el orden de las referencias 5

6 Notación La función de utilidad se utiliza ara reresentar la forma en que una ersona ordena determinadas cesta de bienes de las cuales uede disoner en un determinada fecha lugar Utilidad U( ) A veces resulta útil emlear otros argumentos en la función de utilidad como or ejemlo: Utilidad U(W); Donde la riqueza no aorta utilidad or sí misma sino or el consumo cuando se gasta Utilidad U(C H); Donde C reresenta consumo H horas de Ocio Utilidad U(C C ); Donde el C reresenta el consumo resente C el consumo futuro Las curvas de indiferencia la RS Una curva de indiferencia (o una suerficie de indiferencia) muestra un conjunto de cestas de consumo entre las que el individuo es indiferente a que todas las cestas reortan el mismo nivel de utilidad La endiente en un unto de la curva de indiferencia de bienes es negativa se denomina Relación arginal de Sustitución entre bienes. La RS muestra la tasa o relación de intercambio que una ersonas esta disuesta a hacer or un bien en términos de otro disfrutando del mismo nivel de bienestar d RS d U U 0 6

7 Una Curva de Indiferencia X X 0 X U X 0 X X La curva U reresenta las combinaciones que reortan la misma utilidad al individuo. Su endiente reresenta la tasa a la cual esta disuesto a intercambiar un bien or otro manteniendo el mismo nivel de bienestar. Esta endiente que mide la relación de intercambio en valor absoluto se denomina relación marginal de sustitución aa de Curvas de Indiferencia X Incremento de la utilidad U U U 0 X Eiste una curva de indiferencia que asa or cada unto del lano. Cada una de estas curvas indican las combinaciones de consumo que reortan un determinado nivel de bienestar al individuo. Los movimientos en sentido noroeste indican niveles de bienestar maores 7

8 La tasa marginal de sustitución Sea U( 3 n ) una función de utilidad. Suonga que se incrementa la cantidad consumida del bien i esto afecta la cantidad consumida del bien j manteniendo el nivel de utilidad constante esto se mide a través de la Tasa arginal de Sustitución entre bienes (en este caso entre el bien i el bien j) U ( X ) di i U ( X ) + d j j 0 Tasa arginal de Sustitución entre bien i el bien j d d j i U ( X ) i U ( X ) j La tasa marginal de sustitución La tasa marginal de sustitución no deende de la forma funcional de que reresenta las referencias. Sea V(U) una transformación monótona de la utilidad. La tasa marginal de sustitución de esta transformación de la función de utilidad es: V ( U ( X )) d d j i V V ( U ( X )) ( U ( X )) U U ( X ) i ( X ) j U U ( X ) i ( X ) j 8

9 Conveidad de las curvas de indiferencias Otra manera de formular la relación marginal decreciente se basa en el conceto de conveidad. Se dice que un conjunto es conveo si dos untos cualesquiera de ese conjunto ueden unirse or medio de una combinación lineal (o una línea recta en el lano) contenida totalmente dentro del conjunto El suuesto de la RS decreciente equivale a decir que más es referido a menos o en términos de la figura anea (figura (a)) que se refiere cualquier combinación de X e Y a la combinación X* Y* Conveidad Y Y Y Y Y * Y * Y U Y X U X X X * X X X * X Figura (a) Figura (b) En la figura (a) la curva de indiferencia es convea a que cualquier línea que une dos untos situados or encima de U también se encuentran or encima de U. En la figura (b) esto no ocurre la curva reresentada no tiene en todos sus untos una RS decreciente 9

10 Ejemlo Sea la función de utilidad U() ⅜ ⅝ La utilidad marginal U U/⅜ ⅝ ⅝ La utilidad marginal U U/⅝ ⅜ ⅜ RS (d/d) U / U 3/5(/) Observe que una transformación monótona de esta función de utilidad no afecta la RS or ejemlo utilizamos el logaritmo natural. LU() ⅜ ln ()+⅝ ln () La utilidad marginal U U/⅜ La utilidad marginal U U/⅝ RS (d/d) U / U 3/5(/) Preferencias Homotéticas Las funciones de utilidad tio Cobb-Douglas Sustitutos Perfectos Comlementarios Perfectos Tio CES son funciones de utilidad Homotéticas a que su relación marginal de sustitución deenden del cociente entre las cantidades de los dos bienes no de las cantidades totales de los bienes. En el caso de los sustitutos erfectos la RS es la misma en todos los untos En el caso de los comlementarios erfectos la RS es infinita cuando / >β/α indefinida cuando / β/α cero cuando / <β/α 0

11 Diaositiva 0 Recuerden que definimos comlementarios erfectos como U() min [/α /β] si la hubiésemos definido como U() min [α/ β/] como lo hace Nicholson sería lo contrario ver Nicholson.6 En ese caso la RS es infinita cuando / >α/β indefinida cuando / α/β cero cuando / <α/β arcos 4/0/006

12 Preferencias Homotéticas En el caso de la Cobb-Douglas en la función CES la RS uede encontrarse a través de las utilidades marginales Sea U() α β UU/α α- β UU/β α β- RS (d/d) U / U [α/β](/) Sí las referencias sólo deenden del cociente entre los bienes esto significa que si se refiere ( ) a ( ) entonces se referirá siemre (k k ) a (k k ) siendo k una constante ositiva. Entonces las referencias se denominan homotéticas. Preferencias No Homotéticas Consideremos la función de utilidad de referencias cuasilineales Sea U() + ln () UU/ UU// RS (d/d) U / U La cantidad consumida de es indeendiente de la cantidad consumida de La RS disminue si disminue la cantidad elegida de

13 Comortamiento del consumidor Conocidas las referencias las restricciones resuuestaria bajo la hiótesis de racionalidad el consumidor elegirá la canasta más referida entre todas las alternativas disonibles Sea una cantidad fija de riqueza o dinero disonible ara el consumidor Sea el vector de recios de los bienes ( ) sea el vector de canastas ( ) Sea el conjunto resuuestario del consumidor B{єX: } Elección Ótima Elección Ótima Gustos con Vértice X X X * Cesta ótima X * Cesta ótima X * X X * X La osición ótima es donde la curva de indiferencia es tangente a la recta resuuestaria La osición ótima es donde la curva de indiferencia no es tangente a la recta resuuestaria

14 Elección Ótima Ótima de esquina as de una tangencia X Cesta ótima X No es ótima Cesta ótima X * El consumo ótimo imlica consumir 0 unidades del bien. La curva de indiferencia no es tangente X Ha tres tangencias sólo dos untos ótimos or lo que la condición de tangencia es necesaria más no suficiente X El roblema del consumidor El roblema de maimización del consumidor se uede escribir como: á. U( ) Sujeto a: } Para que este roblema tenga solución requiere que la función objetiva sea continua que la restricción sea cerrada acotada Por los aiomas asumidos la función de utilidad es continua el conjunto resuuestario es cerrado ara todo recio e ingreso ositivo ( i >0 ara todo i k ara 0) Veamos algunos ejemlos de solución 3

15 RS / La condición de que la relación marginal de sustitución (RS) debe ser igual a la endiente de la recta resuuestaria en un ótimo interior es evidente desde el unto de vista gráfico ero que significa desde el unto de vista económico? La RS mide la razón de intercambio manteniendo el mismo nivel de utilidad el mercado ofrece una relación de intercambio de / : si renuncia a una unidad del bien uede comrar / unidades del bien La demanda del consumidor La elección ótima de los bienes dado un conjunto de recios renta se denomina cesta demandada del consumidor cuando varia los recios /o la renta también varía la elección ótima Def.: La función de demanda es aquella que relaciona la elección ótima de las cantidades demandadas con los diferentes valores de recio renta A cada conjunto de recios como de renta le corresonde una combinación de diferentes bienes Cada referencia da lugar a funciones de demanda distintas 4

16 Sustitutos erfectos Un consumidor disone de una renta de 400 u.m. ara gastar en los bienes e a los recios Sus referencias or estos bienes se reresenta or U()3+ Calcule las funciones de demanda determine el equilibrio Solución El roblema del consumidor es a U()3+ S.A. + Como las referencias son de sustitutos erfectos or tanto no son referencias regulares la condición de tangencia no será condición ni necesaria ni suficiente de otimalidad Cuando el consumidor sustitue los bienes a una tasa constante la RS entre los mismos no deende de los niveles de consumo la forma de la función de demanda está determinado or los valores que tomen la RS el cociente de recios así se tiene: d d d d Sí 0 ( ) 0 Sí < RS > RS ( ) { + } Sí RS Las funciones de demanda vendrán dadas or U 3 + RS < RS 0 U i d d 0 si si < 3 < 3 0 Las cantidades demandas son d /400/400 ara Y d 0 5

17 Funciones de demanda P X P X /P Y > RS YX P X /P Y RS YX P X /P Y < RS YX X d (P X ) X Comlementarios erfectos Suonga el caso que consume verdura escado ero el consumo de verdura () siemre trilica al consumo de escado (). Este consumidor disone de 35 u.m. se enfrenta a los recios 0 5 Obtenga la recta de balance las funciones de demanda las cantidades demandas ara los recios renta que enfrenta Solución El roblema del consumidor es a U() min { 3} S.A Las referencias no son regulares sus curvas de indiferencias no son estrictamente conveas resecto al origen sino que tienen forma de L. Por tanto la tangencia entre la RS la endiente de la RB no serán condición necesaria ni suficiente de otimalidad 6

18 Cuando el individuo consume siemre conjuntamente dos bienes en una determinada roorción constante ara obtener la función de demanda basta con sustituir la eresión que indica la roorcionalidad constante entre el consumo de ambos bienes en la Y recta resuuestaria d P d 3 + P El ótimo se encuentra en sobre la curva de indiferencia más alejada del origen que toque a la recta de balance los ótimos se encuentran en el vértice de una curva de indiferencia :/3 35 U * X La combinación de consumo ótimo ara los recios e ingresos dados es *9 *3 la utilidad obtenida es U(93)min{99}9 Funciones de demanda P X d ( ) X 7

19 Demanda con derivadas Suongamos ahora que las referencias vienen descritas or la siguiente función de utilidad U()5 Sí la renta del consumidor es de 900 u.m. los recios del bien es 0 el del bien es de 5 obtenga las funciones de demanda de ambos bienes el equilibrio del consumidor Solución El roblema del consumidor es a U() S.A. + Y En nuestro ejercicio el roblema toma la forma de ( ) au 5 s. a d d La endiente de la recta de resuuesto Siendo las cantidades máimas de consumo de cada bien ma 90 ma 80 RB En este caso las curvas de indiferencias son estrictamente conveas resecto al origen el equilibrio será en el unto de tangencia entre la recta de balance una curva de indiferencia a que las referencias son regulares corresonde a la función Cobb-Douglas 80 0 E U*

20 La condiciones de rimer orden (CPO) de este roblema serán dos: La condición de tangencia la saturación de l restricción (si las referencias resentan no saciabilidad el consumidor se situará siemre sobre su recta resuuestaria gastando toda su renta) d d d RS RB d U U Ug U Ug La rimera ecuación es la condición de tangencia: en el ótimo deben coincidir las endientes de la recta balance (recios relativos) la curva de indiferencia (RS). Si las endientes no son iguales el consumidor uede aumentar su nivel de utilidad reorganizando su consumo la situación no es un ótimo. La segunda condición es la restricción del roblema el consumidor en equilibrio deberá estar gastando toda su renta de forma que la restricción resuuestaria se cumla con estricta igualdad. En nuestro caso tenemos RS U 5 U 0 Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cua resolución nos ermite obtener el equilibrio del consumidor 4 * * Las condiciones de segundo orden ara un máimo eigen que el siguiente hessiano orlado sea una forma cuadrática definida negativa 0 U U U U U U U + U > 0 ( 0 0 ) >

21 0 Con los datos del ejercicio tenemos que se cumle la condición de segundo orden a que: La función de demanda de un bien refleja la cantidad demandada de dicho bien ara cada nivel de renta recio roio del bien el recio de los demás bienes dadas las referencias del consumidor. Entonces odemos eresar la función de demanda como: * 0 * > > ( ) d d Podemos calcular las funciones de demanda de e utilizando el método de los multilicadores de Lagrange: ( ) a s au ( ) ( ) L a + λ λ λ 5 Podemos calcular las funciones de demanda de e utilizando el método de los multilicadores de Lagrange: ( ) a s au Construimos el lagrangiano de es roblema maimizamos: Las condiciones de rimer orden de este roblema serán: + L L L λ λ λ λ λ

22 Las condiciones de rimer orden de este roblema serán: λ λ λ λ Observese que el cociente de las dos rimeras condiciones uede interretarse como la condición de tangencia. La última condición sería simlemente la saturación de la restricción resuuestaria. Oerando estas condiciones se tiene: d d La función indirecta de utilidad Los valores ótimos de las demandas obtenidas ueden introducirse en la función inicial de utilidad ara obtener la función indirecta de utilidad ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) k k k k k V ima utilidad U U ma * * * * * K K K K K El individuo desea maimizar la utilidad dada la restricciones el nivel ótimo deende indirectamente de los recios de los bienes de la renta del individuo. Esta deendencia se refleja en la Función Indirecta de Utilidad V( k ). Sí cambian los recios o la renta también resultaría afectado el nivel de utilidad que uede obtenerse. Este enfoque indirecto resulta útil ara ver como afectan los cambios en el bienestar del consumidor (en la teoría de la emresa los costos)

23 Definiciones La función indirecta de utilidad V( ) nos da la utilidad máima alcanzable a los recios renta dados se denomina función indirecta de utilidad se reresenta como V( ) á. U(**); s.a.; *+ * La función que relaciona los recios (P_{i}) e ingresos (m) con la cesta demandada se denomina función de demanda arshalliana (ordinaria) del consumidor se reresenta de la siguiente forma *( ) *( ) Proiedades de la función indirecta de utilidad La función indirecta de utilidad V() eresa la máima utilidad alcanzable dado el vector de recios () la renta () disonible. V() es no decreciente en recios tal que si entonces V( ) V(). V() es homogénea de grado cero en () 3. V() es cuasiconvea en tal que si {: V() k } es convea ara todo k 4. V() es continua ara todo 0 >0

24 3 Identidad de Ro Sí d i() es la función de demanda ordinaria o arshalliana entonces ( ) ( ) ( ) V V k i k k d i K K K Para todo i k Suoniendo que esta bien definida el lado derecho de la ecuación que los recios la renta son estrictamente ositivos ( ) + au ( ) ( ) L + λ Suonga que el roblema del consumidor es Formulamos el Lagrange maimizamos se tiene L L L λ λ De las condiciones de rimer orden se obtienen las demandas

25 Introduciendo esto resultados en la función de utilidad U ( * *) V ( ) Cuando ¼ la utilidad máima que se alcanza V ( ) () Alicando el Lema de Ro se tiene 4 dv 4 3 d d dv d Tarea Suonga que el gobierno evalúa introducir un imuesto de suma fija sobre la renta de $05 u.m. o un imuesto sobre el bien de $05. En ambos casos se recauda el mismo monto a que si el recio del bien aumenta de 05 a 050 el consumo del bien se reduce en Utilizando la función indirecta de utilidad deducida anteriormente. evalué cual de las dos medidas afecta menos el bienestar del consumidor Entregar a la rearadora el viernes 0/0/006 4

26 aimización n de la Utilidad icroeconomía Eco. Douglas Ramírez 5

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